斜拉橋非線(xiàn)性分析

斜拉橋幾何非線(xiàn)性分析方法綜述摘要:近些年來(lái)，隨著我國(guó)交通建設(shè)事業(yè)的發(fā)展，需要修建大跨度的橋梁以滿(mǎn)足交通的要求，斜拉橋以其美觀(guān)的造型和經(jīng)濟(jì)跨度，成為大跨度橋梁中非常有競(jìng)爭(zhēng)力的橋型之一。本文介紹了斜拉橋幾何非線(xiàn)性分析的基本理論，闡述影響斜拉橋幾何非線(xiàn)性的三個(gè)主要因素:大變形、斜拉索垂度效應(yīng)和彎矩與軸力的組合效應(yīng)，并介紹了幾何非線(xiàn)性方程的求解方法以及非線(xiàn)性分析中的兩個(gè)重要的問(wèn)題。關(guān)鍵詞:斜拉橋;幾何非線(xiàn)性分析;非線(xiàn)性方程求解1．概況斜拉橋是一種由橋塔、斜拉索和主梁構(gòu)件組成的組合橋梁結(jié)構(gòu)體系，是一種橋面體系受壓，支承體系受拉的橋梁形式。這種結(jié)構(gòu)形式節(jié)奏明快，韻律感強(qiáng)烈，受力均勻，更主要的是他有優(yōu)越的經(jīng)濟(jì)跨度。其橋面體系由加勁梁構(gòu)成，其支承體系由鋼索組成。是一種跨越能力較大的橋梁結(jié)構(gòu)形式。其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是由塔柱伸出的斜拉索為主梁的彈性支撐代替中間支撐，借以降低主梁的截面彎矩，減輕自重，顯著的增加跨越能力。同時(shí)，斜拉索拉力的水平分力對(duì)主梁起著預(yù)應(yīng)力的作用，能夠增強(qiáng)主梁的抗裂性。1.1斜拉橋的發(fā)展歷史現(xiàn)代斜拉橋的歷史雖短，但是利用斜向纜索、鐵鏈或鐵桿，從塔柱或桅桿懸吊梁體的工程構(gòu)思以及實(shí)際應(yīng)用可追朔到16世紀(jì)，1938年德國(guó)工程師迪辛格爾在研究一座雙線(xiàn)鐵路懸索橋時(shí)，發(fā)現(xiàn)在高應(yīng)力狀態(tài)下用高強(qiáng)鋼索作為斜纜，可以顯著提高橋梁的剛度。1955年，他設(shè)計(jì)并建成的瑞典斯特姆斯(stromsund)鋼斜拉橋，其跨徑是74.7+182+747m，塔是門(mén)形框架，拉索輻射形布置，加勁梁由兩片板梁組成。在現(xiàn)代斜拉橋歷史上寫(xiě)下了第一頁(yè).20世紀(jì)60年代初期，結(jié)構(gòu)分析有了新的突破，采用計(jì)算機(jī)分析技術(shù)，導(dǎo)致密束體系的產(chǎn)生。密索體系的優(yōu)點(diǎn)是減輕了主梁自重，簡(jiǎn)化了斜拉索的錨固裝置，有利于懸臂施工，增強(qiáng)了抗風(fēng)穩(wěn)定性，從而進(jìn)一步提高了斜拉橋的跨越能力。此后,由于有限元的出現(xiàn)和電算技術(shù)的發(fā)展,高強(qiáng)度優(yōu)質(zhì)新型鋼材的大量生產(chǎn),模型試驗(yàn)技術(shù)和預(yù)應(yīng)力混凝土技術(shù)的飛速發(fā)展,使斜拉橋在近30年間取得突破性的發(fā)展.近幾年,中國(guó)和世界各國(guó)相繼出現(xiàn)了修筑斜拉橋的高峰期。從80年代末開(kāi)始了大跨徑斜拉橋的設(shè)計(jì)與施工，至今己建成跨徑大于20Om的斜拉橋近50余座，其中跨徑超過(guò)4O0m的已有18座。由于混凝土斜拉橋造價(jià)低廉，在我國(guó)得到最優(yōu)先展，我國(guó)也是世界上建造混凝土斜拉橋最多的國(guó)家。目前，我國(guó)已建成的蘇通大橋，一躍成為世界上跨度最大的斜拉橋，斜拉橋主孔跨度IO88m，列世界第一;主塔高度3O6m，列世界第一;斜拉索的長(zhǎng)度580m，列世界第一;群樁基礎(chǔ)平面尺寸113.75mx48.lm，列世界第一。這些大跨度斜拉橋的建成標(biāo)志我國(guó)斜拉橋的建造技術(shù)達(dá)到了世界先進(jìn)水平。由于斜拉橋良好的力學(xué)性能、建造相對(duì)經(jīng)濟(jì)、景觀(guān)優(yōu)美，已成為大跨徑橋梁建設(shè)中最有競(jìng)爭(zhēng)力的橋型。新世紀(jì)里斜拉橋?qū)缪莞又匾慕巧?。我?guó)分別于2002年和2003年動(dòng)工建造的特大跨徑斜拉橋一江蘇蘇通大橋、香港昂船洲大橋則堪稱(chēng)世界橋梁建設(shè)史上里程碑式的項(xiàng)目。1.2斜拉橋的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)斜拉橋結(jié)構(gòu)由塔、索、梁組成，結(jié)構(gòu)體系豐富多彩。按塔的數(shù)量，可分為單塔和雙塔；按索面數(shù)可分為單索面和雙索面；按索的形狀可分為放射形、扇形、豎琴形。在密索體系的前提下，按塔、梁和墩的相互連接方式，可分為塔墩固結(jié)、塔梁固結(jié)、塔梁墩固結(jié)和漂浮體系等。斜拉橋的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是由索塔引出的斜拉索作為梁跨的彈性中間支撐，以降低梁跨的截面彎矩，減輕梁重，提高了梁的跨越能力。此外，斜拉索的水平分力對(duì)主梁產(chǎn)生軸向預(yù)加壓力的作用，此水平分力增強(qiáng)了主梁的抗裂性能，減少了高強(qiáng)度鋼材的用量。1.3斜拉橋幾何非線(xiàn)性分析的現(xiàn)狀自從本世紀(jì)60年代以來(lái)，各國(guó)的學(xué)者就開(kāi)始研究斜拉橋靜力幾何非線(xiàn)性行為。德國(guó)學(xué)者Ernst將斜拉索看成直桿，提出采用等效彈性模量雙。來(lái)考慮斜拉索自重垂度引起的非線(xiàn)性。F.LeonhardiTang，也得出了與Ernst一樣的結(jié)果。Ozdemir采用拉格朗日函數(shù)插值法，Jayaraman用小應(yīng)變彈性懸連線(xiàn)法，Gamblli:用曲線(xiàn)單元法，來(lái)模擬纜索的非線(xiàn)性行為。這些方法中以等效彈性模量法最為簡(jiǎn)便，因此被普遍采用。1971年，M.C.Tang根據(jù)斜拉索的受力分析及塔柱和主梁小撓度平衡微分方程，用虛擬荷載模擬梁一柱效應(yīng)及斜拉索垂度和轉(zhuǎn)角變化，采用傳遞矩陣法分析了斜拉橋的幾何非線(xiàn)性。由于建立的平衡方程是基于斜拉橋的初始未變形位置及小撓度的平衡微分方程，該法不能考慮結(jié)構(gòu)大位移問(wèn)題。1978年，J.F.Fleming用等效彈性模量考慮斜拉索垂度效應(yīng)，用穩(wěn)定函數(shù)考慮壓一彎構(gòu)件的梁一柱效應(yīng)，用拖動(dòng)坐標(biāo)系考慮大位移的影響，用迭代法對(duì)非線(xiàn)性方程進(jìn)行求解，給出了考慮斜拉橋幾何非線(xiàn)性的平面分析程序。1989年，Nazmy等將Fleming的穩(wěn)定函數(shù)理論推廣到空間來(lái)考慮梁、塔等構(gòu)件的梁一柱效應(yīng)，用Ernst公式考慮拉索垂度效應(yīng)。再與結(jié)構(gòu)幾何剛度矩陣疊加，以橫載狀態(tài)下的切線(xiàn)剛度矩陣作為活載分析的起始狀態(tài)，用荷載增量法對(duì)斜拉橋進(jìn)行幾何非線(xiàn)性分析。1996年，P.H.Wang與C.GYang用Ernst公式考慮拉索垂度效應(yīng)，用穩(wěn)定函數(shù)考慮梁一柱效應(yīng)，用轉(zhuǎn)換系數(shù)考慮大位移影響，用增量法和迭代法求解非線(xiàn)性方程，分析了各種非線(xiàn)性因素對(duì)斜拉橋靜力行為的影響。我國(guó)學(xué)者對(duì)斜拉橋的幾何非線(xiàn)性也進(jìn)行了廣泛的理論分析與試驗(yàn)研究。程慶國(guó)、潘家英等總結(jié)了斜拉橋幾何非線(xiàn)性研究的現(xiàn)狀，對(duì)各種斜拉橋幾何非線(xiàn)性分析方法做了總結(jié)，指出:(1)等效彈性模量法用直桿單元模擬斜拉索，給斜拉橋的分析帶來(lái)了很大方便，而且效果很好。但是當(dāng)斜拉索兩端節(jié)點(diǎn)位移比較大時(shí)，等效彈性模量法具有一定的局限性;(2)分析梁一柱效應(yīng)時(shí)可采用幾何剛度矩陣法和穩(wěn)定函數(shù)法，其中穩(wěn)定函數(shù)法具有比較高的精度，是處理梁一柱非線(xiàn)性的經(jīng)典有效的方法;(3)目前己有的斜拉橋非線(xiàn)性計(jì)算理論可大致分為切線(xiàn)模量表達(dá)的增量求解法和割線(xiàn)模量表達(dá)的全量求解法;理論框架可分為總體拉格朗日描述(T.L.)和修正拉格朗日描述(U.L)。但是斜拉橋非線(xiàn)性有限位移理論在有限元格式的建立過(guò)程中作了不同程度的簡(jiǎn)化和近似。因此，所得到的計(jì)算模型也不盡相同。從現(xiàn)有的各種非線(xiàn)性計(jì)算方法存在的差異可以看出，大跨度斜拉橋的非線(xiàn)性計(jì)算理論還有待進(jìn)一步深入研究，這大致可以歸納為以下三個(gè)方面:（1）斜拉橋各種非線(xiàn)性單元模式合理性及其精度的研究;（2）斜拉橋幾何非線(xiàn)性描述參考構(gòu)形及非線(xiàn)性求解方法的研究;（3）斜拉橋有限元離散方法、結(jié)構(gòu)模型化方法對(duì)幾何非線(xiàn)性分析結(jié)果的影響研究。綜上所述，早期對(duì)斜拉橋的幾何非線(xiàn)性分析中，除用Ernst公式修正彈性模量考慮斜拉索垂度效應(yīng)外，基本上按線(xiàn)彈性的理論進(jìn)行分析。進(jìn)入70年代以來(lái)，開(kāi)始用幾何剛度矩陣或穩(wěn)定函數(shù)來(lái)考慮幾何非線(xiàn)性中的梁一柱效應(yīng)，并用增量法、迭代法或增量一迭代法進(jìn)行非線(xiàn)性方程的求解，分析各種非線(xiàn)性因素對(duì)斜拉橋受力和變形的影響。目前，己發(fā)展為采用基于非線(xiàn)性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論的T.L.列式法或U.L.列式法來(lái)分析大跨度斜拉橋的幾何非線(xiàn)性。2.大跨度斜拉橋幾何非線(xiàn)性分析的主要影響因素斜拉橋是由橋塔、主梁、斜拉索構(gòu)成的組合結(jié)構(gòu)，在荷載作用下，錨固于橋塔上的斜拉索為梁跨提供了彈性支承，而斜拉索的水平分力對(duì)主梁產(chǎn)生軸向預(yù)加壓力的作用。斜拉索在自重作用下存在較大的垂度，而橋塔、主梁處于壓、彎荷載組合作用下，因此，斜拉索的存在使得斜拉橋成為一種柔性結(jié)構(gòu)。歸納起來(lái)，斜拉橋的幾何非線(xiàn)性來(lái)自三個(gè)方面：(1)斜拉索垂度的效應(yīng)；(2)軸力與彎矩組合效應(yīng)；(3)大變形產(chǎn)生結(jié)構(gòu)幾何形狀變化引起的非線(xiàn)性效應(yīng)。下面結(jié)合斜拉橋幾何非線(xiàn)性問(wèn)題，分別討論上述三種非線(xiàn)性因素的處理。2.1斜拉索垂度效應(yīng)斜拉索作為一種柔性構(gòu)件，在自重和軸力作用下將呈懸鏈線(xiàn)線(xiàn)形。斜拉索的軸向剛度隨垂度而改變，而垂度又取決于斜拉索張力，因此斜拉索張力與變形之間存在著明顯的非線(xiàn)性。在荷載作用下，斜拉索兩端的相對(duì)運(yùn)動(dòng)受三個(gè)因素影響：（1）索受力后產(chǎn)生的應(yīng)變可認(rèn)為是線(xiàn)彈性的，受索材料彈性模量控制；（2）在荷載作用下，索中各股鋼絲作相對(duì)運(yùn)動(dòng)，重新排列的結(jié)果使橫截面更為緊密。這種變形引起的構(gòu)造伸長(zhǎng)大部分是永久持續(xù)的，它發(fā)生在一定的張力下，一般可在斜拉索制作過(guò)程中，用預(yù)張拉的辦法來(lái)消除；而非永久性的伸長(zhǎng)會(huì)導(dǎo)致索材料有效彈性模量的降低；（3）在荷載作用下，索中除產(chǎn)生應(yīng)變外，還會(huì)導(dǎo)致索垂度變化，這種垂度變化與材料應(yīng)力無(wú)關(guān)，完全是幾何變化的結(jié)果，它受索內(nèi)張力、索長(zhǎng)和索自重分布控制。索抗拉剛度隨軸力變化而變化，垂度變化與索拉力不是線(xiàn)性關(guān)系。斜拉橋纜索產(chǎn)生的非線(xiàn)性隨著斜拉索自重及水平投影長(zhǎng)度的增加而增加，隨著斜拉索預(yù)拉力的增大而減小。對(duì)于大跨度斜拉橋，斜拉索產(chǎn)生的非線(xiàn)性效應(yīng)在全橋非線(xiàn)性效應(yīng)中占有相當(dāng)?shù)谋戎?。因此，合理地描述斜拉索的非線(xiàn)性特性在斜拉橋分析中起著重要的作用。2.1斜拉索受力及變形示意圖考慮斜拉索一個(gè)比較簡(jiǎn)單而且適用的方法是把它視為與它的弦長(zhǎng)等長(zhǎng)度的桁架直桿,其等效彈性模量包括材料變形、構(gòu)造伸長(zhǎng)和垂度變化3個(gè)因素的影響,其表達(dá)式為:經(jīng)過(guò)這樣處理后,斜拉索的單元?jiǎng)偠染仃嚭涂臻g或平面桿件系統(tǒng)的剛度矩陣基本一致,唯一的區(qū)別是斜拉索單元采用的是等效彈性模量Eeq,長(zhǎng)度則取為L(zhǎng)。2.2大變形效應(yīng)在荷載作用下，斜拉橋上部結(jié)構(gòu)的幾何位置變化顯著。從有限元法的角度來(lái)說(shuō)，結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)隨荷載的增量變化較大，各單元的長(zhǎng)度、傾角等幾何特性也相應(yīng)產(chǎn)生較大的改變，結(jié)構(gòu)的剛度矩陣成為幾何變形的函數(shù)，因此，平衡方程{F}=[K]{δ}不再是線(xiàn)性關(guān)系，小變形假設(shè)中的迭加原理也不再適用。因此在計(jì)算應(yīng)力和反力時(shí)應(yīng)當(dāng)計(jì)入結(jié)構(gòu)位移的影響，也就是位移理論。平衡條件是根據(jù)變形后的幾何位置給出的，荷載和位移并不再保持線(xiàn)性性質(zhì)。內(nèi)力與外荷載之間的正比關(guān)系也不再存在。由于結(jié)構(gòu)大變形的存在，產(chǎn)生了與荷載增量不成正比的附加應(yīng)力。附加應(yīng)力的計(jì)算可以采用逐次逼近的方法。根據(jù)結(jié)構(gòu)初始幾何狀態(tài)，采用線(xiàn)性分析的方法求出結(jié)構(gòu)內(nèi)力和位移，使用帶動(dòng)坐標(biāo)的混合法對(duì)幾何位置加以修正，這時(shí)各單元的剛度矩陣也相應(yīng)有所變化。利用變形后的剛度矩陣和結(jié)點(diǎn)位移求出桿端力，由于變形前后剛度不同，產(chǎn)生了結(jié)點(diǎn)不平衡荷載，將此不平衡荷載作為結(jié)點(diǎn)外荷載作用于結(jié)點(diǎn)上，再次計(jì)算結(jié)構(gòu)位移，如此迭代直至不平衡荷載小于允許范圍為止（可以得出結(jié)點(diǎn)的準(zhǔn)確位移，從而得出相應(yīng)的應(yīng)力和內(nèi)力）。迭代過(guò)程中的初始荷載和每次迭代時(shí)的不平衡荷載都是以增量的形式加載的。在每個(gè)荷載增量加載期間假設(shè)剛度矩陣為一常數(shù)，即增量區(qū)間的左端點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的剛度矩陣。求解平衡方程，得出該荷載增量下的位移增量，由此可以在該荷載增量區(qū)間末對(duì)幾何位置進(jìn)行修正，用于下一個(gè)荷載增量計(jì)算。這樣，每次荷載增量下的結(jié)構(gòu)剛度矩陣和桿端力計(jì)算都與當(dāng)時(shí)的幾何位置相對(duì)應(yīng)，雖然在各荷載增量加載過(guò)程中作了線(xiàn)性假設(shè)，但只要荷載分得足夠細(xì)，迭代的次數(shù)足夠多，就可以用這種分段線(xiàn)性來(lái)代替大變形引起的非線(xiàn)性。除了大變形外，斜拉索垂度變化和彎矩軸向力相互作用引起的非線(xiàn)性效應(yīng)都和結(jié)構(gòu)的幾何變形有關(guān)。此處把以上效應(yīng)均歸入幾何非線(xiàn)性的范疇，所以把幾何非線(xiàn)性直接稱(chēng)為大變形非線(xiàn)性時(shí)不夠全面的。2.3彎矩與軸向力的組合效應(yīng)對(duì)于處理梁一柱效應(yīng)的有效的方法是引入穩(wěn)定函數(shù)，用此函數(shù)修正剛度矩陣后進(jìn)行線(xiàn)性計(jì)算。圖2.3軸向受壓構(gòu)件如上圖所示同時(shí)受軸向壓力和彎矩作用的構(gòu)件的Y方向的撓度方程為:q=0時(shí)，通解為式中：令該問(wèn)題的邊界條件為：將邊界條件代入通解方程，有：式中：將上式記為：{F}為構(gòu)件兩端的剪力和彎矩向量：對(duì)通解方程兩端兩端求解，并代入上式有：將上式簡(jiǎn)記為：因此有：令則可得到{T}為單元的剛度矩陣上式代入{T}有當(dāng)軸向壓力N為0時(shí)，此時(shí)u趨于0。而此時(shí)的矩陣{T}應(yīng)與單元線(xiàn)性剛度矩陣相等，即有:引入穩(wěn)定函數(shù)系數(shù)來(lái)修正線(xiàn)性剛度矩陣中的各系數(shù)，則可得：由上式可得其中：S即為穩(wěn)定函數(shù)修正系數(shù)。當(dāng)單元受軸向拉力作用時(shí)的穩(wěn)定函數(shù)系數(shù)可同理推得。用得到的修正系數(shù)修正單元?jiǎng)偠染仃?，以此?lái)考慮非線(xiàn)性分析中的梁一柱效應(yīng)。3．非線(xiàn)性分析的基本方法考慮幾何非線(xiàn)性的有限元方程是建立在結(jié)構(gòu)變形后構(gòu)形上的平衡方程，結(jié)構(gòu)剛度矩陣是所求位移的函數(shù)，無(wú)法直接求解，通常只能采用逐步逼近的數(shù)值方法。目前常用的數(shù)值方法有:荷載增量法、迭代法和混合法。3.1增量法增量是指荷載以增量的形式逐級(jí)加上去,對(duì)每個(gè)荷載增量作用過(guò)程中假定結(jié)構(gòu)的剛度是不變的,在任一荷載增量區(qū)間內(nèi)結(jié)點(diǎn)位移和桿端力都是由區(qū)間起點(diǎn)處的結(jié)構(gòu)剛度算出,然后利用所求得的結(jié)點(diǎn)位移和桿端力求出相對(duì)于增量區(qū)終點(diǎn)變形后位置上的結(jié)構(gòu)剛度,作為下一個(gè)荷載增量的起點(diǎn)剛度。在任一荷載增量i級(jí)作用下的平衡方程為:增量荷載區(qū)間終點(diǎn)處的結(jié)點(diǎn)位移為起點(diǎn)處位移和位移增量之和，可見(jiàn)結(jié)構(gòu)的集合狀態(tài)要在每個(gè)荷載增量后進(jìn)行調(diào)整。3.1增量法原理圖3.2迭代法迭代法的基本思想是。根據(jù)作用在結(jié)構(gòu)上的荷載，進(jìn)行迭代計(jì)算，取結(jié)構(gòu)剛度為一數(shù)值，迭代后計(jì)算總荷載的不平衡力，并把它作為下一步迭代的荷載，計(jì)算出附加位移值，反復(fù)計(jì)算直至結(jié)果達(dá)到預(yù)定精度。3.2迭代法原理圖3.3增量迭代混合法增量迭代混合法是將增量法和迭代法聯(lián)合運(yùn)用，在對(duì)所施加的荷載分級(jí)的同時(shí)，每級(jí)荷載加載過(guò)程中也進(jìn)行迭代計(jì)算。該方法即克服了增量法的誤差，又能克服迭代法計(jì)算量大的缺點(diǎn)。3.3混合法原理圖3.4帶有拖動(dòng)坐標(biāo)系的混合法求解大位移效應(yīng)引起的幾何非線(xiàn)性問(wèn)題，可采用基于U.L.列式法的拖動(dòng)坐標(biāo)系對(duì)結(jié)構(gòu)幾何位置進(jìn)行修正，簡(jiǎn)稱(chēng)這種方法為CR式法。這種方法在計(jì)算由節(jié)點(diǎn)位移增量產(chǎn)生的單元內(nèi)力增量時(shí)，可精確扣除單元的剛體平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)桿系結(jié)構(gòu)的幾何非線(xiàn)性分析特別顯示其優(yōu)越性。圖3-4(a)為t時(shí)刻整體坐標(biāo)系XOY中一個(gè)已處于平衡狀態(tài)的梁?jiǎn)卧?，根?jù)單元節(jié)點(diǎn)i、j的坐標(biāo)值，可以算出、、、，從時(shí)刻t到時(shí)刻t+t，單元變形后移動(dòng)到圖3-4(b)所示的位置，此時(shí)單元的節(jié)點(diǎn)位移為、、、、、。從圖中可以看出，從時(shí)刻t到時(shí)刻t+t，單元拖動(dòng)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)可分為兩部分，即從剛體平移到圖3-4(b)中的虛線(xiàn)位置，然后從虛線(xiàn)位置剛體移到的位置。（a）單元ij變形前的形態(tài)(b)單元ij變形后的形態(tài)3.4拖動(dòng)坐標(biāo)系此時(shí)：于是，在t至t+t時(shí)段增量步內(nèi)，局部坐標(biāo)系下單元運(yùn)動(dòng)中真正能引起起單元變形的那部分位移增量可以表示為：于是，在t至t+t時(shí)段增量步內(nèi)，單元在拖動(dòng)坐標(biāo)系xy中的節(jié)點(diǎn)位移增量可表示為：如果變形后單剛用表示，則變形后的單元節(jié)點(diǎn)力可以用節(jié)點(diǎn)位移表示為：式中，、、都系局部坐標(biāo)系，通過(guò)坐標(biāo)變換，轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系XOY后，上式可表示為：由于單元?jiǎng)偠染仃囀怯删植孔鴺?biāo)系轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系而得到的，轉(zhuǎn)換矩陣[T]的方向余弦為位移的函數(shù)，從而：上式表明單元?jiǎng)偠染仃囀菃卧?jié)點(diǎn)位移列陣的函數(shù)。若首先把結(jié)構(gòu)以線(xiàn)性理論計(jì)算得到的彈性位移作為第一次近似值，然后通過(guò)計(jì)算算出各變形單元作用到節(jié)點(diǎn)上的力：從而各節(jié)點(diǎn)上產(chǎn)生的不平衡力為：把該不平衡力作用到結(jié)構(gòu)的各節(jié)點(diǎn)上去，算出位移的第二次近似值。重復(fù)以上過(guò)程，反復(fù)迭代直至{F}={0}為止。3.5拖動(dòng)坐標(biāo)混合法在斜拉橋分析中的應(yīng)用現(xiàn)介紹帶動(dòng)坐標(biāo)混合法在斜拉橋中的應(yīng)用。在帶動(dòng)坐標(biāo)的混合法中設(shè)置了兩重主要的循環(huán)計(jì)算，即迭代循環(huán)和荷載增量循環(huán)。荷載增量循環(huán)嵌套于迭代循環(huán)中，目的是加快收斂速度，提高計(jì)算精度。3.5.1迭代循環(huán)在迭代循環(huán)開(kāi)始前，整個(gè)結(jié)構(gòu)位移為零，桿端力除斜拉索單元外均為零。斜拉索軸向抗力為初始拉力，結(jié)構(gòu)各單元穩(wěn)定性函數(shù)值為1.0（在分析彎矩與軸向力的組合效應(yīng)時(shí)用此函數(shù)對(duì)剛度矩陣加以修正后再實(shí)施線(xiàn)性計(jì)算）。斜拉索的彈性模量為初始拉力下的等效彈性模量，恒載及外荷載被分配到各節(jié)點(diǎn)上，得到等效節(jié)點(diǎn)力。迭代循環(huán)的計(jì)算步驟如下：（1）將恒載、外荷載的等效節(jié)點(diǎn)力以及斜拉索的初始張拉力施加到斜拉橋結(jié)構(gòu)上，施加過(guò)程實(shí)際上是逐步進(jìn)行的，尤其是表現(xiàn)在荷載增量循環(huán)中，計(jì)算出結(jié)構(gòu)桿端力及節(jié)點(diǎn)位移；（2）根據(jù)上一步計(jì)算出來(lái)的節(jié)點(diǎn)位移，重新調(diào)整結(jié)構(gòu)的幾何位置，并計(jì)算當(dāng)前狀態(tài)下的穩(wěn)定性函數(shù)值Si和斜拉索的等效彈性模量，用于下次迭代計(jì)算，這一步驟同樣表現(xiàn)在荷載增量循環(huán)中；（3）不平衡荷載的計(jì)算是將第一步算出的桿端力反號(hào)后與荷載的等效節(jié)點(diǎn)力相加，得到第一次迭代后的不平衡荷載；（4）檢驗(yàn)不平衡荷載的大小是否小于限制值，如果不滿(mǎn)足要求，將不平衡荷載視為作用荷載，重復(fù)以上三步的計(jì)算，直到不平衡荷載小于限制值為止。3.5.2荷載增量循環(huán)對(duì)斜拉橋幾何非線(xiàn)性各因素的處理手段主要體現(xiàn)在荷載增量循環(huán)過(guò)程中，荷載增量循環(huán)完全嵌套于迭代循環(huán)中，每次迭代運(yùn)算中增量循環(huán)的次數(shù)取決于荷載增量的個(gè)數(shù)。為加快收斂速度，在第一次迭代和其后的各次迭代中采用了不同的荷載分級(jí)方法。第一次迭代的荷載增量區(qū)間分得較細(xì)，其后的各次迭代則相對(duì)分得粗一些。在以下描述中將第一次迭代的作用荷載包括恒載、外荷載和斜拉索初始拉力以及每次迭代后的不平衡荷載統(tǒng)稱(chēng)為增量循環(huán)計(jì)算的初始荷載。結(jié)合斜拉橋幾何非線(xiàn)性分析的特點(diǎn)，荷載增量循環(huán)的計(jì)算步驟如下：（1）初始荷載的分級(jí)可采用等步長(zhǎng)分級(jí)，進(jìn)入第一個(gè)荷載增量循環(huán)；（2）計(jì)算結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣，即當(dāng)前荷載增量區(qū)間左端處的剛度矩陣；（3）引入約束條件；（4）求解平衡方程，得出位移增量，再將位移增量加到上一個(gè)荷載狀態(tài)下的節(jié)點(diǎn)位移上去，得到當(dāng)前荷載狀態(tài)下的節(jié)點(diǎn)位移；（5）根據(jù)上一步得到的位移增量，計(jì)算當(dāng)前荷載增量區(qū)間末段結(jié)構(gòu)的幾何位置，包括節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的移動(dòng)和桿件長(zhǎng)度、傾角的變化等；（6）計(jì)算當(dāng)前荷載增量區(qū)間末端新的幾何位置上的桿端力；（7）斜拉索等效模量的修正，即當(dāng)前荷載狀態(tài)的等效彈性模量；第2章大跨度斜拉橋的幾何非線(xiàn)性分析理論（8）穩(wěn)定性函數(shù)Si的修正；（9）檢驗(yàn)是否完成了最后一級(jí)荷載的加載，若未完成，重復(fù)進(jìn)行第（2）—第（8）步的計(jì)算直到加載完成為止。從以上步驟可知，在每個(gè)荷載增量區(qū)間計(jì)算過(guò)程中，第（5）步修正了結(jié)構(gòu)的幾何位置，使第（6）步的桿端力計(jì)算與當(dāng)前的幾何位置能對(duì)號(hào)入座，這就是對(duì)大變位效應(yīng)的處理手段。第（7）步和第（8）步分別對(duì)斜拉索的等效彈性模量和非斜拉索單元的穩(wěn)定性函數(shù)作了修正，這樣，返回到第（2）步計(jì)算出的下一個(gè)荷載增量區(qū)間左端點(diǎn)處的剛度矩陣較為符合實(shí)際情況，做到了斜拉索垂度變化和剛度矩陣的對(duì)應(yīng)。同時(shí)，通過(guò)穩(wěn)定性函數(shù)Si對(duì)剛度矩陣的修正，達(dá)到了考慮彎矩和軸向力組合效應(yīng)的目的。4.非線(xiàn)性分析中兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題4.1增量步長(zhǎng)選擇在用前述增量法或混合法求解幾何非線(xiàn)性有限元方程時(shí)，都要合理選擇荷載增量步長(zhǎng)。步長(zhǎng)過(guò)大則計(jì)算結(jié)果不收斂或不可靠，步長(zhǎng)過(guò)小則計(jì)算機(jī)時(shí)太長(zhǎng)。增量法是一種線(xiàn)性化方法，如把步長(zhǎng)最大(只需一個(gè)增量步)的線(xiàn)性彈性問(wèn)題看成是非線(xiàn)性程度最低的非線(xiàn)性問(wèn)題，那么，隨著非線(xiàn)性程度的增高，步長(zhǎng)應(yīng)當(dāng)減小。不同結(jié)構(gòu)物的非線(xiàn)性程度不同，同一結(jié)構(gòu)物的非線(xiàn)性程度也隨加載過(guò)程而變，所以只有按具體的非線(xiàn)性程度來(lái)選擇步長(zhǎng)才是合理的。P.G.Bergan等提出第i增量步的剛度用下式度量:初始(線(xiàn)性彈性)剛度用下式度量：于是，第i增量步的剛度參數(shù)可用下面的無(wú)量綱參數(shù)定義:由于:從而：這樣，如果給定進(jìn)入非線(xiàn)性狀態(tài)后的第一個(gè)載荷增量因子和剛度參數(shù)的變化值(可在0.05-0.2范圍內(nèi)選取)，那么就可以按下式選擇載荷增量步長(zhǎng):4.2收斂準(zhǔn)則對(duì)幾何非線(xiàn)性有限元方程，沒(méi)有直接解法，通常采用前述增量迭代法求解。如何保證迭代解的收斂性是首要問(wèn)題。因此必須給出一個(gè)切實(shí)可行的收斂標(biāo)準(zhǔn)，不給出收斂標(biāo)準(zhǔn)，就無(wú)法中止迭代，收斂標(biāo)準(zhǔn)如取得不合適，就太不精確或太費(fèi)機(jī)時(shí)，甚至導(dǎo)致計(jì)算失敗。在迭代計(jì)算過(guò)程中，首先選擇一個(gè)初始解(即迭代初始解，或取為線(xiàn)性解，或取為某一特定解)，并由此依據(jù)迭代方法而產(chǎn)生一個(gè)解的序列、、……使在實(shí)際應(yīng)用中，針對(duì)具體工程結(jié)構(gòu)，可憑借已有的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)和對(duì)結(jié)構(gòu)性質(zhì)的了解，提供一個(gè)初始解，再由此構(gòu)造出一個(gè)解的序列，并檢查其收斂趨勢(shì)。在確定后，就可以開(kāi)始迭代過(guò)程，并在每一迭代終了，都要檢查一下過(guò)程是否是發(fā)散的，或者己經(jīng)收斂。檢查發(fā)散的準(zhǔn)則可以有以下兩種:1).迭代次數(shù)n已經(jīng)超過(guò)某一預(yù)定最大限值N(n＞N)，即認(rèn)為是發(fā)散的。2).當(dāng)?shù)庠絹?lái)越大，即出現(xiàn):時(shí)，亦認(rèn)為已發(fā)散。這兩種準(zhǔn)則各有其優(yōu)缺點(diǎn):如果過(guò)程發(fā)散得很快，第一種準(zhǔn)則不能及早地發(fā)現(xiàn)，計(jì)算過(guò)程會(huì)使毫無(wú)希望的迭代繼續(xù)下去，直至達(dá)到極限迭代次數(shù)為止;如果過(guò)程并非單調(diào)收斂，呈現(xiàn)某種振蕩特性，則第二種準(zhǔn)則會(huì)將它誤判為發(fā)散，從而造成迭代過(guò)程及早地終止。為彌補(bǔ)這種不足，可以規(guī)定:在連續(xù)若干次迭代次數(shù)內(nèi)，上式成立，過(guò)程認(rèn)為是發(fā)散的。檢查迭代過(guò)程是否是已經(jīng)收斂的準(zhǔn)則有以下三種:1).位移收斂準(zhǔn)則，它又可有三種形式:式中:為允許誤差(根據(jù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)精度要求確定);準(zhǔn)確解實(shí)際上是不知道的，故在實(shí)際應(yīng)用時(shí)以來(lái)取代。在這三個(gè)式子中，第一式不適合于接近于零向量的情形，因該不等式很難滿(mǎn)足，或在計(jì)算時(shí)甚至出現(xiàn)下溢。在這種情況下，用上述第二式比較妥當(dāng)。第三式是綜合前兩式的優(yōu)點(diǎn)而得到的一種混合判別式，它適用于較大的情形。2).不平衡力收斂準(zhǔn)則式中，為相對(duì)誤差，F(xiàn)為外荷載，是迭代開(kāi)始時(shí)，系統(tǒng)應(yīng)力狀態(tài)對(duì)應(yīng)的內(nèi)力。即：3).能量準(zhǔn)則能量準(zhǔn)則把每次迭代后的內(nèi)能增量一不平衡力在位移增量上所做的功與初始內(nèi)能增量相比較，即式中為第n次迭代時(shí)的位移增量，為第n次迭代時(shí)結(jié)構(gòu)