陜西省西安電子科技大學(xué)附中2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

陜西省西安電子科技大學(xué)附中2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．入冬以來，梁老師準(zhǔn)備了4個(gè)不同的烤火爐，全部分發(fā)給樓的三個(gè)辦公室（每層樓各有一個(gè)辦公室）.1，2樓的老師反映辦公室有點(diǎn)冷，所以1，2樓的每個(gè)辦公室至少需要1個(gè)烤火隊(duì)，3樓老師表示不要也可以.則梁老師共有多少種分發(fā)烤火爐的方法（）A.108 B.36C.50 D.862．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A.60 B.80C.90 D.1003．若，則與的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.不能確定4．設(shè)P是雙曲線上的點(diǎn)，若，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，則（）A.4 B.5C.8 D.105．礦山爆破時(shí)，在爆破點(diǎn)處炸開的礦石的運(yùn)動軌跡可看作是不同的拋物線，根據(jù)地質(zhì)、炸藥等因素可以算出這些拋物線的范圍，這個(gè)范圍的邊界可以看作一條拋物線，叫“安全拋物線”，如圖所示．已知某次礦山爆破時(shí)的安全拋物線的焦點(diǎn)為，則這次爆破時(shí)，礦石落點(diǎn)的最遠(yuǎn)處到點(diǎn)的距離為（）A. B.2C. D.6．如圖，在平行六面體中，AC與BD的交點(diǎn)為M.設(shè)，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.7．《九章算數(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積為3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第五節(jié)的容積為（）A.1升 B.升C.升 D.升8．已知點(diǎn)，和直線，若在坐標(biāo)平面內(nèi)存在一點(diǎn)P，使，且點(diǎn)P到直線l的距離為2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A.或 B.或C.或 D.或9．已知向量是兩兩垂直的單位向量，且，則（）A.5 B.1C.-1 D.710．若構(gòu)成空間向量的一組基底，則下列向量不共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，11．過原點(diǎn)O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于A、C與B、D，則四邊形ABCD面積最小值為（）A. B.C. D.12．已知雙曲線的一條漸近線方程為，它的焦距為2，則雙曲線的方程為（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布（），若ξ在內(nèi)取值的概率為0.4，則ξ在內(nèi)取值的概率為______14．若斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則___________.15．如圖①，用一個(gè)平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾何的角度出發(fā)對這個(gè)問題進(jìn)行過研究，其中比利時(shí)數(shù)學(xué)家（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性.在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面，截面相切，兩個(gè)球分別與截面相切于，在截口曲線上任取一點(diǎn)，過作圓錐的母線，分別與兩個(gè)球相切于，由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，，于是.由的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以為焦點(diǎn)的橢圓.如圖②，一個(gè)半徑為2的球放在桌面上，桌面上方有一個(gè)點(diǎn)光源，則球在桌面上的投影是橢圓.已知是橢圓的長軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的離心率為___________.16．?dāng)?shù)列滿足前項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）國家助學(xué)貸款由國家指定的商業(yè)銀行面向在校全日制高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生發(fā)放.用于幫助他們支付在校期間的學(xué)習(xí)和日常生活費(fèi).從年秋季學(xué)期起，全日制普通本?？茖W(xué)生每人每年申請貸款額度由不超過元提高至不超過元，助學(xué)貸款償還本金的寬限期從年延長到年.假如學(xué)生甲在本科期間共申請到元的助學(xué)貸款，并承諾在畢業(yè)后年內(nèi)還清，已知該學(xué)生畢業(yè)后立即參加工作，第一年的月工資為元，第個(gè)月開始，每個(gè)月工資比前一個(gè)月增加直到元，此后工資不再浮動.（1）學(xué)生甲參加工作后第幾個(gè)月的月工資達(dá)到元；（2）如果學(xué)生甲從參加工作后的第一個(gè)月開始，每個(gè)月除了償還應(yīng)有的利息外，助學(xué)貸款的本金按如下規(guī)則償還：前個(gè)月每個(gè)月償還本金元，第個(gè)月開始到第個(gè)月每個(gè)月償還的本金比前一個(gè)月多元，第個(gè)月償還剩余的本金.則他第個(gè)月的工資是否足夠償還剩余的本金.（參考數(shù)據(jù)：；；）18．（12分）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作斜率為的弦.求：（1）弦的長；（2）△的周長.19．（12分）圓錐曲線的方程是.（1）若表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的取值范圍；（2）若表示焦點(diǎn)在軸上且焦距為的雙曲線，求的值.20．（12分）已知圓M過C(1，﹣1)，D(﹣1，1)兩點(diǎn)，且圓心M在x+y﹣2=0上.（1）求圓M的方程；（2）設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動點(diǎn)，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，求四邊形PAMB面積的最小值.21．（12分）已知數(shù)列滿足各項(xiàng)均不為0，，且，.（1）證明：為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）令，，求.22．（10分）已知函數(shù)，記f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）．若曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為﹣3，且x＝2時(shí)y＝f（x）有極值，（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理，結(jié)合組合數(shù)定義進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)3樓不要烤火爐時(shí)，不同的分發(fā)烤火爐的方法為：；當(dāng)3樓需要1個(gè)烤火爐時(shí)，不同的分發(fā)烤火爐的方法為：；當(dāng)3樓需要2個(gè)烤火爐時(shí)，不同的分發(fā)烤火爐的方法為：，所以分發(fā)烤火爐的方法總數(shù)為：，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理是解題的關(guān)鍵.2、D【解析】由題設(shè)條件求出，從而可求.【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?，，故，解得，故，故選：D.3、B【解析】由題知，進(jìn)而研究的符號即可得答案.詳解】解：，所以，即.故選：B4、C【解析】根據(jù)雙曲線的定義可得：，結(jié)合雙曲線的方程可得答案.【詳解】由雙曲線可得根據(jù)雙曲線的定義可得：故選：C5、D【解析】根據(jù)給定條件求出拋物線的頂點(diǎn)，結(jié)合拋物線的性質(zhì)求出p值即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，p>0，解得，于是得拋物線的方程為，由得，，即拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，因此，，所以礦石落點(diǎn)的最遠(yuǎn)處到點(diǎn)的距離為.故選：D6、B【解析】根據(jù)代入計(jì)算化簡即可.【詳解】故選：B.7、B【解析】設(shè)出竹子自上而下各節(jié)的容積且為等差數(shù)列，根據(jù)上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程，聯(lián)立即可求出首項(xiàng)和公差，根據(jù)求出的首項(xiàng)和公差，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出第5節(jié)的容積【詳解】解：設(shè)竹子自上而下各節(jié)的容積分別為：，，，，且為等差數(shù)列，根據(jù)題意得：，，即①，②，②①得：，解得，把代入①得：，則故選：B【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡求值，屬于中檔題8、C【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)，點(diǎn)到直線的距離為，聯(lián)立方程組即可求解.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，，∴的垂直平分線方程為，即，∵點(diǎn)在直線上，∴，又點(diǎn)到直線：的距離為，∴，即，聯(lián)立可得、或、，∴所求點(diǎn)的坐標(biāo)為或，故選：C9、B【解析】根據(jù)單位向量的定義和向量的乘法運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)橄蛄渴莾蓛纱怪钡膯挝幌蛄?，且所?故選：B10、C【解析】根據(jù)空間向量共面的條件即可解答.【詳解】對于A，由，所以，，共面；對于B，由，所以，，共面；對于D，，所以，，共面，故選：C.11、A【解析】直線AC、BD與坐標(biāo)軸重合時(shí)求出四邊形面積，與坐標(biāo)軸不重合求出四邊形ABCD面積最小值，再比較大小即可作答.【詳解】因四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直，由橢圓性質(zhì)知，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)為橢圓頂點(diǎn)時(shí)，而，四邊形ABCD的面積，當(dāng)直線AC斜率存在且不0時(shí)，設(shè)其方程為，由消去y得：，設(shè)，則，，直線BD方程為，同理得：，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)取“=”，而，所以四邊形ABCD面積最小值為.故選：A12、B【解析】根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為，可得，再結(jié)合焦距為2和，求得，即可得解.【詳解】解：因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，所以，即，又因焦距為2，即，即，因?yàn)?，所以，所以，所以雙曲線的方程為.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4##【解析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性求解【詳解】因?yàn)棣畏恼龖B(tài)分布（），即正態(tài)分布曲線的對稱軸為，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，可知ξ在與取值的概率相同，所以ξ在內(nèi)取值的概率為0.4.故答案為：0.414、-1【解析】根據(jù)給定條件設(shè)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再借助“點(diǎn)差法”即可計(jì)算得解.【詳解】依題意，線段的中點(diǎn)在橢圓C內(nèi)，設(shè)，，由兩式相減得：，而，于是得，即，所以.故答案為：15、##0.5【解析】利用球與圓錐相切，得出截面，在平面圖形中求解，以及圓錐曲線的來源來理解切點(diǎn)為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求出，得出離心率.【詳解】設(shè)球切于，切于E，，球半徑為2，所以，，∴，又中，，，故橢圓長軸長為,,根據(jù)橢圓在圓錐中截面與二球相切的切點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn)知：球O與相切的切點(diǎn)為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且，，橢圓的離心率為.故答案：.16、【解析】由已知中前項(xiàng)和，結(jié)合，分別討論時(shí)與時(shí)的通項(xiàng)公式，并由時(shí)，的值不滿足時(shí)的通項(xiàng)公式，故要將數(shù)列的通項(xiàng)公式寫成分段函數(shù)的形式【詳解】∵數(shù)列前項(xiàng)和，∴當(dāng)時(shí)，，又∵當(dāng)時(shí)，，故，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中正確理解由數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，求通項(xiàng)公式的方法和步驟是解答本題的關(guān)鍵三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）不能，理由見解析.【解析】（1）設(shè)甲參加工作后第個(gè)月的月工資達(dá)到元，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的不等式，結(jié)合參考數(shù)據(jù)可求得結(jié)果；（2）分析可知從第個(gè)月開始到第個(gè)月償還的本金是首項(xiàng)為為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，計(jì)算出甲前個(gè)月償還的本金，再由甲第個(gè)月的工資可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：設(shè)甲參加工作后第個(gè)月的月工資達(dá)到元，則，可得，，解得，所以，學(xué)生甲參加工作后第個(gè)月的月工資達(dá)到元.【小問2詳解】解：因?yàn)榧浊皞€(gè)月每個(gè)月償還本金元，第個(gè)月開始到第個(gè)月每個(gè)月償還的本金比前一個(gè)月多元，所以，從第個(gè)月開始到第個(gè)月償還的本金是首項(xiàng)為為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以，前個(gè)月償還的本金為，因?yàn)榈趥€(gè)月開始，每個(gè)月工資比前一個(gè)月增加直到元，所以，第個(gè)月的工資為元，因?yàn)椋虼?，甲第個(gè)月的工資不能足夠償還剩余的本金.18、（1）；（2）.【解析】（1）聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)之間的距離公式即可求得；（2）根據(jù)（1）中所求，利用兩點(diǎn)之間的距離公式，即可求得三角形周長.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，由題意知雙曲線的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，直線的方程，與聯(lián)立得，解得，代入的方程為分別解得.所以.【小問2詳解】由（1）知，，，所以△的周長為.19、（1）且（2）【解析】（1）由條件可得，解出即可；（2）由條件可得，解出即可.【小問1詳解】若表示焦點(diǎn)在軸上橢圓，則，解得且【小問2詳解】若表示焦點(diǎn)在軸上且焦距為的雙曲線，則，解得20、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)圓的方程為：，由已知列出方程組，解之可得圓的方程；（2）由已知得四邊形的面積為，即有，又有.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求得答案.【詳解】解：（1）設(shè)圓方程為：，根據(jù)題意得，故所求圓M的方程為：；（2）如圖，四邊形的面積為，即又，所以，而，即.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，的最小值即為點(diǎn)到直線的距離所以，四邊形面積的最小值為.21、（1）證明見解析，，（2）【解析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合遞推公式，易知，即可求證；（2）根據(jù)題意，結(jié)合錯位相減法，即可求解.【小問1詳解】∵，∴，，∴等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為3.∴，即，.【小問2詳解】根據(jù)題意，得，，①，②①-②得，故.22、（Ⅰ）f（x）＝x3﹣3x2+1；（Ⅱ）最大值為1，最小值為﹣3【解析】（Ⅰ）求導(dǎo)可得f′（x）的解析式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得k=f′（1）=-3，又在x＝2處有極值，所以f′（2）＝0，即可求得a，b的值，即可得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）的解析式，令f′（x）=0，解得x＝0或x＝2，討論f（x）在﹣1＜x＜0，0＜x＜1上的單調(diào)性，即可