專題10.3直線與圓圓與圓的位置關(guān)系(教師版)

專題10.3直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系課標(biāo)要求核心素養(yǎng)1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.與實(shí)際問題．，掌握用幾何法處理圓與圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題的過程.數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)運(yùn)算直觀想象1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系標(biāo)準(zhǔn)方程的形式一般方程的形式點(diǎn)x0xx點(diǎn)x0,xx點(diǎn)x0,xx2.直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓C:x-a2+y-b2=r2,直線l:Ax+By+C=0由x-a2+y-b2=r2Ax+By+C=0消去y(或位置關(guān)系相離相切相交圖形公共點(diǎn)個(gè)數(shù)012量化方程觀點(diǎn)?<0?=0?>0幾何觀點(diǎn)d>rd=rd<r【重要結(jié)論】1.直線被圓截得的弦長(zhǎng)=1\*GB2⑴幾何法：弦心距d、半徑r和弦長(zhǎng)|AB|的一半構(gòu)成直角三角形，弦長(zhǎng)|AB|＝2r2=2\*GB2⑵代數(shù)法：設(shè)直線y=kx+m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F2.圓的切線方程常用結(jié)論=1\*GB2⑴過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)=2\*GB2⑵過圓x-a2+y-b2=r2上一點(diǎn)=3\*GB2⑶過圓x2+y2=r2外一點(diǎn)M(x3.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓的半徑分別為R，r(R>r)，兩圓圓心間的距離為d，則兩圓的位置關(guān)系可用下表表示：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖形量的關(guān)系d>R+rd=R+rR-r<d<R+rd=R-rd<R-r公切線條數(shù)43210【重要結(jié)論】1.相交兩圓的公共弦所在直線方程設(shè)圓C1:x2+y2+D1x+E2.圓系方程=1\*GB2⑴同心圓系方程：x-a2+y-b2=r2，=2\*GB2⑵過直線Ax+By+C=0與圓C:x2+yx=3\*GB2⑶過圓C1:x2+y2x2+y當(dāng)時(shí)，D1-當(dāng)兩圓相切時(shí)，為過兩圓切點(diǎn)的直線方程.1.【人教A版選擇性必修一2.例6P97】古希臘時(shí)期與歐幾里得、阿基米德齊名的著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值λ(λ>0且λ≠1)的點(diǎn)所形成的圖形是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.已知點(diǎn)A(0,6)，B(0,3)、動(dòng)點(diǎn)M滿足MAMB=12，記動(dòng)點(diǎn)M(1)求曲線C的方程；(2)過點(diǎn)N(0,4)的直線l與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，若P為線段NQ的中點(diǎn)，求直線l的方程．解：(1)設(shè)Mx,y，由點(diǎn)A(0,6)，B(0,3)動(dòng)點(diǎn)M滿足

MAMB=12，故曲線C的方程x(2)當(dāng)直線l無(wú)斜率時(shí)，此時(shí)直線與圓相交P，Q兩點(diǎn)，

則P0,5,Q0,9或者Q0,5,P當(dāng)直線l有斜率時(shí)，設(shè)l：

y=kx+4，聯(lián)立直線與圓的方程y=kx+4x2+y-7Δ=36k2-20設(shè)Px1,y1,Qx2,y若P為線段NQ的中點(diǎn)，

則x2+02=x1y2+42=y1，所以x2=2x1，所以k=±153，因此l2.【人教A版選擇性必修一習(xí)題2.5第13題P99】已知圓C：x2+y2=4，直線l：y=x+b.若圓C上恰有4個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1，則b解：由圓C的方程：x2+y2=4，可得，圓C的圓心為原點(diǎn)O(0,0)，半徑為2．

若圓C上恰有4個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1，

則O到直線l：y=x+b的距離d小于1，

直線l的一般方程為：x-y+b=0，

∴d=|b|2<1，

解得考點(diǎn)一考點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系【方法儲(chǔ)備】判斷直線與圓的位置關(guān)系的常用方法：=1\*GB2⑴幾何法：利用圓心到直線的距離d與r的關(guān)系判斷．=2\*GB2⑵代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用?判斷．=3\*GB2⑶點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．【典例精講】例1.(2022·遼寧省朝陽(yáng)市聯(lián)考)若直線3x+4y+a=0與圓x-22+y2=4有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a解：由題意，直線3x+4y+a=0與圓x-22+y2=4有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，

則直線與圓相切，所以d=r

故圓心2,0到直線3x+4y+a=0的距離d=a+6故答案為：4或-16．例2.(2023·遼寧省丹東市月考)若無(wú)論實(shí)數(shù)a取何值時(shí)，直線ax+y+a+1=0與圓x2+y2-2x-2y+b=0都相交，則實(shí)數(shù)b的取值范圍A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-6) D.(-6,+∞)解：∵x2+y2-2x-2y+b=0表示圓，

∴2-b>0，即b<2．

∵直線ax+y+a+1=0過定點(diǎn)(-1,-1)．

∴點(diǎn)(-1,-1)在圓x2+y2-2x-2y+b=0例3.(2022·浙江省臺(tái)州市月考)已知直線y=kx+4與曲線y=4-x2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k解：易知曲線

y=4-x2表示圓心在原點(diǎn)，半徑是2的圓在x軸以及x軸上方的部分，

直線y=kx+4過定點(diǎn)P(-4,0)，

作出曲線y=4-x2的圖象，在同一坐標(biāo)系中，再作出直線y=k(x+4)，

當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，可得，4k1+k2=2，

解得k2=13，【拓展提升】練11(2022·廣東省佛山市月考)若曲線C1：x2+y2-2x=0與曲線C2：y(y-mx-m)=0有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)解：由題意可知曲線C1：x2+y2-2x=0表示一個(gè)圓，化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：

(x-1)2+y2=1，所以圓心坐標(biāo)為(1,0)，半徑r=1；

C2：y(y-mx-m)=0表示兩條直線y=0和y-mx-m=0，

由直線y-mx-m=0可知：此直線過定點(diǎn)(-1,0)，

在平面直角坐標(biāo)系中畫出圖象如圖所示：

當(dāng)直線y-mx-m=0與圓相切時(shí)，

圓心到直線的距離d=2|m|m練12(2023·浙江省嘉興市模擬)已知點(diǎn)A-1,0，B2,0與直線l:mx-y+m=0m∈R，若在直線l上存在點(diǎn)P，使得PA=2PB，則實(shí)數(shù)mA.-33,33 B.解：設(shè)點(diǎn)P(x,y)，由于|PA|=2|PB|，

所以(x+1)2+y2=2(x-2)2+y2，整理得(x-3)2+y2=4，

∵P在直線l考點(diǎn)二考點(diǎn)二弦長(zhǎng)問題【方法儲(chǔ)備】1.求直線與圓相交弦的弦長(zhǎng)=1\*GB2⑴幾何法：若弦心距為d，圓的半徑長(zhǎng)為r，則弦長(zhǎng)l=2r2-d=2\*GB2⑵代數(shù)法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)．2.圓的弦的性質(zhì)的應(yīng)用=1\*GB3①圓的任何一條弦的垂直平分線經(jīng)過圓心；=2\*GB3②圓心與弦中點(diǎn)的連線垂直于這條弦.【易錯(cuò)提醒】注意討論斜率不存在的情況，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，幾何法求弦長(zhǎng)較方便，一般不用代數(shù)法.【典例精講】例4.(2023·山西省運(yùn)城市模擬)已知直線l:2x-y-2=0被圓C:x2+y2-2x+4y+m=0截得的線段長(zhǎng)為2解：圓C：

x2+y2-2x+4y+m=0

，即

x-12+y+22=5-m

則圓心

C

到直線

l:2x-y-2=0

的距離

d=2×1--2又直線被圓截得的線段長(zhǎng)為

255

，所以

2r2解得

m=4

．故答案為：

4例5.(2022·江西省上饒市月考)已知圓C：(x-a)2+(y-2)2=4關(guān)于直線l：y=x-a的對(duì)稱圓的方程為(x-a2)2A.22 B.23 C.2或2解：因?yàn)閳AC：(x-a)2+(y-2)2=4與圓(x-a2)2+y2=4關(guān)于直線l：y=x-a對(duì)稱，

所以點(diǎn)(a,2)與點(diǎn)(a2,0)關(guān)于直線y=x-a對(duì)稱，

即2-0a-a2=-12+02=a+a22-a，解得a=-1或a=2，【拓展提升】練21(2022·江西省南昌市模擬)（多選）已知直線l:?(a+1)x-(a-1)y-2=0(a∈R)，圓C:(x-3)2+(y-4)2=25，直線l和圓C交于A、A.直線l過定點(diǎn)(0,1)

B.線段AB的長(zhǎng)度的最大值為10

C.圓心C到直線AB的距離的最大值為13

D.線段AB的長(zhǎng)度不可能為解：對(duì)于A:直線方程可以整理為(x-y)a+x+y-2=0，

由方程組x-y=0,x+y-2=0,解得x=1,y=1,所以直線l過定點(diǎn)P(1,1)，A錯(cuò)誤;

對(duì)于B:當(dāng)直線l通過圓心C時(shí)，AB的長(zhǎng)度最大，最大值為直徑10，B正確;

對(duì)于C:如圖，當(dāng)直線l⊥PC時(shí)，圓心C到直線AB的距離的最大，

最大值為PC=(3-1)2+(4-1)2=13，C正確;

對(duì)于D:當(dāng)PC⊥l時(shí)，AB的長(zhǎng)度最小，

AB=2練22(2023·四川省成都市模擬)已知圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且與直線x-y+2=0相切，切點(diǎn)為A(2,4)．(1)求圓C的方程；(2)已知斜率為-1的直線l與圓C相交于不同的兩點(diǎn)M、N．=1\*GB3①若直線l被圓截得的弦MN的長(zhǎng)為14，求直線l的方程；=2\*GB3②當(dāng)△MCN的面積最大值時(shí)，求直線l的方程．解：(1)圓C的圓心為C，依題意得直線AC的斜率kAC=-1，

∴直線AC的方程為y-4=-(x-2)，即x+y-6=0，

∵直線OA的斜率kOA=42=2，

∴線段OA的垂直平分線為y-2=-12(x-1)，即x+2y-5=0．

解方程組

x+y-6=0x+2y-5=0，得圓心C的坐標(biāo)為(7,-1)．

∴圓C的半徑為r=|AC|=(7-2)2=1\*GB3①圓心C到直線l的距離d=|6-m|2，|MN|=2r2-d2=250-d2=14，

∴d=|6-m|2=1，解得m=6±當(dāng)且僅當(dāng)d2=25時(shí)，即(6-m)當(dāng)△MCN的面積最大值時(shí)，直線l的方程為y=-x+6±5考點(diǎn)三考點(diǎn)三切線與切線長(zhǎng)問題【方法儲(chǔ)備】1.求過圓C上一點(diǎn)P(x①若kPC=0,則切線斜率不存在，即切線方程為②若kPC不存在，則切線斜率為0，即切線方程為y=y③若kPC存在且不為零，則切線斜率為-12.求過圓外一點(diǎn)P(x理論：過圓外一點(diǎn)可作圓的兩條切線，至少有一條切線斜率存在.=1\*GB2⑴幾何法：=1\*GB3①設(shè)切線方程為y-y0=kx-x0，則利用圓心到直線的距離為半徑r，求出斜率k；=2\*GB3②若求出的k值有2個(gè)，即可得出兩條切線方程；若k值只有1個(gè)，則另一條切線斜率不存在，要補(bǔ)充說(shuō)明.=2\*GB2⑵代數(shù)法：設(shè)切線方程為y-y0=kx-x0，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，然后令判別式Δ＝03.過圓外一點(diǎn)P(x0,y=1\*GB2⑴求切線長(zhǎng)：PA=PC2-r2；（r=2\*GB2⑵求直線AB的方程：轉(zhuǎn)化為求以P為圓心,切線長(zhǎng)PA為半徑的圓與圓C的公共弦所在的直線方程.4.過圓外一點(diǎn)P(x0,y求四邊形PACB中的最值問題：=1\*GB2⑴S四邊形PACB=2S△PAC=2\*GB2⑵求∠APB的最值，轉(zhuǎn)化為求Rt△PAC中∠APC的最值即可補(bǔ)充：通過直線與圓的方程，可以確定直線與圓、圓和圓的位置關(guān)系，對(duì)于生產(chǎn)、生活實(shí)踐以及平面幾何中與直線和圓有關(guān)的問題，我們可以建立直角坐標(biāo)系，通過直線與圓的方程，將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來(lái)解決。用坐標(biāo)法解決幾何問題的步驟：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何要素,如點(diǎn)、直線、圓,把平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；

第二步：通過代數(shù)運(yùn)算,解決代數(shù)問題；

第三步：把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.【典例精講】例6.(2023·河北省張家口市期末)過點(diǎn)P(1,1)作圓E：x2+y2A.x+y-2=0 B.2x-y-1=0

C.x-2y+1=0 D.x-2y+1=0或2x-y-1=0解：由圓E的方程：x2+y2-4x+2y=0可得圓心坐標(biāo)為E(2,-1)，

將P的坐標(biāo)代入圓的方程可得1+1-4+2=0，

可得P點(diǎn)在圓上，

所以過P點(diǎn)與圓相切的直線與直線PE垂直，

因?yàn)閗PE=-1-12-1=-2，

所以過P點(diǎn)與圓相切的直線的斜率為12例7.(2023·江蘇省南京市模擬)過圓O：x2+y2=5外一點(diǎn)P(2,5)作圓O的切線，切點(diǎn)分別為A.2 B.5 C.45解：根據(jù)題意，圓O：x2+y2=5的圓心為(0,0)，半徑r=5，

若P(2,5)，則|PO|=4+5=3，

圓O：x2+y2=5外一點(diǎn)P(2,5)作圓O的切線，切點(diǎn)分別為A，B，

則|PA|=|PB|=9-5=2，

故點(diǎn)A、B在以P為圓心，半徑為2的圓的圓上，

該圓的方程為(x-2)2例8.(2023·湖南省長(zhǎng)沙市月考)已知圓O:x2+y2=2，M是直線l：x-y+4=0上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則解：設(shè)∠AMB=2θ，則MA?可知當(dāng)OM⊥l時(shí)，|MA|最小且2θ最大，cos2θ設(shè)點(diǎn)O到直線l的距離為d，則d=2因?yàn)閳AO的半徑為2，所以當(dāng)OM⊥l

時(shí)，sinθ=12，可得cos所以MA?MB的最小值為3．故答案為：3．【拓展提升】練31(2022·重慶市模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過動(dòng)點(diǎn)P作圓A：(x-1)2+(y-1)2=1的一條切線PQ，其中Q為切點(diǎn)，若|PQ|=2解：|PQ|=2|PO|?|PA|2-1=2|PO|2，

設(shè)P(x,y)，

則(x-1)2+(y-1)2-1=2(x2+y2)，

化簡(jiǎn)得(x+1)2+(y+1練32(2023·廣東省廣州市月考)（多選）過直線l:2x+y=5上一點(diǎn)P作圓O:x2+y2=1的切線，切點(diǎn)分別為A，BA.若直線AB//l，則|AB|=5 B.cos∠APB的最小值為35

C.直線AB過定點(diǎn)(25,1解：設(shè)Px0,y0，Ax1,y1，Bx2,y2，

因?yàn)檫^P作圓O:x2+y2=1的切線，切點(diǎn)分別為A，B，

所以A、B在以O(shè)P為直徑的圓上，則其方程為x-x022+y-y022=x02+y0222，

易知A、B是圓O與其的交點(diǎn)，所以兩圓方程相減可得AB所在的直線方程，

因此弦AB所在直線方程為xx0+yy0=1，

對(duì)于A，因?yàn)橹本€AB//l，所以x0=2y0，

又因?yàn)辄c(diǎn)P在直線l:2x+y=5上，則2x0+y0=5，解得x0=2,y0=1，

因此弦AB所在直線方程為2x+y=1，

因?yàn)辄c(diǎn)O(0,0)到直線2x+y=1的距離為55，

所以弦AB的長(zhǎng)AB=21-552=455，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，設(shè)∠APB=2θ，OP=d，則∠OPA=θ，

則sinθ=1d，考點(diǎn)考點(diǎn)四圓與圓的位置關(guān)系【方法儲(chǔ)備】1.判斷圓與圓的位置關(guān)系=1\*GB2⑴幾何法：=1\*GB3①確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)；=2\*GB3②利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距d和r1+r2，|r1=3\*GB3③比較d，r1+r2，|r=2\*GB2⑵代數(shù)法：將兩個(gè)圓方程聯(lián)立，消去其中的一個(gè)未知數(shù)y或x，得關(guān)于x或y的一元二次方程.

若方程中?>0，則兩圓相交，在程中?=0，則兩圓相切；若方程中?<0，兩圓外離或內(nèi)含.2．兩圓公共弦長(zhǎng)的求法兩圓公共弦長(zhǎng)，先求出公共弦所在直線的方程，轉(zhuǎn)化為直線與圓相交的弦長(zhǎng)問題．【典例精講】例9.(2022·重慶市月考)圓C1:x2+y2-2mx+4y+(m解：圓C1即(x-m)2+(y+2)2=9，表示以C1(m,-2)為圓心，半徑等于3的圓．

圓C2即(x+1)2+(y-m)2=4，表示以C2(-1,m)為圓心，半徑等于2例10.(2022·山東省濟(jì)南市期中)（多選）圓O1：x2+y2-2x=0和圓O2：x2+A.公共弦AB所在直線的方程為x-y=0

B.線段AB中垂線的方程為x+y-1=0

C.公共弦AB的長(zhǎng)為22

D.解：圓O1:x2+y2-2x=0和圓O2:x2+y2+4x-6y=0，

由兩圓的方程相減得公共弦AB所在直線方程為x?-?y?=?0，故A正確；

由選項(xiàng)A可得直線AB的中垂線的斜率k=-1，

又因?yàn)橹写咕€過圓O1:x2+y2-2x=0的圓心O1(1,0)，

所以線段AB中垂線的方程為x+y-1=0，故B正確；

可得圓心O1(1,0)到直線x?-?y?=?0的距離【拓展提升】練41(2023·湖北省荊州市模擬)已知圓x2+y2=a與圓x2+y2+4x+2y+b=0交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|=855，則實(shí)數(shù)解：由題得圓x2+y2=a的圓心為(0,0)，半徑為a;

圓(x+2)2+(y+1)2=5-b，其圓心為(-2,-1)，半徑為5-b，

所以a>0,b<5,a-5-b<5<a+5-b,,=1\*GB3①

聯(lián)立x2+y2=a,x2+y2+4x+2y+b=0,練42(2023·福建省福州市模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2+y2=r2(r>0)與圓M：(x-3)2+(y-4)2=9相交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB上存在一點(diǎn)P(A.23,37 B.4,8 解：圓M的圓心為M(3,4)，半徑為3，圓O的圓心為O(0,0)，半徑為r，兩圓的圓心距|OM|=5，則|r-3|<5<r+3，解得r∈(2,8)，由兩圓方程作差可得兩圓的相交弦AB所在直線的方程為6x+8y-r2-16=0，

點(diǎn)P為線段AB中點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)P為圓心，1為半徑的圓與圓M無(wú)公共點(diǎn)，這樣的點(diǎn)P必存在，

此時(shí)圓心M(3,4)到直線AB的距離為d=6×3+8×4-r2-1636+64=r2-3410，

所以d+1<3，即練43(2022·湖北省孝感市模擬)（多選）若圓C1：x2+y2=1與圓C2：x-a2+A.a2+b2=1

B.直線AB的方程為2ax+2by-3=0

C.AB中點(diǎn)的軌跡方程為x2+y解：圓C1、C2的圓心坐標(biāo)分別為(0,0)，(a,b)，兩圓的半徑均為1，

兩圓方程相減得兩圓公共弦所在直線AB的方程2ax+2by-a2-b2=0，

C1(0,0)到直線AB的距離d=a2+b24a2+4b2=a2+b22，

又公共弦AB的長(zhǎng)為1，由垂徑定理得122+a2+b222=12，解得a2+b2=3，

所以直線