初中函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、千承培訓(xùn)學(xué)校函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(掌握函數(shù)的定義、性質(zhì)和圖像)（一）平面直角坐標(biāo)系1、定義：平面上互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，簡(jiǎn)稱為直角坐標(biāo)系2、各個(gè)象限內(nèi)點(diǎn)的特征:第一象限：（+，+） 點(diǎn)P（x,y），則x0,y0；第二象限：（-，+） 點(diǎn)P（x,y），則x0,y0；第三象限：（-，-） 點(diǎn)P（x,y），則x0,y0；第四象限：（+，-） 點(diǎn)P（x,y），則x0,y0；3、坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征： x軸上的點(diǎn)，縱坐標(biāo)為零；y軸上的點(diǎn)，橫坐標(biāo)為零；原點(diǎn)的坐標(biāo)為（0 , 0）。兩坐標(biāo)軸的點(diǎn)不屬于任何象限。4、點(diǎn)的對(duì)稱特征：已知點(diǎn)P(m,n),關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(m,-n), 橫

2、坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)反號(hào)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(-m,n) 縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)反號(hào)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(-m,-n) 橫，縱坐標(biāo)都反號(hào)5、平行于坐標(biāo)軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：平行于x軸的直線上的任意兩點(diǎn)：縱坐標(biāo)相等；平行于y軸的直線上的任意兩點(diǎn)：橫坐標(biāo)相等。6、各象限角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：第一、三象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)相等。 第二、四象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。7、點(diǎn)P（x,y）的幾何意義：點(diǎn)P（x,y）到x軸的距離為 |y|，點(diǎn)P（x,y）到y(tǒng)軸的距離為 |x|。點(diǎn)P（x,y）到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為8、兩點(diǎn)之間的距離：X軸上兩點(diǎn)為A、B |AB|Y軸上兩點(diǎn)為C、D |CD|已

3、知A、B AB|=9、中點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知A、B M為AB的中點(diǎn) 則：M=( , )10、點(diǎn)的平移特征： 在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)（x,y）向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)（ x-a，y）；將點(diǎn)（x,y）向左平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)（x+a ，y）；將點(diǎn)（x,y）向上平移b個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)（x，yb）；將點(diǎn)（x,y）向下平移b個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)（x，yb）。注意：對(duì)一個(gè)圖形進(jìn)行平移，這個(gè)圖形上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都要發(fā)生相應(yīng)的變化；反過來，從圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)的加減變化，我們也可以看出對(duì)這個(gè)圖形進(jìn)行了怎樣的平移。（二）函數(shù)的基本知識(shí)：基本概念1、變量：在一個(gè)變化過程中可以取不同

4、數(shù)值的量。 常量：在一個(gè)變化過程中只能取同一數(shù)值的量。2、函數(shù)：一般的，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x和y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數(shù)。 *判斷A是否為B的函數(shù)，只要看B取值確定的時(shí)候，A是否有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)3、定義域：一般的，一個(gè)函數(shù)的自變量允許取值的范圍，叫做這個(gè)函數(shù)的定義域。4、確定函數(shù)定義域的方法： （1）關(guān)系式為整式時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)； （2）關(guān)系式含有分式時(shí)，分式的分母不等于零； （3）關(guān)系式含有二次根式時(shí)，被開放方數(shù)大于等于零； （4）關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時(shí)，底數(shù)不等于零；

5、（5）實(shí)際問題中，函數(shù)定義域還要和實(shí)際情況相符合，使之有意義。5、函數(shù)的圖像一般來說，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象6、函數(shù)解析式：用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做解析式。7、描點(diǎn)法畫函數(shù)圖形的一般步驟第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值）；第二步：描點(diǎn)（在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)）；第三步：連線（按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描出的各點(diǎn)用平滑曲線連接起來）。8、函數(shù)的表示方法列表法：一目了然，使用起來方便，但列出的

6、對(duì)應(yīng)值是有限的，不易看出自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律。解析式法：簡(jiǎn)單明了，能夠準(zhǔn)確地反映整個(gè)變化過程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系，但有些實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表示。圖象法：形象直觀，但只能近似地表達(dá)兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系。（三）正比例函數(shù)和一次函數(shù)1、正比例函數(shù)及性質(zhì)一般地，形如y=kx(k是常數(shù)，k0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).注：正比例函數(shù)一般形式 y=kx (k不為零) k不為零 x指數(shù)為1 b取零當(dāng)k>0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當(dāng)k<0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小(1

7、) 解析式：y=kx（k是常數(shù)，k0）(2) 必過點(diǎn)：（0，0）、（1，k）(3) 走向：k>0時(shí)，圖像經(jīng)過一、三象限；k<0時(shí)，圖像經(jīng)過二、四象限(4) 增減性：k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小(5) 傾斜度：|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸2、一次函數(shù)及性質(zhì)一般地，形如y=kxb(k,b是常數(shù)，k0)，那么y叫做x的一次函數(shù).當(dāng)b=0時(shí)，y=kxb即y=kx，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).注：一次函數(shù)一般形式 y=kx+b (k不為零) k不為零 x指數(shù)為1 b取任意實(shí)數(shù)一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過（0，b）和（-，0）

8、兩點(diǎn)的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到.（當(dāng)b>0時(shí)，向上平移；當(dāng)b<0時(shí)，向下平移）（1）解析式：y=kx+b(k、b是常數(shù)，k0)（2）必過點(diǎn)：（0，b）和（-，0）（3）走向： k>0，圖象經(jīng)過第一、三象限；k<0，圖象經(jīng)過第二、四象限 b>0，圖象經(jīng)過第一、二象限；b<0，圖象經(jīng)過第三、四象限直線經(jīng)過第一、二、三象限 直線經(jīng)過第一、三、四象限直線經(jīng)過第一、二、四象限 直線經(jīng)過第二、三、四象限注：ykx+b中的k，b的作用：1、k決定著直線的變化趨勢(shì) k>0 直線從左向右是向上的 k<0

9、 直線從左向右是向下的2、b決定著直線與y軸的交點(diǎn)位置 b>0 直線與y軸的正半軸相交 b<0 直線與y軸的負(fù)半軸相交（4）增減性： k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小.（5）傾斜度：|k|越大，圖象越接近于y軸；|k|越小，圖象越接近于x軸.（6）圖像的平移： 當(dāng)b>0時(shí)，將直線y=kx的圖象向上平移b個(gè)單位；當(dāng)b<0時(shí)，將直線y=kx的圖象向下平移b個(gè)單位.3、一次函數(shù)y=kxb的圖象的畫法.根據(jù)幾何知識(shí)：經(jīng)過兩點(diǎn)能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線，所以畫一次函數(shù)的圖象時(shí)，只要先描出兩點(diǎn)，再連成直線即可.一般情況下

10、：是先選取它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：（0，b），.即橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為0的點(diǎn).注：對(duì)于ykx+b 而言，圖象共有以下四種情況：1、k>0，b>0 2、k>0，b<0 3、k<0，b<0 4、k<0，b>04、直線y=kxb(k0)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)(1)直線y=kx與x軸、y軸的交點(diǎn)都是(0，0)；(2)直線y=kxb與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為與 y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，b)5、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的一般步驟：（1）根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；（2）將x、y的幾對(duì)值或圖象上的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述函數(shù)關(guān)系式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程；（3）解方程得出

11、未知系數(shù)的值；（4）將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關(guān)系式中得出所求函數(shù)的解析式.6、兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法： 方法：聯(lián)立方程組求x、y 例題：已知兩直線yx+6 與y2x-4交于點(diǎn)P，求P點(diǎn)的坐標(biāo)？7、直線y=k1x+b1與y=k2x+b2的位置關(guān)系（1）兩條直線平行：k1=k2且b1b2（2）兩直線相交：k1k2（3）兩直線重合：k1=k2且b1=b2平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線8、正比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象之間的關(guān)系一次函數(shù)y=kxb的圖象是一條直線，它可以看作是由直線y=kx平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度而得到（當(dāng)b>0時(shí)，向上平移；當(dāng)b<0時(shí)，向下平移）.9、一元一

12、次方程與一次函數(shù)的關(guān)系任何一元一次方程到可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0（a，b為常數(shù)，a0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值. 從圖象上看，相當(dāng)于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.10、一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系任何一個(gè)一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b<0（a，b為常數(shù)，a0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)值大（?。┯?時(shí)，求自變量的取值范圍.11、一次函數(shù)與二元一次方程組 （1）以二元一次方程ax+by=c的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖象與一次函數(shù)y=的圖象相同.（2）二元一次方程組的解可以

13、看作是兩個(gè)一次函數(shù)y=和y=的圖象交點(diǎn).12、函數(shù)應(yīng)用問題 （理論應(yīng)用 實(shí)際應(yīng)用）（1）利用圖象解題 通過函數(shù)圖象獲取信息，并利用所獲取的信息解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.（2）經(jīng)營(yíng)決策問題 函數(shù)建模的關(guān)鍵是將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，從而解決最佳方案，最佳策略等問題.建立一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題，就是要從實(shí)際問題中抽象出兩個(gè)變量，再尋求出兩個(gè)變量之間的關(guān)系，構(gòu)建函數(shù)模型，從而利用數(shù)學(xué)知題.(四)反比例函數(shù)一般地，如果兩個(gè)變量x、y之間的關(guān)系可以表示成ykx (k為常數(shù)，k0)的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)。取值范圍： k 0; 在一般的情況下 , 自變量 x 的取值范圍可以是 不等于0的任意實(shí)數(shù) ; 函數(shù) y

14、 的取值范圍也是任意非零實(shí)數(shù)。反比例函數(shù)的圖像屬于以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱的雙曲線 反比例函數(shù)圖像中每一象限的每一支曲線會(huì)無(wú)限接近X軸Y軸但不會(huì)與坐標(biāo)軸相交（K0）。反比例函數(shù)的性質(zhì)：1.當(dāng)k>0時(shí)，圖象分別位于第一、三象限，同一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當(dāng)k<0時(shí)，圖象分別位于二、四象限，同一個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而增大。 2.k>0時(shí)，函數(shù)在x<0和 x>0上同為減函數(shù)；k<0時(shí)，函數(shù)在x<0和x>0上同為增函數(shù)。 定義域?yàn)閤0；值域?yàn)閥0。 3.因?yàn)樵趛=k/x(k0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交

15、，也不可能與y軸相交。 4. 在一個(gè)反比例函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)P，Q，過點(diǎn)P，Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S1，S2，則S1S2=|K| 5. 反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分線），對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)。 6.若設(shè)正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)y=n/x交于A、B兩點(diǎn)（m、n同號(hào)），那么A B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。 7.設(shè)在平面內(nèi)有反比例函數(shù)y=k/x和一次函數(shù)y=mx+n，要使它們有公共交點(diǎn)，則n2 +4k·m（不小于）0。 （k/x=mx+n，即mx2+nx-k=0） 8.反比例函數(shù)y=k

16、/x的漸近線：x軸與y軸。 9.反比例函數(shù)關(guān)于正比例函數(shù)y=x,y=-x軸對(duì)稱,并且關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱. (第5點(diǎn)的同義不同表述) 10.反比例上一點(diǎn)m向x、y軸分別做垂線，交于q、w，則矩形mwqo（o為原點(diǎn)）的面積為|k| 11.k值相等的反比例函數(shù)重合，k值不相等的反比例函數(shù)永不相交。 12.|k|越大，反比例函數(shù)的圖象離坐標(biāo)軸的距離越遠(yuǎn)。（五）二次函數(shù)二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)。二次函數(shù)可以表示為f(x)=ax2+bx+c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。 一般式(已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式.)y=ax2+bx+c(a0,a、b、c為常

17、數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a，(4ac-b2/4a) ； 頂點(diǎn)式(已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.)y=a(x+m)2+k(a0,a、m、k為常數(shù))或y=a(x-h)2+k(a0,a、h、k為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-m，k）或（h,k）對(duì)稱軸為x=-m或x=h，有時(shí)題目會(huì)指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式； 交點(diǎn)式(已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式)y=a(x-x1)(x-x2) 僅限于與x軸有交點(diǎn)A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線 ； 拋物線的三要素：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)頂點(diǎn)拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P ( -b/2a ，4ac-b2/4a ) ，當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P

18、在y軸上；當(dāng)= b2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。開口二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。 當(dāng)a0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a0時(shí)，拋物線向下開口。 |a|越大，則拋物線的開口越小。決定對(duì)稱軸位置的因素一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。 當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab0），對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab0），對(duì)稱軸在y軸右。（左同右異）c的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置.當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，）：，拋物線經(jīng)過原點(diǎn); ,與軸交于正半軸；,與軸交于負(fù)半軸.直線與拋物線的交點(diǎn)（1）軸與拋物線得交點(diǎn)為(0, ).（2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,).（3）拋物線與軸的交點(diǎn)二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋