期末押題模擬卷02（測試范圍選擇性必修第一冊數(shù)列）（解析版）

期末押題模擬卷02（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．測試范圍：選擇性必修第一冊、數(shù)列5．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過點且平行于直線的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設與直線平行的直線是，代入點得，得，所以直線方程是.故選：A2．已知圓的圓心在直線上，則該圓的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，即，則，其表示圓心為，半徑為的圓，根據(jù)題意可得：，解得，故該圓的半徑為，則其面積.故選：A.3．若數(shù)列的前項和，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當時，，當時，，經檢驗，可得.故選：D.4．已知向量共面，則實數(shù)的值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解析】因為共面，所以存在，使得，整理得，解得.故選：C.5．已知拋物線的焦點為，準線為，為上的點，過作的垂線，垂足為，，則（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解析】如圖，設直線與軸交于點，則由拋物線，可知，又，故，且，又由拋物線定義，則三角形為正三角形故．故選：C．6．已知圓：，圓：，且圓，有且僅有兩條公切線，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】圓：即，圓心，則其半徑；圓：，其圓心，半徑；根據(jù)題意，圓相交，則，即，即，解得.故選：A.7．已知橢圓（）的一條弦所在的直線方程是，弦的中點坐標是，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設直線與橢圓相交于，兩點，弦的中點坐標是，則，，直線的斜率.由，得，，，故橢圓的離心率.故選：B.8．已知函數(shù)，把函數(shù)的零點按從小到大的順序排成一個數(shù)列，記該數(shù)列為.數(shù)列的前項和為，若對任意，且恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當時，令，則，即，由題意可得：，則，∴，即，故數(shù)列是以首項為0，公差為1的等差數(shù)列，則，當時，則，∴，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．下列說法錯誤的是（

）A．將空間中所有單位向量的起點移到同一點，則它們的終點構成一個圓.B．直線的一個方向向量是，平面的一個法向量是，則.C．平面經過三點，向量是平面的法向量，則.D．平面的一個法向量，點在內，則點到平面的距離為.【答案】ABD【解析】對A：因為將空間中所有單位向量的起點移到同一點，所以它們的終點構成一個球面，選項錯誤；對B：因為，則//或，故B錯誤；對C：因為，，解得，C選項正確；對D：因為，所以點到平面的距離，D選項錯誤.故選：ABD.10．已知等差數(shù)列的前項和為，，，則（

）A．數(shù)列單調遞減 B．數(shù)列單調遞增 C．有最大值 D．有最小值【答案】AC【解析】因為，根據(jù)題意，，是關于的減函數(shù)，故數(shù)列單調遞減，A正確，B錯誤；又，又，故一定有最大值，沒有最小值，故C正確，D錯誤.故選：AC.11．已知曲線（

）A．若曲線表示橢圓，則且B．若時，以為中點的弦所在的直線方程為C．當時，為曲線的焦點，為曲線上一點，且，則△的面積等于D．若時，直線過曲線的焦點且與曲線相交于兩點，則【答案】AC【解析】對A：若曲線：表示橢圓，則且，故正確；對：當時，曲線方程為：，聯(lián)立直線可得：，可得，可得直線與曲線無交點，故錯誤；對：當時曲線表示焦點在軸上的橢圓，，，又，故可得，又，故可得，故△的面積，故正確；對：當時，曲線表示焦點在軸上的雙曲線，則，，當直線斜率為零時，若，設的坐標為，故，故錯誤；故選：.12．如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，，設平面與平面的交線為，Q為上的點，下列說法正確的為（

）A．B．平面C．四棱錐的體積隨Q點的移動而改變D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】ABD【解析】由于平面平面，所以平面，由于平面與平面的交線為，平面，所以，所以A選項正確.由于底面，平面，所以，由于平面，所以平面，由于，所以平面，B選項正確.由于平面，平面，所以平面，，所以無論在何處，到平面的距離不變，而三角形的面積不變，所以三棱錐的體積不變，C選項錯誤.由上述分析可知兩兩相互垂直，以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，，，設，設平面的法向量為，則，故可設，設直線與平面所成角為，所以.當時，；當時，；當時，，當且僅當時等號成立.綜上所述，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，D選項正確.故選：ABD第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點是點關于坐標平面內的對稱點，則__________.【答案】【解析】因為點是點關于坐標平面內的對稱點，所以，所以.故答案為：.14．在一個有窮數(shù)列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“H擴展”.已知數(shù)列1，2，第一次“H擴展”后得到1，3，2；第二次“H擴展”后得到1，4，3，5，2.則第六次“H擴展”后得到的數(shù)列的項數(shù)為___________.【答案】65【解析】設第一次“H擴展”后的項數(shù)為第次“H擴展”后的項數(shù)為個數(shù)中間的空有，新增個數(shù)則有為2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故答案為：6515．已知實數(shù)成等差數(shù)列，點在直線上的射影是，則的軌跡方程是______________.【答案】【解析】因為實數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，所以，即直線恒過定點，因為點在直線上的射影是，設，則直線，故構成直角三角形，點的軌跡是以為直徑的圓，所以的軌跡方程是：故答案為：.16．已知橢圓的兩個焦點分別為、，經過的直線交橢圓于，兩點，的內切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是______．【答案】【解析】不妨設為下焦點，為上焦點，延長交于，如下圖；分別記，，，面積為，，，，以，為基底表示，又，，三點共線，，，∴，由內心的性質知，，不妨令，，，由橢圓的第一定義，且，在中，余弦定理得，∴，∴，∴，∴，．故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）設等差數(shù)列的前項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求的最大值及取得最大值時的的值．【解析】（1）設公差為.由已知可得，解得，∴，.（2）因為，，.所以，所以，當時，單調遞增；當時，單調遞減.又，所以，或時，最大，最大值為30．18．（12分）如圖，平行六面體的底面是菱形，且，．(1)求的長；(2)求異面直線與所成的角．【解析】（1）設，，，構成空間的一個基底．因為，所以，所以．（2）又，，所以∴∴異面直線與所成的角為90°．19．（12分）已知拋物線的頂點是坐標原點，而焦點是雙曲線的右頂點．(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線相交于A、B兩點，求直線OA與OB的斜率之積．【解析】（1）雙曲線化為標準形式：，，右頂點A,設拋物線的方程為，焦點坐標為,由于拋物線的焦點是雙曲線的右頂點，所以,所以拋物線的方程；（2）聯(lián)立，整理得,設,則,,20．（12分）已知為數(shù)列的前項積，且，為數(shù)列的前項和，滿足（，）.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求的通項公式；(3)求證：.【解析】（1）∵，，，，（）而，數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列.（2）由（1）知，，當時，，當時，，而，，，均不滿足上式.（3），，當時，，即證.21．（12分）如圖，在四棱錐中，已知平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，，，.(1)證明：；(2)線段CP上是否存在一點M，使得直線AM垂直平面PCD，若存在，求出線段AM的長，若不存在，說明理由；(3)點Q是線段BP上的動點，當直線CQ與DP所成的角最小時，求線段BQ的長.【解析】（1）由題意，在四棱錐中，⊥面ABCD，,，∴，在直角梯形中，，∵，∴∵∴（2）由題意及（1）得，存在一點M，使得直線AM垂直平面PCD，在四棱錐中，，作出空間直角坐標系如下圖所示：由幾何知識得，，，，，，∴，，，設，則,∴∴，若AM⊥面PCD解得：∴（3）由題意及（1）（2）得，，，設∴，設，，∴當且僅當即時，最大，為，在中，上是減函數(shù)，∴最大時，直線CQ與DP所成的角最小，∵，∴，∴當直線CQ與DP所成的角最小時，求線段BQ的長為.22．（12分）已知橢圓：（）的右焦點與拋物線：的焦點重合，過作x軸的垂線，與和分別交于A、B和C、D，且.(1)求橢圓的標準方程；(2)直線l：（）與