拓展專題7求數列的通項公式（學生版）

拓展專題7求數列的通項公式將數列的第n項用一個具體式子（含有參數n）表示出來，稱作該數列的\t"s://baike.baidu/item/%E6%95%B0%E5%88%97%E9%80%9A%E9%A1%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F/_blank"將數列的第n項用一個具體式子（含有參數n）表示出來，稱作該數列的\t"s://baike.baidu/item/%E6%95%B0%E5%88%97%E9%80%9A%E9%A1%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F/_blank"通項公式。這正如\t"s://baike.baidu/item/%E6%95%B0%E5%88%97%E9%80%9A%E9%A1%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F/_blank"函數的\t"s://baike.baidu/item/%E6%95%B0%E5%88%97%E9%80%9A%E9%A1%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F/_blank"解析式一樣，通過代入具體的n值便可求知相應an

項的值。求數列的通項公式，是考察學生對數列的思考能力、熟練程度和解題能力的重要手段。這部分內容靈活度較大、技巧性強，需要學生仔細琢磨各類題型的特點，熟練掌握相應的技巧，只要多思考、多總結，這部分試題并不難?！戏拾酥兄袑W一級教師關良玲探究1：前n項和法【典例剖析】例1.(2022·江蘇省無錫市模擬)已知數列an的首項a1=3，且a(1)求證：數列1S(2)求數列an選題意圖:由選題意圖:由前n項和求通項公式，理論基礎是an=S1,n=1Sn-Sn-1,n≥2思維引導：第（1）問中將an=Sn-Sn-1n≥2帶入an=2SnSn-1,n≥2中，得到Sn與Sn-1n≥2的關系式，從而判斷出數列1Sn為等差數列，從而求出Sn；【變式訓練】練11(2022·山西省運城市模擬)已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=1，Sn=練12(2022·遼寧省丹東市月考)數列{an}的前n項和為Sn，已知a1=12，Sn=n2an-n2(n-1)．【規(guī)律方法】數列是高考中的重要考查內容,求通項公式往往會作為解答題的第(1)問,難度

多,但是每一類求法對應的條件的區(qū)別較為明顯,重點掌握幾種常用的求通項公式的思路方法.

Sn求a=1\*GB3①已知Sn=f(n)，則an＝第一步：當n=1時，a1=S1；第二步：當n≥2時，an==2\*GB3②已知Sn=f(Sn-1)：可先求出數列=3\*GB3③已知Sn=f(an)：Sn=f(an)Sn=f(an)得到Sn與S探究2：累加法【典例剖析】例2.(2022·湖北省聯考)已知數列{an}中，an+1=an+選題意圖：選題意圖：遞推關系滿足an+1-an=fn即可利用累加法求出ann≥2，注意驗證a1是否符合，思維引導：題干中的遞推關系為an+1-an=1n-1【變式訓練】練21(2022·浙江省模擬)已知數列{an}滿足nan+1-(n+1)an=1(n∈A.12n B.n-1 C.n練22(2022·江蘇省模擬)已知正項數列an的前n項和為Sn，給出以下三個條件：

①a1=1，nan+1=(n+1)a從這三個條件中任選一個解答下面的問題．(1)求數列an(2)設bn=4Snan【規(guī)律方法】2.累加法：a第一步：將已知條件中的遞推關系,經過整理變形得到后一項與前一項的差為一個關于項數的函數,即an+1第二步：寫出an-an-1=f第三步：得到an-a第四步：檢驗a1是否滿足所求通項公式，若滿足，則合并；若不滿足，則寫出分段形式探究3：累乘法【典例剖析】例3.(2022·江蘇省南通市月考)已知數列{an}，a1=1，且anan+1=選題意圖：選題意圖：遞推關系滿足an+1an=fn即可利用累乘法求出a思維引導：題干條件anan+1=nn+2不符合累乘法的模型an+1an=f【變式訓練】練31(2022·江西省聯考)已知a1=1,an=n(an+1A.an=n B.an=練32(2022·河南省重點高中頂尖計劃模擬)已知數列an中，a1=14，an-2an+1A.3 B.5 C.7 D.9【規(guī)律方法】乘法：a第一步：將已知條件中的遞推關系,經過整理變形得到后一項與前一項的差為一個關于項數的函數,即an+1第二步：寫出anan-1=fn-1，a第三步：得到ana1第四步：檢驗a1是否滿足所求通項公式，若滿足，則合并；若不滿足探究4：構造法【典例剖析】例4.(2021·廣東省佛山市月考)已知在數列{an}中，a6=11，且nan-(n-1)an+1選題意圖：選題意圖：根據遞推關系適當變形構造特殊數列靈活性較大，解題中需要抓住給出的條件式的特點，再運用代數手段進行恰當的變形，變形方法需要一定的技巧.本題由相鄰兩項的關系推導出相鄰三項的關系，從而判斷出數列an即為等差數列思維引導：由題干中的遞推關系得出n+1an+1-nan+2=1，兩式聯立得出an+an+2=2an+1，判斷出數列an為等差數列，求出【變式訓練】練41(2022·江蘇省鹽城市月考)已知數列{an}滿足a1=1，an+1=anan+2(n∈練42(2021·安徽省合肥市聯考)已知數列an滿足a1=1，an∈N)，則數列{an}的通項A.12n-1 B.12n練43(2022·江蘇省南京市模擬)已知數列{an}滿足a12an+1anan-1練44(2021·湖南省永州市模擬)已知數列an=32an-1A.63log23-31 B.31log【規(guī)律方法】4.構造法：=1\*GB3①an+1=pan+q（其中p,q第一步：先將遞推公式改寫為an+1第二步：由待定系數法，解得k=q第三步：求出數列{an+qp-1=2\*GB3②an+1=pan+qn+r（其中p,q為常數，且第一步：先將遞推公式改寫為an+1第二步：由待定系數法，求出m,t的值；第三步：求出數列an+mn+t的通項公式，得到an=3\*GB3③an+1=pan+qn（其中思路一：第一步：兩邊同除以qn+1，得a第二步：若p≠q，利用=1\*GB3①中方法求出數列anqn的通項公式，得到an的通項公式；若p=q，數列思路二：第一步：或先將遞推公式改寫為an+1第二步：由待定系數法，求出m的值；第三步：求出數列an+m?qn的通項公式，得到=4\*GB3④xan+2+yan+1+z第一步：把遞推關系式轉化為an+2第二步：設bn=an+1-pan，則bn+1=mbn+q；若m≠1，則利用=1\*GB3第三步：通過數列an+1-pan的通項公式，即數列a=5\*GB3⑤an+1=panq第一步：將遞推公式兩邊取倒數得1a第二步：若p≠r，利用=1\*GB3①中方法求出數列1an的通項公式，得到an的通項