第三章比和比例（知識(shí)歸納題型突破）

第三章比和比例（知識(shí)歸納+題型突破）1.理解比和百分比的有關(guān)概念，了解比和百分比的意義.2.理解比例的概念和基本性質(zhì)，會(huì)解簡(jiǎn)單的比例問(wèn)題.3.了解百分比在生活中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，會(huì)解決有關(guān)比和百分比的簡(jiǎn)單問(wèn)題，并從中體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系.4.在具體的問(wèn)題情境中，滲透思想品德教育.5.了解等可能事件，學(xué)習(xí)用數(shù)量來(lái)描述一個(gè)事件發(fā)生的可能性的大小，初步體會(huì)概率思想.1.比的意義(1)比和比值a、b是兩個(gè)數(shù)或兩個(gè)同類的量，為了把b和a相比較，將a與b相除，叫做a與b的比．記作a:b，或?qū)懗?，其中；讀作a比b，或a與b的比．a(chǎn)叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)．前項(xiàng)a除以后項(xiàng)b所得的商叫做比值．(2)比、分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系比：前項(xiàng)：后項(xiàng)=比值；分?jǐn)?shù)：=分?jǐn)?shù)值；除法：被除數(shù)÷除數(shù)=商．(3)比、分?jǐn)?shù)和除法的區(qū)別 比是表示兩個(gè)數(shù)關(guān)系的式子，分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)，除法是一種運(yùn)算．2.比的基本性質(zhì)(1)比的基本性質(zhì)比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或者除以相同的數(shù)（0除外），比值不變．(2)最簡(jiǎn)整數(shù)比比的前項(xiàng)和后項(xiàng)都是整數(shù)且互素，這樣的比叫做最簡(jiǎn)整數(shù)比．?題目中比的結(jié)果都必須化成最簡(jiǎn)整數(shù)比．(3)三連比的性質(zhì)如果，，那么；如果，那么．3.比例a、b、c、d四個(gè)量中，如果a:b=c:d，那么就說(shuō)a、b、c、d成比例，也就是表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例．比例a:b=c:d也可以表示為．其中a、b、c、d分別叫做第一、二、三、四比例項(xiàng)．(1)比例外項(xiàng)和比例內(nèi)項(xiàng)如果a:b=c:d，那么第一比例項(xiàng)a和第四比例項(xiàng)d叫做比例外項(xiàng)，第二比例項(xiàng)b和第三比例項(xiàng)c叫做比例內(nèi)項(xiàng)．(2)比例中項(xiàng)對(duì)于一個(gè)比例而言，如果兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相同，即a:b=b:c，那么把b叫做a和c的比例中項(xiàng)．(3)比例的基本性質(zhì)如果或，那么反之，如果a、b、c、d都不為零，且，那么或．兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積．題型一比的意義【例1】(1)如果，那么可以組成的比例是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)：兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積，把化為比例的形式即可．【詳解】將化為比例的形式為：①，故A選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；②，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查比例的基本性質(zhì)，正確理解比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．(2)如果，那么∶．【答案】56【分析】根據(jù)比的性質(zhì)求解．【詳解】解：如果，那么，故答案為：5，6．【點(diǎn)睛】本題考查比的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握比的內(nèi)項(xiàng)積等于外項(xiàng)積．反思總結(jié)比的前項(xiàng)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)的分子和除式中的被除數(shù)；比的后項(xiàng)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)的分母和除式中的除數(shù)；比值相當(dāng)于分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)值和除式的商．鞏固訓(xùn)練：1.如果，那么（

）．A． B． C．【答案】B【分析】利用兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積解答即可．【詳解】解：因?yàn)椋?，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟知兩內(nèi)項(xiàng)積等于兩外項(xiàng)積．2.在鹽水中含鹽，鹽和水的比是（）A． B． C．【答案】A【分析】先用“”求出鹽水中水的重量，進(jìn)而根據(jù)題意，用鹽的重量與水的重量相比即可．【詳解】解：，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了比的意義，應(yīng)明確：鹽+水=鹽水．3．“宮、商、角（jué）、徵（zhǐ）、羽”是我國(guó)古代音樂(lè)的基本音階．其中，“徵”的發(fā)音管比“商”的發(fā)音管長(zhǎng)，則“徵”和“商”的發(fā)音管長(zhǎng)度比是（

）A．3：2 B．2：3 C．3：1 D．2：1【答案】A【分析】設(shè)“商”的發(fā)音管長(zhǎng)為a，則“徵”的發(fā)音管長(zhǎng)為，然后求出比值即可．【詳解】解：設(shè)“商”的發(fā)音管長(zhǎng)為a，則“徵”的發(fā)音管長(zhǎng)為，所以“徵”和“商”的發(fā)音管長(zhǎng)度比是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的應(yīng)用，設(shè)出“商”的發(fā)音管長(zhǎng)，能表示出“徵”的發(fā)音管長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．題型二比的基本性質(zhì)【例2】（1）比例（

）A． B．2 C．10 D．1【答案】D【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：設(shè)括號(hào)中的數(shù)為x，則解得：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查比例的性質(zhì)，掌握比例的內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積是解題的關(guān)鍵．（2）如果的前項(xiàng)變成28，要使比值不變，比的后項(xiàng)應(yīng)該為．【答案】21【分析】要使比值不變，那么變化前后的兩個(gè)比可以組成比例，據(jù)此求解即可．【詳解】解：設(shè)變化后的比的后項(xiàng)為x，由題意得，，所以，所以，故答案為：21．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解比例，正確理解題意根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．（3）解比例(1)(2)【答案】(1)；(2)【分析】（1）首先根據(jù)比例的基本性質(zhì)，化成普通方程，依據(jù)等式的性質(zhì)，方程兩邊同時(shí)除以4求解；（2）首先根據(jù)比例的基本性質(zhì)，化成普通方程，求解．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)睛】此題考查了運(yùn)用等式的性質(zhì)解方程，即等式兩邊同加上或同減去、同乘上或同除以一個(gè)數(shù)（0除外），兩邊仍相等．反思總結(jié)1.運(yùn)用比的基本性質(zhì)可以進(jìn)行化簡(jiǎn)，約分的最終結(jié)果是最簡(jiǎn)整數(shù)比；2.通過(guò)等積式和比例式的轉(zhuǎn)化，可以求比的前項(xiàng)后項(xiàng).鞏固訓(xùn)練1.把化成最簡(jiǎn)單的整數(shù)比是比值是【答案】【分析】根據(jù)比的基本性質(zhì)作答，即比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘一個(gè)數(shù)或除以一個(gè)數(shù)（0除外）比值不變；用最簡(jiǎn)比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)即可．【詳解】故答案為：；．【點(diǎn)睛】此題主要考查了化簡(jiǎn)比和求比值的方法，另外還要注意化簡(jiǎn)比的結(jié)果是一個(gè)比，它的前項(xiàng)和后項(xiàng)都是整數(shù)，并且是互質(zhì)數(shù)；而求比值的結(jié)果是一個(gè)商，可以是整數(shù)、小數(shù)或分?jǐn)?shù)．2.已知，將它改寫(xiě)為比例式為()()【答案】49【分析】等式兩邊同時(shí)除以即可求解．【詳解】解：等式兩邊同時(shí)除以得：即：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查比例的應(yīng)用．根據(jù)題意將等式變形即可．3.解比例：(1)

；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)比例的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)比例的性質(zhì)求解即可；（3）根據(jù)比例的性質(zhì)求解即可；（4）根據(jù)比例的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：解得；（2）；（3）解得；（4）．【點(diǎn)睛】此題考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握比例的性質(zhì)．題型三比例的應(yīng)用【例3】(1)將6本相同厚度的書(shū)疊起來(lái)，它們的高度為14厘米，如果將21本這樣相同厚度的書(shū)繼續(xù)疊在上面，那么新的高度是多少？（用比例的方法求解）【答案】49厘米【分析】設(shè)新的高度是厘米，根據(jù)每本書(shū)的高度相等列出比例式子，由此即可得．【詳解】解：設(shè)新的高度是厘米，由題意得：，解得，答：新的高度是49厘米．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．(2)原來(lái)甲、乙兩廠的人數(shù)比是，從甲廠調(diào)人到乙廠后，甲乙兩廠人數(shù)相等．問(wèn)原來(lái)甲、乙兩廠各有多少人？【答案】甲廠原來(lái)有200人，乙廠原來(lái)有160人【分析】根據(jù)從甲廠調(diào)人到乙廠后，甲乙兩廠人數(shù)相等，則甲廠人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，用20人除以得出總?cè)藬?shù)，進(jìn)而按比例分配問(wèn)題即可求解．【詳解】解：甲廠原來(lái)有：（人）乙廠原來(lái)有：（人）答：甲廠原來(lái)有200人，乙廠原來(lái)有160人【點(diǎn)睛】本題考查了比的應(yīng)用，兩廠人數(shù)不變，根據(jù)20人調(diào)動(dòng)前、后甲廠人數(shù)所占的分率之差，求出總?cè)藬?shù)．(3)甲、乙、丙三隊(duì)合修一條4800米的公路，甲、乙、丙三隊(duì)修路長(zhǎng)度的比是，三個(gè)隊(duì)各修了多少米？【答案】甲：1200米；乙：2000米；丙：1600米【分析】先求出甲、乙、丙三隊(duì)修路長(zhǎng)度的總份數(shù)，用總數(shù)除以總份數(shù)，求出一份數(shù)，進(jìn)而求出三個(gè)隊(duì)各修的米數(shù)．【詳解】解：一份是：（米），甲隊(duì)修：（米），乙隊(duì)修：（米），丙隊(duì)修：（米）；答：甲隊(duì)修路1200米；乙隊(duì)修路2000米；丙隊(duì)修路1600米．【點(diǎn)睛】此題主要考查按比例分配應(yīng)用題的特點(diǎn)：已知兩個(gè)數(shù)的比（三個(gè)數(shù)的比），兩個(gè)數(shù)的和（三個(gè)數(shù)的和），求這兩個(gè)數(shù)（三個(gè)數(shù)），用按比例分配解答．反思總結(jié)1.由于百分?jǐn)?shù)是分母為100的特殊分?jǐn)?shù)，既能直觀地反映部分與總體的關(guān)系，又便于比較，因此在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和生活中運(yùn)用比較廣泛。2.售價(jià)＝成本＋盈利；3.折扣：幾折就表示現(xiàn)價(jià)是原價(jià)的十分之幾鞏固訓(xùn)練1.應(yīng)用題，用比例解答．(1)小明從甲地到乙地，計(jì)劃每小時(shí)行，到達(dá)，實(shí)際速度為，幾小時(shí)就能到達(dá)？(2)某一時(shí)刻，測(cè)得煙囪的影長(zhǎng)為米，同樣測(cè)得一長(zhǎng)4米的竹竿影長(zhǎng)為米，求煙囪的高度？【答案】(1)3小時(shí)(2)36米【分析】（1）設(shè)小時(shí)能到達(dá)，根據(jù)題意列出比例式，進(jìn)行求解即可得到答案；（2）設(shè)煙囪的高度為米，根據(jù)題意列出比例式，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)小時(shí)能到達(dá)，根據(jù)題意可得：，解得：，答：3小時(shí)能到達(dá)；（2）解：設(shè)煙囪的高度為米根據(jù)題意可得：，解得：，答：煙囪的高度為36米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的應(yīng)用，讀懂題意，正確列出比例式，是解題的關(guān)鍵．2.香格里拉牦牛肉，屬于全國(guó)農(nóng)產(chǎn)品地理標(biāo)志品牌．?huà)寢屧谀尘W(wǎng)購(gòu)平臺(tái)上查到不同網(wǎng)店的優(yōu)惠信息，計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)某種口味的“香格里拉牦牛肉”16包．請(qǐng)你幫媽媽設(shè)計(jì)出最劃算的購(gòu)買(mǎi)方案（可嘗試在不同的網(wǎng)店跨店購(gòu)買(mǎi)）．網(wǎng)店定價(jià)促銷方式運(yùn)費(fèi)A39元包每滿100元減15元快遞包郵B39元包一律八八折快遞包郵C39元包每買(mǎi)10包送2包快遞包郵【答案】A店【分析】A店：先求出應(yīng)花的錢(qián)數(shù)為（元，再求出624元里面有幾個(gè)100元，然后求出減少的現(xiàn)金，用應(yīng)該支付的錢(qián)數(shù)減減少的錢(qián)數(shù)即為實(shí)際支出的錢(qián)數(shù)；B店：用應(yīng)該支付的錢(qián)數(shù)乘即可；C店：每買(mǎi)10包送2包，買(mǎi)16包，實(shí)際只買(mǎi)包，據(jù)此求出實(shí)際花的錢(qián)數(shù)；然后進(jìn)行比較，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：A店：（元，624元有6個(gè)100元，（元B店：（元C店：（元∵，答：在A店買(mǎi)最劃算．【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是結(jié)合題意，分別求出三種支付方式的錢(qián)數(shù)，然后進(jìn)行比較，得出結(jié)論．3.為構(gòu)建節(jié)約型社會(huì)，加強(qiáng)公民節(jié)水意識(shí)，某城市制定了以下用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：每戶每月用水量不超過(guò)15噸時(shí)，每噸水費(fèi)為2元；如果超過(guò)15噸，超出部分每噸水費(fèi)在每噸2元的基礎(chǔ)上要加價(jià)收?。?1)已知李大伯家上個(gè)月用水15噸，需交水費(fèi)多少元？(2)已知王大爺家上個(gè)月繳納水費(fèi)39元，問(wèn)：王大爺家上個(gè)月用水多少噸？【答案】(1)30元(2)18噸【分析】（1）根據(jù)題意“每戶每月用水量不超過(guò)15噸時(shí)，每噸水費(fèi)為2元”，求解即可；（2）首先求得超出部分的用水噸數(shù)，即可獲得答案．【詳解】（1）解：（元），答：需交水費(fèi)30元；（2）（噸），（噸），答：王大爺家上個(gè)月用水18噸．【點(diǎn)睛】本題主要考查了百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用，準(zhǔn)確理解題意是解題關(guān)鍵．題型四百分比的應(yīng)用【例4】小杰將1500元存入銀行，月利率是0.11%,存了兩年,問(wèn)(1)小杰到期后可得利息是多少元?(2)到期支付20%的利息稅,小杰到期后可得稅后利息是多少元?(3)在（2）的條件下，小杰兩年后一共能從銀行取回多少元?【答案】解：1500×0.11%×12×（元）答：小杰到期后可得利息是元解：39.6×（120%）元答：小杰到期后可得稅后利息元。解：（元）答：小杰兩年后一共能從銀行取回元。反思總結(jié)1.根據(jù)國(guó)家規(guī)定：到銀行進(jìn)行存款，存戶在獲得利息的同時(shí)還需向國(guó)家繳納20%的利息稅。（納稅是每個(gè)公民應(yīng)盡的義務(wù)）計(jì)稅金額：需要計(jì)算稅金的物品的總金額，免稅的物品的金額是不屬于計(jì)稅金額。稅率：指應(yīng)征稅額與計(jì)稅金額（或者數(shù)量單位）之間的比例，如銀行的利息稅率是20%。滯納金：由于沒(méi)有按規(guī)定日期納稅，在交納稅款時(shí)要加付應(yīng)納稅額的千分之幾罰金。應(yīng)納稅額：納稅人所要交納的稅款。2.，，鞏固訓(xùn)練閱讀材料后，請(qǐng)解答下面的問(wèn)題，并把答案寫(xiě)在答題紙上：(1)材料1：2018年9月7日，財(cái)政部、國(guó)家稅務(wù)總局發(fā)布《關(guān)于2018年第四季度個(gè)人所得稅減除費(fèi)用和稅率適用問(wèn)題的通知》明確納稅人在2018年10月1日后實(shí)際取得的工資薪金所得，個(gè)稅起征點(diǎn)由每月3500元提高至每月5000元．級(jí)數(shù)原來(lái)（每月）工資薪金現(xiàn)行（每月）工資薪金稅率03500元5000元免稅1不超過(guò)1500元的部分不超過(guò)3000元的部分3%2超過(guò)1500元到4500元的部分超過(guò)3000元到12000元的部分10%3超過(guò)4500元到9000元的部分超過(guò)12000元到25000元的部分20%4超過(guò)9000元到35000元的部分超過(guò)25000元到35000元的部分25%…………根據(jù)材料1，完成下列表格填空：公民工資薪金（元）原應(yīng)納個(gè)稅（元）現(xiàn)應(yīng)納個(gè)稅（元）小王8500445小張13000590(2)材料2：2019年1月1日起正式實(shí)施《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法》．根據(jù)新修訂的個(gè)稅法，今后計(jì)算個(gè)稅應(yīng)納稅所得額（計(jì)稅金額），在5000元免稅的基礎(chǔ)上，還可享受多個(gè)專項(xiàng)附加扣除免稅，簡(jiǎn)略描述如下表．子女教育贍養(yǎng)兩位老人住房貸款繼續(xù)教育租房租金大病醫(yī)療每個(gè)子女每月扣除1000元?dú)霸驴鄢?000元每月扣除1000元每月扣除400元或300元每月扣除1200、1000或800元每年扣除60000元限額（據(jù)實(shí)）根據(jù)材料2，小宋與丈夫都是獨(dú)生子女，需要贍養(yǎng)四位老人和養(yǎng)育兩個(gè)小孩，小孩在讀小學(xué)和中學(xué)．小宋每月工資薪金為10000元（申報(bào)贍養(yǎng)兩位老人），丈夫每月工資薪金為15000元（申報(bào)贍養(yǎng)兩位老人）．那么請(qǐng)問(wèn)“養(yǎng)育兩個(gè)孩子的教育費(fèi)用”扣除額可以計(jì)算在小宋一方，也可以計(jì)算在丈夫一方，兩種不同方案的家庭個(gè)稅差額是___________元．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)360【分析】（1）根據(jù)稅費(fèi)計(jì)算方法求解即可；（2）分別計(jì)算了兩人個(gè)稅額，再相減即可．【詳解】（1）小王現(xiàn)應(yīng)納個(gè)稅為：（元）小張?jiān)瓚?yīng)納稅為：（元）故填表為：公民工資薪金（元）原應(yīng)納個(gè)稅（元）現(xiàn)應(yīng)納個(gè)稅（元）小王8500445140小張130001370590（2）小宋納稅為：（元）（元