專(zhuān)題5.3簡(jiǎn)單的三角恒等變換(學(xué)生版)

專(zhuān)題5.3簡(jiǎn)單的三角恒等變換1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)Cα±βSα±βTα±β:tan(2)公式的逆用及變形 ①tanα±tanβ=tan②在△ABC中,(角A,B,C均不為直角)，tanA+B=tanA+tanB2.二倍角公式Cα±βS2α:sin2α=2sinα?cosαC2α3.輔助角公式函數(shù)fx=asinx+bcosx(a,b為常數(shù)f其中sinφ=ba2+b如：sin4.和差化積公式=1\*GB2⑴sinα+sinβ=2sinα+β2=2\*GB2⑵sinα-sinβ=2cosα+β2=3\*GB2⑶cosα+cosβ=2cosα+β2=4\*GB2⑷cosα-cosβ=-2sinα+β25.積化和差公式=1\*GB2⑴sinα?cosβ=12sin=2\*GB2⑵cosα?cosβ=12[=3\*GB2⑶sinα?sinβ=12[【重要結(jié)論】1.半角公式(1)sinα2=±1-cosα2；(2)2.升冪公式：1-cos2α=2sin2α;1+cos2α=2co3.降冪公式：sinα?cosα=12sin2α;4.萬(wàn)能置換公式：sin2α=2sinα?cosαsin25.和、差、倍角公式的逆用和變形用的應(yīng)用技巧=1\*GB3①準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式；=2\*GB3②和差角公式變形：sinαsinβcosαsinβtanα1.【人教A版必修一5.5.2例10P227】若α，β均為銳角，且cosα=17，cos(α+β)=-1114A.-12 B.12 C.-2.【人教A版必修一習(xí)題5.5第2題P229】有一塊半徑為2，圓心角為45°的扇形鋼板，從這個(gè)扇形中切割下一個(gè)矩形(矩形的各個(gè)頂點(diǎn)都在扇形的半徑或弧上，且矩形的一邊在扇形的半徑上)，則這個(gè)內(nèi)接矩形的面積最大值為

.考點(diǎn)一考點(diǎn)一三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)【方法儲(chǔ)備】1.化簡(jiǎn)思路=1\*GB2⑴異角化同角：發(fā)現(xiàn)角之間的差別與聯(lián)系，合理拆分角，恰當(dāng)選擇三角公式；=2\*GB2⑵異名化同名：統(tǒng)一三角函數(shù)的名稱(chēng)，利用誘導(dǎo)公式，切弦互化、二倍角公式等實(shí)現(xiàn)名稱(chēng)的統(tǒng)一；=3\*GB2⑶異次化同次：統(tǒng)一三角函數(shù)的次數(shù)，一般是利用降冪公式化高次為低次.=4\*GB2⑷特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化：可將特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為具體的值，減少角的個(gè)數(shù)，或把特殊值（如12,22,32等）變角【注意】=1\*GB2⑴注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用．=2\*GB2⑵注意配方法、因式分解和整體代換思想的應(yīng)用．【典例精講】例1.(2023·安徽省合肥市月考)化簡(jiǎn)：sinα2+cos例2.(2022·浙江省溫州市月考)在△ABC中，求證：sinA+sinB+sinC=4cosA2cosB2例3.(2022·山東省濟(jì)南市月考)（多選）下列各式中，與tanα相等的是(

)A.1-cos2α1+cos2αB.【拓展提升】練11(2023·廣東省揭陽(yáng)市聯(lián)考)寫(xiě)出滿(mǎn)足條件：任意α∈R，sin2α+cos2(α+θ)+sinα練12(2022·重慶市模擬)已知x∈(0,π2)，y∈(0,π2)，A.y-x=π4 B.2y-x=π4練13(2023·江蘇省常州市期末)（多選）在ΔABC中，滿(mǎn)足cos2A+cos2B=1A.A+B=π2

B.|tanA|=|cosBcosA|考點(diǎn)二考點(diǎn)二三角函數(shù)的求值【方法儲(chǔ)備】1.給值(式)求值：已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，觀(guān)察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系，通過(guò)拆角與湊角，利用公式求值．=1\*GB2⑴常見(jiàn)角的變換有：①2α=α+β+(α-β)；=2\*GB3②α=α+β-=4\*GB3④α=α+β2+α-β2；=5\*GB3⑤α-β2=α+β2-α=7\*GB3⑦π3-α=π2=8\*GB3⑧π3+α=π-2π=2\*GB2⑵當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式．=3\*GB2⑶當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，分析“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，利用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．2.給值求角的步驟(1)根據(jù)條件確定所求角的范圍；(2)求所求角的三角函數(shù)值：可選取在所求角的范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù)，防止增解；(3)結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角．3.解決非特殊角求值問(wèn)題的基本思路有：=1\*GB2⑴化非特殊角為特殊角；=2\*GB2⑵化為正負(fù)相消的項(xiàng)，消去后求值；=3\*GB2⑶化分子、分母使之出現(xiàn)公約數(shù)，進(jìn)行約分求值；=4\*GB2⑷當(dāng)有α，2α，3α，4α同時(shí)出現(xiàn)在一個(gè)式子中時(shí)，一般將α向2α，3α(或4α)向2α轉(zhuǎn)化，再求關(guān)于2【注意】=1\*GB2⑴求角時(shí)，要注意所求角的范圍，并在解題過(guò)程中根據(jù)三角函數(shù)值的正負(fù)進(jìn)一步縮小有關(guān)角的范圍，以保證所求角在最小的范圍內(nèi)．(2)tanαtanβ，tanα+tanβ(或tanα－tanβ)，【典例精講】

例4.(2022·江蘇省南通市月考)已知sin(5x-π3)-2sin3xcos(2x-πA.19 B.-19 C.例5.(2022·吉林省期中)若sin2α=55，sin(β-α)=1010，且A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4例6.(2022·江蘇省鹽城市期中)已知2sinα=2sin2α2-1．

(1)求sin2α+cos2α的值；

(2)已知α∈(0,π)，β∈(π2【拓展提升】練21(2023·江蘇省泰州市期中)（多選）已知cos(α+β)=-55，cos2α=-45，其中α，A.sin2α=35 B.cos(α-β)=練22(2023·廣東省惠州市月考)已知α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，且cos(α-β)-cos(α+β)=813，tanα2+考點(diǎn)三考點(diǎn)三三角恒等變換與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用【方法儲(chǔ)備】1.三角函數(shù)的多數(shù)問(wèn)題，如求值問(wèn)題、求角問(wèn)題、參數(shù)問(wèn)題等，需要先利用三角恒等變換的相關(guān)公式，對(duì)三角函數(shù)的“角、函數(shù)名稱(chēng)、式子結(jié)構(gòu)”進(jìn)行轉(zhuǎn)化和化歸，以達(dá)到簡(jiǎn)化式子、方便計(jì)算或變形、變換的目的.2.三角形內(nèi)的恒等變換

=1\*GB2⑴三角形內(nèi)角定理的變形

由A+B+C=π,知A=π-B+C,A2=sinA=sinB+CcosA=-cosB+CtanA=-tan=2\*GB2⑵三角形內(nèi)較常用的恒等式

=1\*GB3①sinA+sinB+sinC=4cosA2cosB2cosC2；

=2\*GB3②sin2A+sin2B+sin2C=2cosAcosBcosC+2；

=3\*GB3③tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；

=4\*GB3④【典例精講】例7.(2023·江蘇省泰州市期中)已知函數(shù)f(x)=1+cos2x4sin(π2+x)-asinx2A.15 B.-15 C.例8.(2022·湖南省長(zhǎng)沙市期中)三角形ABC中，∠ACB=2π3，AB邊上的高CD=1，AD=x，DB=y則x+y的最小值為

。

【拓展提升】練31(2022·江蘇省宿遷市期末)在△ABC中，若sinC=2?cosAcosB，則cos2A+cos2B的最大值為

練32(2023·廣東省肇慶市期中)已知函數(shù)fx=2(1)將函數(shù)fx化為Asinωx+φ的形式，其中A>0，ω>0，φ∈(2)若fα=65，練33(2023·山西省晉城市月考)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知cosA(1)若A=B，求C；(2)求asin1.(2023·遼寧省沈陽(yáng)市月考)在非等腰△ABC中，內(nèi)角A，B，C滿(mǎn)足(sin2A-sin2B)?sinC=(sin2A+sinA.(π6,π4)∪(2.(2023·安徽省蚌埠市模擬)（多選）定義：μ=cos2θ1-θ0+cos2θ2-θ0+?+cos2A.38 B.12 C.33.(2023·山東省青島市月考)定義2×2矩陣a1a2a3a4=aA.圖象關(guān)于(-π12,0)中心對(duì)稱(chēng) B.圖象關(guān)于直線(xiàn)x=π2對(duì)稱(chēng)

C.在區(qū)間[-π【答案解析】1.【人教A版必修一5.5.2例10P227】解：∵α，β均為銳角，且cosα=17，cos(α+β)=-1114，

∴sinα=1-149=437，2.【人教A版必修一習(xí)題5.5第2題P229】解：如圖，設(shè)∠COF=θ，

則CF=2sinθ，OF=2cosθ，

所以O(shè)E=DE=CF=2sinθ，

EF=OF-OE=2cosθ-2sinθ，

設(shè)矩形CDEF的面積為S，

則S=CF·EF=2sinθ·2cosθ-2sinθ

=4×12sin2θ+12cos2θ-12例1.解：原式====例2.證明：由A+B+C=180°，得C=∴=2=2=2=4cos即sinA+sinB+sinC=4cosA例3.解：A不符合，1-cos?2α1+cos?2α=2sin2α2cos2α=練11.解：si=1-12cos2α+12cos2α+2θ+sinα+α+θ+練12.解：∵cosx+sinxcosx-sinx=1-cos2ysin2y，

∴cosx+sinxcosx-sinx=1-(1-2sin2y)2sinycosy=sinycosy，練13.解：由cos2A+cos2B=1，即cos2Asin2A+cos2A+cos2Bsin2B+cos2B=1，

所以1tan2A+1+1tan2B+1=1，

所以tan2B+1+tan2A+1=tan2A+tan2B+tan2Atan2B+1，

所以tanAtanB=±1，

對(duì)A選項(xiàng)：因?yàn)閠anAtanB=±1，所以sinAcosA·sin

例4.解：∵sin(5x-π3)=sin(3x+2x-π3)=sin3xcos(2x-π3)+cos3xsin(2x-π3例5.解：∵α∈[π4,π]，β∈[π,3π2]，sin2α=55，

∴2α∈[π2,π]，cos2α=-255，

又0<sin2α=55<12，

∴2α∈(5π例6.解：(1)由2sinα=2sin2α2-1，得2sinα=-cosα，∴tanα=-12，

則sin2α+cos2α=2sinαcosα+cos2α=2sinαcosα+cos2α-sin2αsin2α+cos2α

=2tanα+1-tan2αtan2α+1=-15；

練21.解：A:因?yàn)閏os(α+β)=-55，cos2α=-故A正確;

B:因?yàn)閟in(α+β)=255，

所以cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]

=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)

=(-45)×(-55)+35×255=25練22.解：(1)cos(α-β)-cos(α+β)=2sinαsinβ=813，所以sinαsinβ=413；

tanα2+1tanα2=sinα2cosα2+cosα2sinα例7.解：f(x)=2cos2x4cosx+asinx2cosx2=例8.解：∵∠ACB=2π3，∴A+B=π3，

在Rt△ADC中，tanA=1x，即x=1tanA=32sinAsin(π3-A)=32sin練31.解：在△ABC中，因?yàn)閟inC=sin則sinAcosB+cosAsinB=2cosAcosB，等式兩邊同時(shí)除以cosAcosB得tanA+tanB=2，則cos2設(shè)tanA=m，tanB=n，則m+n=2，m>0，n>0，則cos=(m+n)由0<mn≤(m+n2)2則cos2A+cos當(dāng)且僅當(dāng)t=22時(shí)，取等號(hào)，

故cos2A+cos2練32.解：(1)由題意，f(x)=23=∵x∈R，∴fx∈-2,2，

則f(2)由fα=6∵π4<α<π2，∴sin練33.解：(1)由A=B，cosAtanB=1+sinA，可得cosAtanA=1+sinA，

則cos2A=(1+sinA)sinA，

整理得2sin2A+sinA-1=0，解之得sinA=12或sinA=-1，

又A=B，故A只能是銳角，0<A<π2，

則A=π6，則B=π6，C=2π3；

(2)A，B為△ABC的內(nèi)角，則1+sinA>0，

則由cosAtanB=1+sinA，可得cosAtanB>0，則A1.解：在A(yíng)BC中，由sinC=sin(sin2A-sin2B)?sin(A+B)=(sin2A+sin2B)?sin(A-B)，

所以：(sin2A-sin2B)(sinAcosB+cosAsinB)=(sin2A+sin2B)(sinAc