基于條分法的矢量和安全性分析

基于條分法的矢量和安全性分析

1基于廣義約束梯度法的矢量系數(shù)求解邊坡穩(wěn)定分析通?；趯?duì)潛在滑和潛在滑動(dòng)面的力學(xué)分析來定義和求解系數(shù)?；臉O限阻力和滑動(dòng)力通常通過世代計(jì)算進(jìn)行。然而，由于力是向量，因此定義忽略了力向量的概念。在特殊情況下（圓弧滑面和直線滑面）是有意義的。在非圓形滑動(dòng)的表面上，物理意義是模糊的。因此,基于力的矢量求和的安全系數(shù)定義似乎更合理一些,矢量和安全系數(shù)法最早是由葛修潤(rùn)(1983年)提出的,即根據(jù)極限抗滑力與下滑力的矢量特征,在某一方向上投影來計(jì)算安全系數(shù)。矢量和安全系數(shù)可以通過有限元方法和極限平衡方法求解,目前常用的方法是在有限元計(jì)算得到的應(yīng)力場(chǎng)基礎(chǔ)上,分析潛在滑面應(yīng)力狀態(tài)來求解。本文實(shí)現(xiàn)了矢量和安全系數(shù)求解的條分法:在通用條分法(GLE)的基礎(chǔ)上,嚴(yán)格滿足力和力矩平衡,采用非線性規(guī)劃技術(shù)中的廣義簡(jiǎn)約梯度法搜索臨界滑面,得到矢量和安全系數(shù)。整個(gè)計(jì)算過程都在MicrosoftExcel內(nèi)實(shí)現(xiàn),方法簡(jiǎn)單,易于在工程界推廣。2條分法的矢量和系數(shù)本文將傳統(tǒng)的安全系數(shù)定義稱為代數(shù)和安全系數(shù),將之作為求解矢量和安全系數(shù)的手段,記為F,各條塊的F相同。式中:R為極限抗滑力(以下簡(jiǎn)稱抗滑力);T為下滑力。最經(jīng)典的抗滑穩(wěn)定安全系數(shù)的概念和定義應(yīng)該是:坡體在各種荷載作用下,潛在滑動(dòng)面所能提供的極限抗滑力的“總和”與作用在潛在滑動(dòng)面上滑動(dòng)力的“總和”之比。因?yàn)榱κ鞘噶?因此,求和應(yīng)該是把滑面上各個(gè)條塊的滑動(dòng)力矢量按“矢量和”合成為導(dǎo)致坡體可能發(fā)生滑動(dòng)的力矢,稱之為總滑動(dòng)力矢。同理,把作用在滑面各條塊抵抗滑動(dòng)的力矢,通過“矢量和”形成總抗滑力矢。因?yàn)榭偪够κ负涂傁禄κ付际鞘噶?無法直接相除得到用標(biāo)量表達(dá)的安全系數(shù),必須在某一方向上進(jìn)行投影才能計(jì)算出具有標(biāo)量性質(zhì)的安全系數(shù)。因此,矢量和安全系數(shù)定義為:總抗滑力矢和總下滑力矢在方向θ上投影的比值。式中:R(θ)、T(θ)分別為條塊抗滑力和下滑力在θ方向上的投影。關(guān)于投影方向,總的原則是由滑體的滑動(dòng)趨勢(shì)來確定,可以將下滑合力矢方向、平均滑動(dòng)方向、抗滑合力矢方向作為計(jì)算方向θ。研究發(fā)現(xiàn),三者的計(jì)算結(jié)果相差極小,選擇后兩種,可能更利于滑面的搜索。因此,本文中安全系數(shù)計(jì)算方向選擇抗滑合力矢所在方向。將滑體劃分成n個(gè)垂直條塊(圖1),條塊底面長(zhǎng)為li,底面傾角為αi,轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(xc,yc),底面兩點(diǎn)坐標(biāo)為(xi-1,yi-1)和(xi,yi)。條塊重力為iW,水平條間力為Ei-1和iE,條間剪力為Xi-1和Xi,底面法向力為Pi,底面剪力為Ti,底面孔隙水壓力為ui,滑面有效內(nèi)摩擦角為?i′,有效黏聚力為ci′?？够狭κ阜较?yàn)棣?矢量和安全系數(shù)為F(θ)。條間力函數(shù)關(guān)系為Ei=λf(x)Xi。f(x)可取半正弦函數(shù)、梯形函數(shù)、常數(shù)等。如果f(x)為常數(shù),則條間力(Ei和Xi的合力)方向平行,這也是Spencer法對(duì)條間力的假設(shè)。嚴(yán)格滿足力和力矩平衡時(shí),在合理的范圍內(nèi),不同的條間力假設(shè)對(duì)代數(shù)和安全系數(shù)影響很小。首先建立條塊的水平和垂直方向力平衡、滑體整體水平向力平衡以及滑體對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)的力矩平衡?；嫔贤馏w的強(qiáng)度服從摩爾–庫侖強(qiáng)度準(zhǔn)則,抗剪強(qiáng)度為τf=c′+σ′tan?i′。為方便求得矢量和安全系數(shù),寫出Pi和Ti的表達(dá)式,得到如下公式:其中:由式(8)可知,可應(yīng)用于任意的非圓弧滑面。條塊底面的抗滑力為Ri=ci′li+(Pi-uili)tan?i′,抗滑合力矢的方向?yàn)閷i、Ti在θ方向投影并累加,得到:條分法的矢量和安全系數(shù)表達(dá)式如下:黏聚力c較大時(shí),邊坡頂部的條塊條間力和底部法向力可能出現(xiàn)負(fù)值的不合理情況,此時(shí)可通過在邊坡頂部設(shè)置拉裂縫來處理。Low等在Excel內(nèi)實(shí)現(xiàn)了邊坡穩(wěn)定性計(jì)算,包括確定性方法和概率分析方法。本文的計(jì)算就是在文獻(xiàn)提供的Excel程序基礎(chǔ)上改寫實(shí)現(xiàn)。條分法求解矢量和安全系數(shù)就是在滿足整體力和力矩平衡以及幾何約束條件下,在計(jì)算方向θ上搜索滑面,使F(θ)最小,這個(gè)滑面搜索過程可用非線性規(guī)劃技術(shù)實(shí)現(xiàn)。3基于廣義約束梯度法的滑面求解矢量和安全系數(shù)的滑面搜索是一個(gè)典型的非線性規(guī)劃問題。在非線性規(guī)劃中,常用的約束最優(yōu)化方法有4種:①可行方向法,通過逐次選取可行下降方向去逼近最優(yōu)點(diǎn)的迭代算法,如投影梯度法和簡(jiǎn)約梯度法等。②拉格朗日乘子法,將問題轉(zhuǎn)化為求拉格朗日函數(shù)的駐點(diǎn)。③制約函數(shù)法,包括懲罰函數(shù)法和障礙函數(shù)法,將問題轉(zhuǎn)化為無約束問題來求解。④近似型算法,序貫線性規(guī)劃法和序貫二次規(guī)劃法。簡(jiǎn)約梯度法(reducedgradientmethod)適合求解線性約束函數(shù)的非線性優(yōu)化問題,每次迭代都通過當(dāng)前點(diǎn)的積極約束削去一部分變量,降低問題的維數(shù),且產(chǎn)生一可行下降方向。廣義簡(jiǎn)約梯度法(generalreducedgradientmethod,GRG)能解決具有非線性約束的非線性優(yōu)化問題,基本思路是:對(duì)于不等式約束條件,可以利用起作用約束來轉(zhuǎn)化為等式約束條件;另外,還可引入松弛變量使不等式變?yōu)榈仁郊s束條件,是目前解決約束最優(yōu)化問題的最有效方法之一。本文即采用GRG法搜索邊坡的臨界滑面。求解矢量和安全系數(shù)的數(shù)學(xué)模型如下:式中:H為坡高;β為坡角;λ為條間力常數(shù);xin、xout分別為滑面剪入、剪出口。約束條件中,前兩個(gè)保證整體力和力矩的平衡;最后一個(gè)不等式為幾何約束,控制滑面剪入、剪出范圍,可根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)整;另外,也可增加對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)搜索范圍的限制。實(shí)際計(jì)算時(shí),規(guī)劃求解的約束條件還應(yīng)增加另外一個(gè)隱含的幾何約束,滑面位置須在坡面以下(交點(diǎn)除外)。初始值設(shè)置如下:將傳統(tǒng)代數(shù)和安全系數(shù)對(duì)應(yīng)的圓弧滑面作為初始搜索滑面,對(duì)非圓弧滑面,可將圓弧滑面的圓心作為初始轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn),并令λ=0,F=1。MicrosoftExcel內(nèi)置的“規(guī)劃求解”方法是Lasdon和Waren開發(fā)的GRG非線性最優(yōu)化代碼,可以非常方便地在Excel內(nèi)用GRG法搜索邊坡的臨界滑面,求解矢量和安全系數(shù)。4計(jì)算示例4.1算例結(jié)果分析ACADS考題1中的EX1(a):均質(zhì)土坡,其計(jì)算模型如圖2所示,土體黏聚力c=3kPa,內(nèi)摩擦角?=19.6°,重度γ=20kN/m3。矢量和安全系數(shù)計(jì)算中選擇了兩種不同的條間力函數(shù),分別為常數(shù)和半正弦函數(shù),以下把條間力為常數(shù)的矢量和安全系數(shù)記作F1(θ),把條間力為半正弦函數(shù)的矢量和安全系數(shù)記作F2(θ),代數(shù)和安全系數(shù)記作F。θ、λ分別為抗滑合力矢方向和條間力方向,F1(θ)和F1(λ)分別為θ、λ方向上的矢量和安全系數(shù),滑面均為F1(θ)對(duì)應(yīng)的滑面。計(jì)算結(jié)果見表1,F1(θ)、F2(θ)與裁判答案的相對(duì)誤差小于3%,與F的相對(duì)誤差小于1%,滑面也與實(shí)際臨界滑面相吻合,這說明本文的計(jì)算方法是合理的。F1(θ)和F2(θ)的相對(duì)誤差為0.1%。條間力函數(shù)為常數(shù)時(shí),θ和λ方向非常接近。為進(jìn)一步研究矢量和安全系數(shù)條分法的合理性和可靠性,設(shè)計(jì)了表2中的9個(gè)算例,考慮不同坡比、坡高以及不同的孔隙水壓力條件。算例中力學(xué)參數(shù)均和ACADS考題EX1(a)相同,條間力函數(shù)分別取常數(shù)和半正弦函數(shù)。表2中的計(jì)算結(jié)果表明,對(duì)于不同坡比、坡高、孔隙水壓力條件下的圓弧滑面邊坡:(1)F1(θ)、F1(λ)、F2(θ)與F的相對(duì)誤差均不超過2%。θ和λ非常接近,相對(duì)誤差小于2.5%,F1(θ)和F1(λ)的相對(duì)誤差均不超過0.5%。(2)兩種條間力假設(shè)情況下,θ都小于邊坡的坡角,θ的相對(duì)誤差小于2%,F1(θ)和F2(θ)的相對(duì)誤差小于0.5%,滑面位置和F對(duì)應(yīng)的滑面非常吻合(限于篇幅,此處略去邊坡的臨界滑面對(duì)比圖),這表明不同的條間力假設(shè)對(duì)邊坡的矢量和安全系數(shù)影響也很小。因此,如果取條間力函數(shù)為常數(shù),即假設(shè)條間力平行,也可以把條間力方向λ近似作為矢量和安全系數(shù)的計(jì)算方向,使計(jì)算進(jìn)一步得到簡(jiǎn)化,不必再求抗滑合力矢方向,而計(jì)算精度仍能得到保證。盡管矢量和安全系數(shù)與傳統(tǒng)的代數(shù)和安全系數(shù)定義意義不同,但由表2可知,運(yùn)用兩種方法對(duì)各種條件下的邊坡計(jì)算得到的安全系數(shù)非常接近。這是因?yàn)樵趫A弧滑面這種特殊情況下,代數(shù)和安全系數(shù)的定義中,滑面上抗滑力與滑動(dòng)力代數(shù)和之比是具有明確的物理意義的,它表示的是:滑面上總抗滑力與滑動(dòng)力對(duì)滑面圓心的力矩之比,此時(shí)代數(shù)和安全系數(shù)與本文的矢量和安全系數(shù)應(yīng)該一致,這一點(diǎn)也可以從理論上證明。4.2算法參數(shù)結(jié)果分析通常情況下,邊坡的滑面都是非圓弧狀的,因此,為研究矢量和安全系數(shù)條分法在非圓弧滑面分析中的適用性,從文獻(xiàn)中選擇有代表性的非圓弧滑面邊坡算例17#、18#、19#,用矢量和安全系數(shù)條分法進(jìn)行計(jì)算并將結(jié)果與Spencer法進(jìn)行對(duì)比。(1)17#邊坡:均質(zhì)干邊坡,黏聚力c=9.8kPa,內(nèi)摩擦角?=10°,重度γ=17.64kN/m3。(2)18#邊坡:均質(zhì)邊坡,含孔隙水壓力,黏聚力c=10.8kPa,內(nèi)摩擦角?=40°,重度γ=18kN/m3,孔隙水壓力系數(shù)ur=0.5。(3)19#邊坡:有軟弱層的非均質(zhì)邊坡,由4層土層構(gòu)成。具體的參數(shù)請(qǐng)參見文獻(xiàn)。計(jì)算結(jié)果見表3,滑面對(duì)比見圖3~5,Spencer法安全系數(shù)及滑面用Slide5軟件計(jì)算得到。3個(gè)算例中,均質(zhì)邊坡17#、18#的矢量和安全系數(shù)與Spencer法安全系數(shù)相對(duì)誤差不超過3%。對(duì)于17#邊坡,兩種分析方法的滑面剪入口相同,矢量和安全系數(shù)法的剪出口都位于坡腳處,而Spencer法的剪出口距坡腳37cm,其滑面也深一些;對(duì)于18#邊坡,F1(θ)和Spencer法的滑面幾乎重合,F2(θ)對(duì)應(yīng)滑面略深,因?yàn)榛鏄O其相近,因此,安全系數(shù)相對(duì)誤差僅為0.69%;而對(duì)于19#邊坡,兩種方法的相對(duì)誤差最大達(dá)到5.5%,這主要是因?yàn)榛嫖恢貌顒e較大,F1(θ)和F2(θ)的滑面位置較深?？偟膩碚f,在非圓弧滑面情況下,不同的條間力假設(shè)對(duì)矢量和安全系數(shù)影響不大,相對(duì)誤差不超過1.5%,計(jì)算方向θ相對(duì)誤差小于2%,但θ和λ相差較大。對(duì)于均質(zhì)邊坡,兩種方法的安全系數(shù)和滑面都非常接近,這主要是由于均質(zhì)邊坡的實(shí)際滑面近似圓弧,而圓弧滑面條件下兩種方法是一致的。但對(duì)于含軟弱層的非均質(zhì)邊坡,滑面偏離圓弧較大,計(jì)算結(jié)果有一定差別。從理論上說,本文方法的結(jié)果應(yīng)該更合理一些,但哪種結(jié)果更合適還有待進(jìn)一步探討及工程實(shí)踐的檢驗(yàn)。5表面活性劑的檢測(cè)方法雖然近年來各種數(shù)值分析方法廣泛應(yīng)用于邊坡穩(wěn)定性分析中,但極限平衡法相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)仍會(huì)占據(jù)統(tǒng)治地位。目前,極限平衡法安全系數(shù)定義未考慮力的矢量概念,物理意義模糊,如何定義一個(gè)新的安全系數(shù)作為評(píng)價(jià)指標(biāo),顯得十分重要。矢量和安全系數(shù)基于力的矢量求和定義,這種定義方法較傳統(tǒng)的安全系數(shù)更為合理,但矢量和安全系數(shù)不是對(duì)現(xiàn)有邊坡安全系數(shù)指標(biāo)和評(píng)價(jià)體系的否定,就如同各種不同假設(shè)的條分法都能在工程實(shí)際中獲得應(yīng)用一樣,矢量和安全系數(shù)能夠?yàn)檫吰路€(wěn)定性評(píng)價(jià)提供多一種選擇。本文主要介紹了矢量和安全系數(shù)在極限平衡框架下的定義和求解方法,在通用條分法(GLE)基礎(chǔ)上建立求解公式,并在Excel內(nèi)用GRG法搜索邊坡臨界滑面,計(jì)算矢量和安全系數(shù),通過算例分析,得到如下結(jié)論:(1)不同的條間力假設(shè)(常數(shù)和半正弦函數(shù))對(duì)邊坡的矢量和安全系數(shù)影響很小。(2)抗滑合力矢方向θ小于邊坡坡角,即邊坡的滑動(dòng)趨勢(shì)總是指向坡外。(3)對(duì)于圓弧滑面,安全系數(shù)投影方向θ和假設(shè)條間力函數(shù)為常數(shù)時(shí)的條間力方向λ非常接近,因此,當(dāng)取條間力函數(shù)為常數(shù)時(shí),可近似將λ作為矢量和安全系數(shù)的計(jì)算方向,簡(jiǎn)化計(jì)算。(4)均質(zhì)