《基礎(chǔ)數(shù)學(xué)（第3冊）（第2版）》教案 第十三章 13.1橢圓（一）

課題橢圓（一）課時(shí)2課時(shí)（90min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)：（1）掌握橢圓的概念。（2）掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（3）掌握橢圓的幾何意義。（3）通過橢圓知識(shí)的學(xué)習(xí)與運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)幾何思維能力。素質(zhì)目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考和深度思考的良好習(xí)慣；培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)揭示生活中的奧秘，在實(shí)踐中深化認(rèn)識(shí)，達(dá)到學(xué)以致用的目的。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：橢圓的概念與標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)難點(diǎn)：橢圓的幾何意義教學(xué)方法講練結(jié)合法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)理念（1）通過生活中的實(shí)例導(dǎo)入橢圓的概念；（2）引導(dǎo)學(xué)生自然地認(rèn)識(shí)橢圓的形成過程；（3）通過練習(xí)，鞏固知識(shí)．（4）依照學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，順應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)思路展開，自然地層層推進(jìn)教學(xué)．教學(xué)設(shè)計(jì)第1節(jié)課：→→→問題→傳授新知（15min）→→第2節(jié)課：→傳授新知（25min）→課堂練習(xí)（10min）→課堂小結(jié)（3min）→作業(yè)布置（2min）教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖第一節(jié)課課前任務(wù)【教師】布置課前任務(wù)，和學(xué)生負(fù)責(zé)人取得聯(lián)系，讓其提醒同學(xué)通過文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)軟件，完成課前任務(wù)請大家回憶圓的概念和標(biāo)準(zhǔn)方稱，體會(huì)圓形成的過程，并預(yù)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容。【學(xué)生】完成課前任務(wù)通過課前的預(yù)熱，讓學(xué)生了解所學(xué)課程的大概內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望考勤（2min）【教師】使用文旌課堂APP進(jìn)行簽到，清點(diǎn)上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報(bào)請假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況新課預(yù)熱（5min）【教師】自我介紹，與學(xué)生簡單互動(dòng)，介紹課程內(nèi)容、考核標(biāo)準(zhǔn)等【學(xué)生】聆聽、互動(dòng)【教師】介紹圓錐曲線在生活中的應(yīng)用圓錐曲線包括橢圓、雙曲線和拋物線，它們在科學(xué)研究和我們的日常生活中應(yīng)用非常廣泛．例如，人造衛(wèi)星的軌道是橢圓；發(fā)電廠冷卻塔的軸截面曲線是雙曲線；探照燈反光面的軸截面曲線是拋物線．圓錐曲線的廣泛應(yīng)用與其幾何性質(zhì)、光學(xué)性質(zhì)是密不可分的．本章我們就來學(xué)習(xí)圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)．【學(xué)生】聆聽、記錄、理解通過老師自我介紹，與學(xué)生相互熟悉，并讓學(xué)生了解這章內(nèi)容的大致要求問題導(dǎo)入（5min）【教師】提出以下問題：如圖13-1所示，取一條定長的細(xì)繩，將它的兩端分別固定在和兩點(diǎn)．當(dāng)細(xì)繩長大于和之間的距離時(shí)，用筆尖將細(xì)繩拉緊，讓筆尖（即動(dòng)點(diǎn)M）順勢在平面上移動(dòng)一周．筆尖移動(dòng)的軌跡就是一個(gè)橢圓．圖13-1【學(xué)生】聆聽、思考、舉手回答通過問題導(dǎo)入的方法，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣傳授新知（15min）【教師】通過學(xué)生的回答引入要講的知識(shí)，講解橢圓的概念【知識(shí)精講】【教師】根據(jù)導(dǎo)入問題講解橢圓的概念1．橢圓的概念由上述得到橢圓的過程可以看出，橢圓上的點(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之和為一個(gè)定長．由此我們可以得到橢圓的概念：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)，稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離稱為橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距．【學(xué)生】理解、記憶、做筆記【頭腦風(fēng)暴｝【教師】提出問題在橢圓的概念中，為什么要強(qiáng)調(diào)常數(shù)大于呢？當(dāng)常數(shù)等于或小于時(shí)，點(diǎn)的軌跡又是怎樣的？【學(xué)生】討論、質(zhì)疑【教師】根據(jù)導(dǎo)入問題講解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程如圖13-2所示，以經(jīng)過橢圓兩焦點(diǎn)，的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．圖13-2設(shè)橢圓的焦距為，則兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)到焦點(diǎn)，的距離之和為，則．因?yàn)椋?，所以．移?xiàng)可得，兩邊分別平方，得，化簡整理可得．兩邊分別平方，得，化簡整理可得．已知，因此．令，則式可變形為，兩邊同時(shí)除以，得．這個(gè)方程就稱為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示焦點(diǎn)在軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，的橢圓，其中．．圖13-3這個(gè)方程也稱為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中．【學(xué)生】聆聽、思考、記憶【學(xué)以致用】【教師】根據(jù)知識(shí)點(diǎn)講解例題例1求下列橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)．例1（1）； （2）．解（1）已知方程為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，且，因此這個(gè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且，．又因?yàn)?，所以，該橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，．（2）將已知方程轉(zhuǎn)化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得．由于，因此這個(gè)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且，．又因?yàn)椋?，該橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，．例2求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．例2（1）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和等于10；（2）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，且圖像經(jīng)過點(diǎn)．解（1）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為．又因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，所以．因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為．由橢圓的概念可知即．由此可得．因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【學(xué)生】聆聽、討論、理解、回答通過教師講解、課堂討論、舉例說明等教學(xué)方式，使學(xué)生了解橢圓的概念和標(biāo)準(zhǔn)方程課堂練習(xí)（10min）【教師】對學(xué)生進(jìn)行同桌互助自測（學(xué)困生上黑板驗(yàn)算）：1．若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______________．2．已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，圖像經(jīng)過點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________．3．下列方程中表示橢圓的是（）．A．B．C． D．4．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）．A．和 B．和C．和 D．和【學(xué)生】聆聽、思考、同桌討論，糾錯(cuò)使用講練結(jié)合的方式，及時(shí)了解學(xué)生知識(shí)掌握情況糾錯(cuò)記憶（8min）【教師】對學(xué)生進(jìn)行同桌互助討論（學(xué)困生回答）：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)，稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離稱為橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距．為什么要（大于請同學(xué)們討論。【學(xué)生】聆聽、思考、同桌討論，糾錯(cuò)【教師】與學(xué)生一起糾錯(cuò)，并進(jìn)行總結(jié)通過課堂討論，加深學(xué)生對所學(xué)知識(shí)的理解，并培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)意識(shí)第二節(jié)課問題導(dǎo)入（5min）【教師】提出問題：中國國家大劇院是北京市的地標(biāo)性建筑之一，如圖13-4所示．遠(yuǎn)看時(shí)它的外形就是半個(gè)橢圓形，整個(gè)建筑倒映在水中時(shí)看起來就是一個(gè)完整的橢圓形．白天襯著藍(lán)天和白云，晚上伴著月色和燈光，它就像一顆水上的明珠，格外美麗？觀察圖13-4，中國國家大劇院的橢圓外形有何特點(diǎn)？【學(xué)生】聆聽、思考、舉手回答通過問題導(dǎo)入的方法，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣傳授新知（20min）【教師】通過學(xué)生的回答引入要講的知識(shí)，講解橢圓的幾何意義【知識(shí)精講】【教師】根據(jù)導(dǎo)入問題講解橢圓的范圍、對稱性、頂點(diǎn)和離心率、1．范圍由可知，橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足不等式，即，．這說明橢圓位于直線和所圍成的矩形里，如圖13-5所示．例如，橢圓位于直線和所圍成的矩形里，如圖13-6所示．圖13-5圖13-62．對稱性在方程中，將換成，方程不變，這說明當(dāng)點(diǎn)在橢圓上時(shí)，它關(guān)于軸的對稱點(diǎn)也在橢圓上，因此橢圓關(guān)于軸對稱；同理，將換成，方程不變，因此橢圓關(guān)于軸對稱；同理，將，分別換成，，方程也不變，因此橢圓關(guān)于原點(diǎn)對稱．綜上可知，橢圓既是分別以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，又是以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形．橢圓的對稱中心稱為橢圓的中心．3．頂點(diǎn)點(diǎn)，是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)；同理，點(diǎn)，是橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)，如圖13-7所示．圖13-7因?yàn)檩S和軸是橢圓的對稱軸，所以橢圓與它的對稱軸有四個(gè)交點(diǎn)，這四個(gè)交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)．線段和分別稱為橢圓的長軸和短軸．它們的長分別等于和，a和b分別稱為橢圓的長半軸長和短半軸長．例如，橢圓的為，，，，長軸長為10，短軸長為6．4．離心率不同形狀的橢圓，其扁平程度也不同，這一特征可通過橢圓的半焦距c及長半軸長a來反映．橢圓的半焦距與長半軸長之比稱為橢圓的離心率，用表示，即．因?yàn)?，所以．例如，橢圓的離心率為ca，于是越小，橢圓就越扁平；反之，c，從而b越a，橢圓就越接近于圓．．【學(xué)生】聆聽、思考、記憶【學(xué)以致用】【教師】根據(jù)知識(shí)點(diǎn)講解例題例3求下列橢圓的長軸長、短軸長、離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)．例3（1）； （2）．解（1）將已知方程轉(zhuǎn)化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得，其中，，，．因此，橢圓的長軸長為，短軸長為，離心率為，兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，．（2）將已知方程轉(zhuǎn)化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得，其中，，，．因此，橢圓的長軸長為，短軸長為，離心率為，兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，．【學(xué)生】聆聽、討論、理解、回答通過教師講解、課堂討論、舉例說明等教學(xué)方式，使學(xué)生掌握橢圓的幾何意義課堂練習(xí)（10min）【教師】對學(xué)生進(jìn)行同桌互助自測（學(xué)困生上黑板驗(yàn)算）：（1）； （2）．【學(xué)生】聆聽、思考、同桌討論，糾錯(cuò)使用講練結(jié)合的方式，充分了解學(xué)情課堂小結(jié)（3min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本次課學(xué)習(xí)了橢圓的概念，以及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。希望大家在課下多加復(fù)習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)，為后面的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。【學(xué)生】總結(jié)回顧知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)，加深學(xué)生對橢圓相關(guān)知識(shí)的印象作業(yè)布置（2min）【教師】布置課后作業(yè)（1）閱讀理解：教材13.1，小試牛刀13.1；（2）書面作業(yè)：小試牛刀13.1A組，（配套）學(xué)習(xí)與訓(xùn)