整數(shù)包括哪些數(shù)有理數(shù)包括什么整數(shù)的概念是什么

整數(shù)包括哪些數(shù)？整數(shù)包括哪些數(shù)？我們認(rèn)識了自然數(shù)和零之后，知道了自然數(shù)和零都是整數(shù)。即0，1，2，3，……都是整數(shù)。當(dāng)我們學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)之后，在自然數(shù)前面添上負(fù)號“-”而得到的數(shù)叫做負(fù)整數(shù)，如-1，-2，-3，-4，……都是負(fù)整數(shù)。這時(shí)，正整數(shù)（自然數(shù)）、零、負(fù)整數(shù)，統(tǒng)稱為整數(shù)，而正整數(shù)和零可稱為非負(fù)整數(shù)。分類我們以0為界限，將整數(shù)分為三大類：1.正整數(shù)，即大于0的整數(shù)如，1，2，3······直到

。2.零，既不是正整數(shù)，也不是負(fù)整數(shù)，它是介于正整數(shù)和負(fù)整數(shù)的數(shù)。3.

負(fù)整數(shù)，即小于0的整數(shù)如，-1，-2，-3······直到

。（n為正整數(shù)）注：零和正整數(shù)統(tǒng)稱自然數(shù)。整數(shù)也可分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類。正整數(shù)它是從古代以來人類計(jì)數(shù)的工具?？梢哉f，從“1頭牛，2頭?！被蚴恰?個(gè)人，6個(gè)人”抽象化成正整數(shù)的過程是相當(dāng)自然的。零零不僅表示“沒有”（“無”），更是表示空位的符號。中國古代用算籌計(jì)算數(shù)并進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，空位不放算籌，雖無空位記號，但仍能為位值記數(shù)與四則運(yùn)算創(chuàng)造良好的條件。印度-阿拉伯命數(shù)法中的零(zero)來自印度的(Sunya)字，其原意也是“空”或“空白”。負(fù)整數(shù)中國最早引進(jìn)了負(fù)數(shù)?！毒耪滤阈g(shù).方程》中論述的“正負(fù)數(shù)”，就是整數(shù)的加減法。減法的需要也促進(jìn)了負(fù)整數(shù)的引入。減法運(yùn)算可看作求解方程

，如果

、b是自然數(shù)，則所給方程未必有自然數(shù)解。為了使它恒有解，就有必要把自然數(shù)系擴(kuò)大為整數(shù)系。

[1]奇偶數(shù)整數(shù)中，能夠被2整除的數(shù)，叫做偶數(shù)。不能被2整除的數(shù)則叫做奇數(shù)。即當(dāng)n是整數(shù)時(shí)，偶數(shù)可表示為2n(n

為整數(shù))；奇數(shù)則可表示為2n+1(或2n-1)。偶數(shù)包括正偶數(shù)（亦稱雙數(shù)）、負(fù)偶數(shù)和0。所有整數(shù)不是奇數(shù)，就是偶數(shù)。在十進(jìn)制里，我們可用看個(gè)位數(shù)的方式判斷該數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)：個(gè)位為1,3,5,7,9的數(shù)為奇數(shù)；個(gè)位為0,2,4,6,8的數(shù)為偶數(shù)。1與0的特性1是任何數(shù)的約數(shù)，即對于任何整數(shù)，總有1|

。0是任何非零數(shù)的倍數(shù)，

,為整數(shù)，則

|0。整除特征1.若一個(gè)數(shù)的末位是單偶數(shù)，則這個(gè)數(shù)能被2整除。2.若一個(gè)數(shù)的數(shù)字和能被3整除，則這個(gè)整數(shù)能被3整除。3.若一個(gè)數(shù)的末尾兩位數(shù)能被4整除，則這個(gè)數(shù)能被4整除。4.若一個(gè)數(shù)的末位是0或5，則這個(gè)數(shù)能被5整除。5.若一個(gè)數(shù)能被2和3整除，則這個(gè)數(shù)能被6整除。6.若一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個(gè)位數(shù)的2倍，如果差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相減、驗(yàn)差」的過程，直到能清楚判斷為止。例如，判斷133是否7的倍數(shù)的過程如下：

，所以133是7的倍數(shù)；又例如判斷6139是否7的倍數(shù)的過程如下：

，

，所以6139是7的倍數(shù)，余類推。7.若一個(gè)數(shù)的未尾三位數(shù)能被8整除，則這個(gè)數(shù)能被8整除。8.若一個(gè)數(shù)的數(shù)字和能被9整除，則這個(gè)整數(shù)能被9整除。9.若一個(gè)數(shù)的末位是0，則這個(gè)數(shù)能被10整除。10.若一個(gè)數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，則這個(gè)數(shù)能被11整除。11的倍數(shù)檢驗(yàn)法也可用上述檢查7的「割尾法」處理。過程唯一不同的是：倍數(shù)不是2而是1。11.若一個(gè)數(shù)能被3和4整除，則這個(gè)數(shù)能被12整除。12.若一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個(gè)位數(shù)的4倍，如果和是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍數(shù)，則重復(fù)「截尾、倍大、相減、驗(yàn)差」的過程，直到能清楚判斷為止。13.若一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個(gè)位數(shù)的5倍，如果差是17的倍數(shù)，則原數(shù)能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍數(shù)，同樣重復(fù)之前的過程，直到能清楚判斷為止。14.若一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個(gè)位數(shù)的2倍，如果差是19的倍數(shù)，則原數(shù)能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍數(shù)，同樣重復(fù)之前的計(jì)算思路，直到能清楚判斷為止。15.若一個(gè)數(shù)的末三位與3倍的前面的隔出數(shù)的差能被17整除，則這個(gè)數(shù)能被17整除。16.若一個(gè)數(shù)的末三位與7倍的前面的隔出數(shù)的差能被19整除，則這個(gè)數(shù)能被19整除。17.若一個(gè)數(shù)的末四位與前面5倍的隔出數(shù)的差能被23(或29)整除，則這個(gè)數(shù)能被23整除奇偶性1.

奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)；即任意多個(gè)偶數(shù)的和、差、積仍為偶數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和、差為奇數(shù)，偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和、差為偶數(shù)；2.奇數(shù)的平方都可以表示成

的形式，偶數(shù)的平方可以表示為

或

的形式；3.若有限個(gè)整數(shù)之積為奇數(shù)，則其中每個(gè)整數(shù)都是奇數(shù)；若有限個(gè)整數(shù)之積為偶數(shù)，則這些整數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)；兩個(gè)整數(shù)的和與差具有相同的奇偶性；一個(gè)整數(shù)的平方根若是整數(shù)，則兩者具有相同的奇偶性。整數(shù)集的表示為什么用

表示整數(shù)集呢？這個(gè)涉及到一個(gè)德國女?dāng)?shù)學(xué)家對環(huán)理論的貢獻(xiàn)，她叫諾特。1920年，她已引入“左?！?，“右模”的概念。1921年寫