數(shù)學(xué)高中人教A版必修4學(xué)案1.1.2弧度制Word版含解析

第一章三角函數(shù)1.1任意角和弧度制1.1.2弧度制學(xué)習(xí)目標(biāo)了解弧度制,并能進(jìn)行弧度與角度的換算.學(xué)習(xí)過程一、自主學(xué)習(xí)問題1:你能寫出終邊分別在x軸、y軸上的角的集合嗎?問題2:在同一坐標(biāo)系中分別作出30°,-45°,390°的角,并指出它們是第幾象限角?問題3:寫出與60°角終邊相同的角,并指出落在0°~720°間的角.問題4:1°的角是怎樣定義的?半徑為r,圓心角為n°的扇形的弧長是多少?二、自主研討問題5:已知30°,60°的圓心角,半徑r為1,2,3,4,分別計算對應(yīng)的弧長l,再計算弧長與半徑的比,并總結(jié)規(guī)律.探究一:弧度制定義:長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角,記作1rad,這種度量角的單位制稱為.

新知:①正角的弧度數(shù)是數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)是數(shù),零角的弧度數(shù)是.

②角α的弧度數(shù)的絕對值|α|=lr(l為弧長,r為半徑)探究二:弧度制與角度值的轉(zhuǎn)化問題6:若弧長是一個半圓,則其圓心角的弧度數(shù)是多少?問題7:若弧長是14個圓,則其圓心角的弧度數(shù)是多少問題8:你能得到同一個角的角度和弧度的關(guān)系嗎?問題9:你能得到角α的弧度數(shù)的絕對值、弧長l、半徑r之間的關(guān)系嗎?你能得到扇形的面積公式嗎?試一試:完成特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表:角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度角度210°225°240°270°300°315°330°345°360°弧度三、典例精析,應(yīng)用新知1.按要求解答下列各題:(1)把67°30'化成弧度;(2)把35πrad化成角度2.利用弧度制證明扇形面積公式:(1)S=12lr;(2)S=12αr3.(1)已知扇形半徑為10cm,圓心角為60°,求扇形的弧長和面積;(2)已知扇形的周長為8cm,圓心角為2rad,求扇形的面積.四、課堂練習(xí)1.把22°30'化成弧度表示是()A.π4 B.π8 C.π162.半徑為2的圓的圓心角所對弧長為6,則其圓心角為rad.

3.5π4化為度表示是4.將下列各式進(jìn)行度與弧度的轉(zhuǎn)化(1)π12=°;(2)-7π8=°';(3)-105°=五、小結(jié)反思六、達(dá)標(biāo)檢測(A組必做,B組選做)A組1.時鐘經(jīng)過時,時針轉(zhuǎn)過了()A.π6rad B.-π6rad C.π12rad D.2.若α=-3,則角α的終邊在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.半徑為πcm,中心角為120°的弧長為()A.π3cm B.π23cm C.2π4.若扇形的圓心角α=2,弧長l=3π,則該扇形的面積S等于()A.9π2 B.9π24 5.圓的半徑變?yōu)樵瓉淼?倍,而弧長也增加到原來的2倍,則()A.扇形的面積不變 B.扇形的圓心角不變C.扇形的面積增大到原來的2倍 D.扇形的圓心角增大到原來的2倍B組1.已知集合M={x|x=k·π2,k∈Z},N={x|x=k·π±π2,k∈Z},則(A.集合M是集合N的真子集 B.集合N是集合M的真子集C.M=N D.集合M與集合N之間沒有包含關(guān)系2.如圖,終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合是()A.{α|120°<α<330°}B.{α|k·360°-30°≤α≤k·360°+120°,k∈Z}C.{α|k·360°+120°≤α≤k·360°+330°,k∈Z}D.{α|k·180°+120°≤α≤k·180°+330°,k∈Z}3.已知一個扇形的周長是6cm,該扇形的中心角是1弧度,求該扇形的面積.4.如圖,用弧度制表示下列終邊落在陰影部分的角的集合(不包括邊界).參考答案一、自主學(xué)習(xí)問題1:終邊在x軸上的角的集合為{α|α=k·180°,k∈Z},終邊在y軸上的角的集合為{α|α=90°+k·180°,k∈Z}.問題2:30°是第一象限角,-45°是第四象限角,390°是第一象限角.問題3:與60°角終邊相同的角為α=60°+k·360°,k∈Z,落在0°~720°間的角為60°,420°.問題4:1°的定義為圓周角的1360,弧長公式為n二、自主研討問題5:30°的圓心角,半徑為1時,弧長為π6;半徑為2時,弧長為π3;半徑為3時,弧長為π2;半徑為4時,弧長為2π3.60°的圓心角,半徑為1時,弧長為π3;半徑為2時,弧長為2π3;半徑為3時,弧長為π;半徑為4時,弧長為探究一:弧度制弧度制,正,負(fù),零探究二:弧度制與角度值的轉(zhuǎn)化若弧是一個半圓,則其圓心角的弧度數(shù)為πrr=πrad;若弧長是14個圓,則其圓心角的弧度數(shù)為2πr4r=π2rad;角度數(shù)和弧度數(shù)的關(guān)系180°=πrad,即1°=由弧度的定義知|α|=lr,即l=|α半徑為r,圓心角的弧度數(shù)為α的扇形的面積S=12αr2=1試一試:完成特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表:角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0ππππ235π角度210°225°240°270°300°315°330°345°360°弧度75435711232π三、典例精析,應(yīng)用新知1.解:(1)∵67°30'=(6712)°∴67°30'=π180rad×6712=(2)35πrad=35×180°=2.證明:∵S=n360πr2,l=n180πr,α=n∴S=12lr,S=12αr3.解:(1)∵扇形的圓心角為60°=π3∴弧長l=αr=π3×10=10π3S=12αr2=12×π3×102=50(2)∵2r+l=8cm,lr=2,所以r=2cm,l=4,所以S=12rl=12×2×4=4(cm四、課堂練習(xí)1.B2.33.225°4.(1)15°(2)-157°30'(3)-712五、小結(jié)反思1.角度制與弧度制的比較(1)弧度制是以“弧度”為單位度量角的制度,角度制是以“度”為單位度量角的制度;(2)1弧度是等于半徑長的圓弧所對的圓心角的大小,而1°是圓的1360所對的圓心角的大小(3)不論是以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個與半徑大小無關(guān)的定值.2.弧度制是十進(jìn)制,它用一個實(shí)數(shù)表示,而角度制是六十進(jìn)制.六、達(dá)