四川省富順二中高2024屆高二數(shù)學第一學期期末達標檢測試題含解析

四川省富順二中高2024屆高二數(shù)學第一學期期末達標檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．用數(shù)學歸納法證明時，第一步應驗證不等式（）A. B.C. D.2．已知橢圓的右焦點為，則正數(shù)的值是（）A.3 B.4C.9 D.213．已知橢圓C：的左，右焦點，過原點的直線l與橢圓C相交于M，N兩點．其中M在第一象限．，則橢圓C的離心率的取值范圍為（）A. B.C. D.4．已知是定義在上的函數(shù)，且對任意都有，若函數(shù)的圖象關于點對稱，且，則（）A. B.C. D.5．在平面直角坐標系xOy中，點（0,4）關于直線x－y+1＝0的對稱點為（）A.(－1,2) B.(2,－1)C.(1,3) D.(3,1)6．函數(shù)在（0，e]上的最大值為（）A.－1 B.1C.0 D.e7．以軸為對稱軸，拋物線通徑的長為8，頂點在坐標原點的拋物線的方程是（）A. B.C.或 D.或8．已知橢圓的左右焦點分別為，，過C上的P作y軸的垂線，垂足為Q，若四邊形是菱形，則C的離心率為（）A. B.C. D.9．若直線的斜率為，則的傾斜角為（）A. B.C. D.10．一部影片在4個單位輪流放映，每個單位放映一場，不同的放映次序有（）A.種 B.4種C.種 D.種11．已知實數(shù)，，則下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.12．已知數(shù)列是等比數(shù)列，，是函數(shù)的兩個不同零點，則（）A.16 B.C.14 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設，若不等式在上恒成立，則的取值范圍是______.14．已知橢圓的左焦點為，點在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是_______.15．已知球的表面積為,則該球的體積為______.16．若，滿足約束條件，則的最大值為_____________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐P－ABCD中，PA平面ABCD，，∠BAD=120o，AB＝AD＝2，點M在線段PD上，且DM＝2MP，平面（1）求證：平面MAC平面PAD；（2）若PA＝6，求平面PAB和平面MAC所成銳二面角的余弦值18．（12分）一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)（圓形區(qū)域的邊界上無暗礁），已知小島中心位于輪船正西處，港口位于小島中心正北處.（1）若，輪船直線返港，沒有觸礁危險，求的取值范圍?（2）若輪船直線返港，且必須經(jīng)過小島中心東北方向處補水，求的最小值.19．（12分）設：，：.（1）若命題“，是真命題”，求的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求的取值范圍.20．（12分）在直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）寫出曲線C的極坐標方程；（2）已知直線與曲線C相交于A，B兩點，求.21．（12分）已知橢圓的一個頂點為，離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l與橢圓C交于M、N兩點，直線BM與直線BN的斜率之積為，證明直線l過定點并求出該定點坐標22．（10分）已知函數(shù)（1）當在處取得極值時，求函數(shù)的解析式；（2）當?shù)臉O大值不小于時，求的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】取即可得到第一步應驗證不等式.【詳解】由題意得，當時，不等式為故選：B2、A【解析】由直接可得.【詳解】由題知，所以，因為，所以.故選：A3、D【解析】由題設易知四邊形為矩形，可得，結(jié)合已知條件有即可求橢圓C的離心率的取值范圍.【詳解】由橢圓的對稱性知：，而，又，即四邊形為矩形，所以，則且M在第一象限，整理得，所以，又即，綜上，，整理得，所以.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：由橢圓的對稱性及矩形性質(zhì)可得，由已知條件得到，進而得到橢圓參數(shù)的齊次式求離心率范圍.4、D【解析】令，代入可得，即得，再由函數(shù)的圖象關于點對稱，判斷得函數(shù)的圖象關于點對稱，即，則化簡可得，即函數(shù)的周期為，從而代入求解.【詳解】令，得，即，所以，因為函數(shù)的圖象關于點對稱，所以函數(shù)的圖象關于點對稱，即，所以，即，可得，則，故選：D.第II卷（非選擇題5、D【解析】設出點(0,4)關于直線的對稱點的坐標，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可【詳解】解：設點(0,4)關于直線x－y+1＝0的對稱點是(a,b),則，解得：，故選：D6、A【解析】對函數(shù)求導，然后求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的最大值【詳解】由，得，當時，，當，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值，故選：A7、C【解析】由分焦點在軸的正半軸上和焦點在軸的負半軸上，兩種情況討論設出方程，根據(jù)，即可求解.【詳解】由題意，拋物線的頂點在原點，以軸為對稱軸，且通經(jīng)長為8，當拋物線的焦點在軸的正半軸上時，設拋物線的方程為，可得，解得，所以拋物線方程為；當拋物線的焦點在軸的負半軸上時，設拋物線的方程為，可得，解得，所以拋物線方程為，所以所求拋物線的方程為.故選：C.8、C【解析】根據(jù)題意求出P點坐標，代入橢圓方程中，可整理得到關于a,c的等式，進一步整理為關于e的方程，解得答案.【詳解】如圖示：由題意可知，因為四邊形是菱形，所以，則，所以P點坐標為，將P點坐標為代入得：，整理得，故，由于，解得，所以，故選：C.9、C【解析】設直線l傾斜角為，根據(jù)題意得到，即可求解.【詳解】設直線l的傾斜角為，因為直線的斜率是，可得，又因為，所以，即直線的傾斜角為.故選：C.10、C【解析】根據(jù)題意得到一部影片在4個單位輪流放映，相當于四個單位進行全排列，即可得到答案.【詳解】一部影片在4個單位輪流放映，相當于四個單位進行全排列，所以不同的放映次序有種，故選：C11、C【解析】根據(jù)不等式性質(zhì)和作差法判斷大小依次判斷每個選項得到答案.【詳解】當時，不等式不成立，錯誤；，故錯誤正確；當時，不等式不成立，錯誤；故選：.【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，作差法判斷大小，意在考查學生對于不等式知識的綜合應用.12、B【解析】由題意得到，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到，化簡，即可求解.【詳解】由，是函數(shù)的兩個不同零點，可得，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得則.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】構(gòu)造，利用導數(shù)求其最大值，結(jié)合已知不等式恒成立，即可確定的范圍.【詳解】令，則且，若得：；若得：；所以在上遞增，在上遞減，故，要使在上恒成立，即.故答案為：.14、【解析】結(jié)合圖形可以發(fā)現(xiàn)，利用三角形中位線定理，將線段長度用坐標表示成圓的方程，與橢圓方程聯(lián)立可進一步求解.利用焦半徑及三角形中位線定理，則更為簡潔.【詳解】方法1：由題意可知，由中位線定理可得，設可得，聯(lián)立方程可解得（舍），點在橢圓上且在軸的上方，求得，所以方法2：焦半徑公式應用解析1：由題意可知，由中位線定理可得，即求得，所以.【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關系，利用數(shù)形結(jié)合思想，是解答解析幾何問題的重要途徑.15、【解析】設球半徑為，由球表面積求出，然后可得球的體積【詳解】設球半徑為，∵球的表面積為，∴，∴，∴該球的體積為故答案為【點睛】解答本題的關鍵是熟記球的表面積和體積公式，解題時由條件求得球的半徑后可得所求結(jié)果16、6【解析】首先根據(jù)題中所給的約束條件，畫出相應的可行域，再將目標函數(shù)化成斜截式，之后在圖中畫出直線，在上下移動的過程中，結(jié)合的幾何意義，可以發(fā)現(xiàn)直線過B點時取得最大值，聯(lián)立方程組，求得點B的坐標代入目標函數(shù)解析式，求得最大值.【詳解】根據(jù)題中所給的約束條件，畫出其對應的可行域，如圖所示：由，可得，畫出直線，將其上下移動，結(jié)合的幾何意義，可知當直線在y軸截距最大時，z取得最大值，由，解得，此時，故答案為6.點睛：該題考查的是有關線性規(guī)劃的問題，在求解的過程中，首先需要正確畫出約束條件對應的可行域，之后根據(jù)目標函數(shù)的形式，判斷z的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移，判斷哪個點是最優(yōu)解，從而聯(lián)立方程組，求得最優(yōu)解的坐標，代入求值，要明確目標函數(shù)的形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型；根據(jù)不同的形式，應用相應的方法求解.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】(1)連接BD交AC于點E，連接ME，由所給條件推理出CA⊥AD，進而得CA⊥平面PAD，證得結(jié)論(2)首先以A為原點，射線AC，AD，AP分別為x，y，z軸非負半軸建立空間直角坐標系，再利用向量法求解二面角即可【小問1詳解】(1)連接BD交AC于點E，連接ME，如圖所示：∵平面MAC，PB平面PBD，平面PBD平面MAC=ME，∴，，則BC=1，而AB=2，，，∴AC2+BC2=4=AB2，∠ACB=90o，∠CAD=90o，即CA⊥AD，又PA⊥平面ABCD，CA平面ABCD，∴PA⊥CA，又PAAD=A，∴CA⊥平面PAD，而CA平面MAC，∴平面MAC⊥平面PAD【小問2詳解】（2）如圖所示：以A為原點，射線AC，AD，AP分別為x，y，z軸非負半軸建立空間直角坐標系，則，∴，設平面PAB和平面MAC的一個法向量分別為，平面PAB和平面MAC所成銳二面角為，∴，，∴.18、（1）（2）120【解析】（1）建立平面直角坐標系設直線方程，根據(jù)點到直線的距離公式可得；（2）先求補水點的坐標，根據(jù)直線過該點，結(jié)合所求，根據(jù)基本不等式可得.【小問1詳解】根據(jù)題意，以小島中心為原點，建立平面直角坐標系，當時，則輪船返港的直線為，因為沒有觸礁危險，所以原點到的距離，解得.【小問2詳解】根據(jù)題意可得，，點C在直線上，故點C，設輪船返港的直線是，則，所以.當且僅當時取到最小值.19、（1）（2）【解析】（1）解不等式得到解集，根據(jù)題意列出不等式組，求出的取值范圍；（2）先解不等式，再根據(jù)充分不必要條件得到是的真子集，進而求出的取值范圍.【小問1詳解】因為，由可得：，因為“，”為真命題，所以，即，解得：.即的取值范圍是.【小問2詳解】因為，由可得：，，因為是的充分不必要條件，所以是的真子集，所以（等號不同時?。?，解得：，即的取值范圍是.20、（1）；（2）.【解析】（1）首先將圓的參數(shù)方程華為普通方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標方程即可.（2）首先聯(lián)立得到，再求的長度即可.【詳解】（1）將曲線C的參數(shù)方程，（為參數(shù)）化為普通方程，得，極坐標方程為.（2）聯(lián)立方程組，消去得，設點A，B對應的極徑分別為，，則，，所以.21、（1）；（2）答案見解析，直線過定點.【解析】（1）首先根據(jù)頂點為得到，再根據(jù)離心率為得到，從而得到橢圓C的方程.（2）設，，，與橢圓聯(lián)立得到，利用直線BM與直線BN的斜率之積為和根系關系得到，從而得到直線恒過的定點.【詳解】（1）一個頂點為，故，又，即，所以故橢圓的方程為（2）若直線l的斜率不存在，設，，此時，與題設矛盾，故直線l斜率必存在設，，，聯(lián)立得，∴，∵，即∴，化為，解得或（舍去），即直線過定點【點睛】方法點睛：定點問題，一般從三個方法把握：（1）從特殊情