(上課用)等邊三角形-復(fù)習(xí)課

等邊三角形綜合練習(xí)梁宏偉制作等邊三角形的定義等邊三角形是特殊的等腰三角形，也叫正三角形。等腰三角形包括等邊三角形，等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì)。

三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形。等邊三角形的性質(zhì)1.等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等,且等于60°2.等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有三條對(duì)稱軸.3.等邊三角形各邊上中線,高和所對(duì)角的平分線都三線合一.等邊三角形的判定方法:1.三邊相等的三角形是等邊三角形.2.三個(gè)內(nèi)角都等于60°的三角形是等邊三角形.3.有兩個(gè)內(nèi)角等于60°的三角形是等邊三角形.4.有一個(gè)內(nèi)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.例1已知一腰和底邊上的高，求作等腰三角形。分析：我們首先在草稿上畫好一個(gè)示意圖，然后對(duì)照此圖寫出已知和求作并構(gòu)思整個(gè)作圖過程……已知：線段a、h求作：△ABC，使AB=AC=a，高AD=h作法：1、作PQ⊥MN，垂足為D2、在DM上截取DA=h3、以點(diǎn)A為圓心，以a為半徑作弧，交PQ于點(diǎn)B、C4、連結(jié)AB、AC則△ABC為所求的三角形。例題分析聯(lián)想：此法對(duì)我們要有所啟示。如知道一等腰三角形的底邊和一腰上的高，你能畫出這個(gè)等腰三角形嗎？（通過畫圖可知只需畫一個(gè)直角三角形（HL），再做斜邊的垂直平分線就可以）例2.如圖，線段OD的一個(gè)端點(diǎn)O在直線a上，以O(shè)D為一邊畫等腰三角形，并且使另一個(gè)頂點(diǎn)在直線a上，這樣的等腰三角形能畫多少個(gè)?ＯＤ150°⌒ＣaＥＦＨ已知△ABC中，AB＝BC＝CA，如果P是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，且△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，那么

這樣的點(diǎn)P的位置共有幾個(gè)？試一一畫出。

ABC等邊三角形·P1例3.已知等腰三角形一腰上的中線將三角形周長分成２：１兩部分，已知三角形底邊長為５，求腰長？解：如圖，令CD＝x，則AD＝x，AB＝2x∵底邊BC＝5∴BC＋CD＝5＋x

AB＋AD＝3x∴(5+x)：3x＝2:1或3x：(5+x)=2:1ＡＢＣＤxx2x5例4.已知：如圖，∠C=90°，BC=AC，D、E分別在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中點(diǎn).

求證：△MDE是等腰三角形.BAEDMBC例4.已知：如圖，∠C=90°，BC=AC，D、E分別在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中點(diǎn).

求證：△MDE是等腰三角形.分析：要證△MDE是等腰三角形，只需證MD=ME。連結(jié)CM，可利用△BMD≌△CME得到結(jié)果。證明：連結(jié)CM∵∠C=90°，BC=AC∴∠A=∠B=45°∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)∴CM平分∠BCA（等腰三角形頂角的平分線和底邊上的中線重合）∴∠MCE=∠MCB=∠BCA=45°∴∠B=∠MCE=∠MCB∴CM=MB（等角對(duì)等邊）在△BDE和△CEM中∴△BDM≌△CEM（SAS）∴MD=ME∴△MDE是等腰三角形例題分析例5.如圖，在等邊△ABC中，AF=BD=CE，

請(qǐng)說明△DEF也是等邊三角形的理由.解：∵△ABC是等邊三角形∴AC=BC，∠A=∠C∵CE=BD∴BC－BD=AC－CE∴CD=AE在△AEF和△CDE中∴△AEF≌△CDE（SAS）∴EF=DE同理可證EF=DF∴EF=DE=DF∴△DEF是等邊三角形說明：證明等邊三角形有三種思路：①證明三邊相等 ②證明三角相等 ③證明三角形是有一個(gè)角為60°的等腰三角形。具體問題中可利用不同的方式進(jìn)行求解。例題分析例6.如圖2-8-6，在△ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q.

請(qǐng)說明BP=2PQ的理由.思路

在Rt△BPQ中，本題的結(jié)論等價(jià)于證明∠PBQ=30°證明∵AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°，AE=CD，∴△BAE≌△ACD∴∠ABE=∠CAD∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP

=∠CAD+∠BAP=60°又∵BQ⊥AD∴∠PBQ=30°∴BP=2PQ說明本題把證明線段之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明角的度數(shù)，這種轉(zhuǎn)換問題的方法值得同學(xué)們細(xì)心體會(huì)。例題分析7、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠CAB的平分線AD交BC于D，AB邊上的高線CE交AB于E，交AD于F，求證：CD=CFBACED123F分析：CD=CF∠1=∠2∠1=∠B+∠BAD∠2=∠3+∠DAC∠3=∠B∠1=90°－∠CAD∠２=90°－∠BAD∠ACB=90°，CE是AC邊上高*已知ΔABC為等邊三角形，點(diǎn)M是射線BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是射線CA上任意一點(diǎn)，且BM=CN，直線BN與AM相交于Q點(diǎn)。就下面給出的三種情況（如圖中的①②③），先用量角器分別測(cè)量∠BQM的大小，將結(jié)果填寫在下面對(duì)應(yīng)的橫線上，然后猜測(cè)∠BQM在點(diǎn)M、N的變化中的取值情況，并利用圖③證明你的結(jié)論。測(cè)量結(jié)果：圖①中∠BQM=______；圖②中∠BQM=______；圖③中∠BQM=______。①②③①②③前面例6與本題對(duì)我們的啟示：（1）證明方法類似，圖形也基本類似，這就告訴我們?cè)谄綍r(shí)做題過程中要注意將每一道題的思路要掌握好，并且基本圖形也要有所了解，很可能它會(huì)在你解題中有所啟發(fā)。（2）幾何中好多題是互相聯(lián)系的，出題人也是結(jié)合教材，考試內(nèi)容不會(huì)脫離教學(xué)大綱的。（3）遇到這種從簡單圖形通過移動(dòng)點(diǎn)的位置而使圖形復(fù)雜的情況，一般情況下，前后的證明方法應(yīng)是相同的。**在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，老師讓同學(xué)們進(jìn)行如下操作：第一步：對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如左圖）；第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BM，同時(shí)得到線段BN（如右圖）.請(qǐng)解答以下問題：（1）如右圖，若延長MN交BC于P，△BMP是什么三角形？請(qǐng)證明你的結(jié)論．（1）△BMP是等邊三形.…2分證明：連結(jié)AN∵EF垂直平分AB∴AN=BN由折疊知AB=BN

∴AN=AB=BN

∴△ABN為等邊三角形∴∠ABN=60°∴∠PBN=30°…………3分又∵∠ABM=∠NBM=30°，∠BNM=∠A=90°∴∠BPN=60°∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°∴∠BMP=60°∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°∴△BMP為等邊三角形…………5分p***.如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE、AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ.以下五個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的結(jié)論有_____________