黑龍江省高三上學期期末數(shù)學（文）試題及答案

試卷第=page22頁，總=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat6頁共NUMPAGES\*MergeFormat25頁黑龍江省高三上學期期末數(shù)學（文）)試題及答案一、單選題1．設(shè)集合，集合則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】化簡集合，按交集定義即可求解.【詳解】，解得或，或，.故選:B【點睛】本題考查分式不等式的解法，考查交集的運算，屬于基礎(chǔ)題.2．設(shè)為虛數(shù)單位，復數(shù)，，則復數(shù)在復平面上對應(yīng)的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】求出的值，即可求解.【詳解】，，，在復平面對應(yīng)的點在第二象限.故選:B【點睛】本題考查復數(shù)的乘法運算，以及復數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.3．設(shè)函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，將函數(shù)圖像畫出來，從圖中可以發(fā)現(xiàn)若有成立，一定會有，從而求得結(jié)果.詳解：將函數(shù)的圖像畫出來，觀察圖像可知會有，解得，所以滿足的x的取值范圍是，故選D.點睛：該題考查的是有關(guān)通過函數(shù)值的大小來推斷自變量的大小關(guān)系，從而求得相關(guān)的參數(shù)的值的問題，在求解的過程中，需要利用函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖像，從而得到要出現(xiàn)函數(shù)值的大小，絕對不是常函數(shù)，從而確定出自變量的所處的位置，結(jié)合函數(shù)值的大小，確定出自變量的大小，從而得到其等價的不等式組，從而求得結(jié)果.4．已知橢圓,則與橢圓相交且以點為弦中點的直線所在方程為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】用點差法，求出相交弦的斜率，即可求解.【詳解】設(shè)以點為弦中點的直線與橢圓交于，依題意所求直線的斜率存在，代入橢圓方程得，，兩式相減得，，即所求直線的斜率為，所求的直線方程為.故選:D【點睛】本題考查直線與橢圓的相交關(guān)系，涉及相交弦的中點用點差法求直線的斜率，屬于中檔題.5．“干支紀年法”是中國歷法上自古以來就一直使用的紀年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字開始，“地支”以“子”字開始，兩者按照干支順序相配，構(gòu)成了“干支紀年法”，其相配順序為：甲子、乙丑、丙寅癸酉、甲戌、乙亥、丙子癸未、甲申、乙酉、丙戌癸巳癸亥，60為一個周期，周而復始，循環(huán)記錄.按照“干支紀年法”，中華人民共和國成立的那年為己丑年，則2013年為（）A．甲巳年 B．壬辰年 C．癸巳年 D．辛卯年【答案】C【解析】到2013年中華人民共和國成立65年，根據(jù)60年為一周期，即可得出結(jié)論.【詳解】到2013年中華人民共和國成立65年，1949年為己丑年，根據(jù)60年為一周期，2013年為癸巳年.故選:C【點睛】本題考查周期數(shù)在生活中應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6．設(shè)是兩條不同的直線，是三個不同的平面（）①則；②，則；③，則；④若,則.上述四個命題中,正確的個數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】逐個命題判斷真假：①假，②真，③假，④假，即可得出結(jié)論.【詳解】①可能是異面直線，可能平行，故是假命題；②，故為真命題；③滿足條件的直線，可能在平面內(nèi)，故為假命題；④當，只需，即可滿足條件，此時，故為假命題.故選:A【點睛】本題考查空間垂直、平行的命題的真假判定，要注意相關(guān)定理成立的條件，屬于基礎(chǔ)題，7．在中,,,,點滿足,則（）A．0 B．3 C．6 D．9【答案】C【解析】將用向量表示，根據(jù)向量的數(shù)量積定義即可求解.【詳解】，，故選:C【點睛】本題考查向量的基本定理，向量的數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題.8．由直線上的點向圓引切線,則切線長的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】切點與圓心的連線垂直切線，利用勾股定理，切線段長轉(zhuǎn)化為直線上點與圓心連線和半徑關(guān)系，求圓心與直線上點距離的最小值，即可求解.【詳解】設(shè)是直線的一點，圓心為過引圓的切線的切點為，則，，的最小值為圓心到直線的距離，根據(jù)點到直線的距離公式可得的最小值為，的最小值為.故選:A【點睛】本題考查直線與圓的關(guān)系，考查切線性質(zhì)，屬于中檔題.9．數(shù)列的前項和為，且，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)通項公式，相鄰兩項和為定值，即可求解.【詳解】.故選:B【點睛】本題考查用并項相加求數(shù)列的前項和，數(shù)列求和要注意通項公式的特征，屬于中檔題.10．如圖，某摩天輪上一點在時刻距離地面高度滿足，，已知摩天輪的半徑為米，點距地面的高度為米，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動，每分鐘轉(zhuǎn)一圈，點的起始位置在摩天輪的最低點處．則（米）關(guān)于（分鐘）的解析式為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意，A＝50，b＝60，T＝3；從而可得y＝50sin（t+φ）+60；再代入初相即可.【詳解】解：由題意，A＝50，b＝60，T＝3；故ω，故y＝50sin（t+φ）+60；則由50sinφ+60＝10及φ∈[﹣π，π]得，φ；故y50sin（t）+60；故選：C【點睛】本題考查了三角函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11．已知直線與拋物線相交于兩點，為拋物線的焦點且滿足，則的值是（）A． B． C． D．-2【答案】A【解析】求得拋物線的焦點和準線方程，聯(lián)立直線y＝k（x﹣1）和拋物線y2＝﹣4x，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），運用韋達定理和拋物線的定義，解方程即可得到所求值．【詳解】解：拋物線C：y2＝﹣4x的焦點F（﹣1，0），準線方程為x＝1，直線y＝k（x﹣1）和拋物線y2＝﹣4x聯(lián)立，可得k2x2﹣（2k2﹣4）x+k2＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝2，x1x2＝1，①由拋物線的定義可得|AF|＝1﹣x1，|BF|＝1﹣x2，由|AF|＝2|BF|，可得1﹣x1＝2（1﹣x2），即x1＝2x2﹣1，代入①可得x2或1（舍去），x1＝﹣2，∴x1+x2＝＝2，又，∴k．故選：A．【點睛】本題考查拋物線的標準方程、簡單幾何性質(zhì)和直線與拋物線的位置關(guān)系等知識，注意運用方程聯(lián)立和韋達定理，屬于中檔題．12．已知函數(shù)的定義域為，，對任意的滿足.當時，不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】構(gòu)造函數(shù)g（x）＝f（x）+1﹣x2，根據(jù)條件可得出g′（x）＜0，從而得出g（x）在R上是增函數(shù)，并且可求出g（0），根據(jù)二倍角公式可根據(jù)原不等式得出g（sinα+cosα）＞0，從而得出sinα+cosα，根據(jù)α∈[0，π]即可求出α的范圍，即得出原不等式的解集．【詳解】解：設(shè)g（x）＝f（x）+1﹣x2，g′（x）＝f′（x）﹣2x，∵f′（x）>2x，∴g′（x）>0，∴g（x）在R上單調(diào)遞增，且，∴g（0），由，可得∴∴，即，又，∴，故選：B【點睛】本題考查了構(gòu)造函數(shù)解決函數(shù)問題的方法，根據(jù)導數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，，以及二倍角的正弦公式，考查了計算能力，屬于中檔題．二、填空題13．拋物線的焦點坐標為_______．【答案】【解析】根據(jù)題意，由拋物線的方程分析拋物線的開口方向以及p的值，進而可得其焦點坐標．【詳解】解：根據(jù)題意，拋物線的開口向右，其中p＝4，則其焦點坐標為；故答案為：．【點睛】本題考查拋物線的標準方程，注意拋物線標準方程的形式．14．若雙曲線的漸近線方程為，且焦點在軸上，則雙曲線的離心率為______________．【答案】.【解析】根據(jù)漸近線與離心率的關(guān)系，即可求解.【詳解】雙曲線的焦點在軸上，漸近線方程為，雙曲線的離心率為.故答案為:.【點睛】本題考查圓錐曲線的簡單幾何性質(zhì)，要注意焦點的位置，屬于基礎(chǔ)題.15．已知某幾何體的三視圖如下,則該幾何體的表面積為____________．【答案】【解析】幾何體為三棱錐，作出幾何體的直觀圖，計算出各個面的面積．【詳解】解：幾何體為三棱錐，作出直觀圖如圖所示，由三視圖可知平面PBC⊥平面ABC，BC=2，底面ABC中，BC邊上的高為2，側(cè)面PBC中，BC邊上的高為2，∴該幾何體的表面積為，故答案為：【點睛】本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，三視圖和表面積計算，屬于中檔題．16．一個工業(yè)凹槽的軸截面是雙曲線的一部分，它的方程是,在凹槽內(nèi)放入一個清潔鋼球(規(guī)則的球體)，要求清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部，則清潔鋼球的最大半徑為________．【答案】1【解析】設(shè)小球圓心（0，y0）雙曲線上點（x，y），求得點到球心距離r平方的表達式，進而根據(jù)若r2最小值在（0，1）時取到，則小球觸及杯底，需進而求得r的范圍．【詳解】解：設(shè)小球球心（0，y0）雙曲線上點（x，y）點到球心距離平方為：r2＝y(tǒng)2+（y﹣y0）2﹣1＝2y2﹣2y0y+y02﹣1若r2最小值在（0，1）時取到，則小球觸及杯底故此二次函數(shù)的對稱軸位置應(yīng)在y軸的左側(cè)，所以，即y0≤2，所以r＝y(tǒng)0﹣1≤1，從而清潔球的半徑r的范圍為0＜r≤1則清潔球的最大半徑為1故答案為：1．【點睛】本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、雙曲線的應(yīng)用、圓與圓錐曲線的綜合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查解決實際問題的能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．三、解答題17．中，角的對邊分別為，且.（I）求的值；（II）求的值.【答案】（1）；（2）5【解析】試題分析：（1）依題意，利用正弦定理及二倍角的正弦即可求得cosA的值；（2）易求sinA=，sinB=，從而利用兩角和的正弦可求得sin（A+B）=，在△ABC中，此即sinC的值，利用正弦定理可求得c的值．試題解析：(1）由正弦定理可得，即：，∴，∴.（2由（1），且，∴，∴，∴==.由正弦定理可得：，∴．18．如圖，直三棱柱中，，，分別為、的中點．（1）證明：平面；（2）若，直線與直線CD所成角為，求點B到平面的距離．【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）取BC的中點為G，證明DE，再證明平面，即可證明平面；（2）直線與直線CD所成角為∠DAC，可知，利用等積法，可得點B到平面的距離．【詳解】（1）證明：取BC的中點為G，連接EG、AG，由題易知：EGDA，且EGDA，∴四邊形ADEG為平行四邊形，∴DE，∵平面ABC，平面ABC，∴，∵，且BC的中點為G，∴，又，∴平面，又DE，∴平面；（2）∵，∴直線與直線CD所成角為∠DAC，且∠DAC=，又，∴，設(shè)點B到平面的距離，由，可得，解得，故點B到平面的距離【點睛】本題考查線面垂直的證明，考查點到平面的距離，考查邏輯推理能力與空間想象能力，考查等積法，屬于中檔題.19．已知在正項數(shù)列中，首項，點在雙曲線上，數(shù)列中，點在直線上，其中是數(shù)列的前項和．（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）若，求證：數(shù)列為遞減數(shù)列．【答案】（1）；（2）見解析【解析】（1）由題意可得﹣＝1，即數(shù)列{}是等差數(shù)列，同樣Tnbn+1，利用兩式作差即可得到的通項公式；（2）根據(jù)（1）求得{an}的通項公式和數(shù)列{bn}的通項公式，進而可得{cn}的通項公式，進而可得cn+1﹣cn的表達式，根據(jù)表達式小于零，原式得證．【詳解】解：（1）由已知點An（，）在曲線y2﹣x2＝1上知﹣＝1．所以數(shù)列{}是一個以2為首項，公差為1的等差數(shù)列，所以＝+（n﹣1）d＝2+n﹣1＝n+1，點（bn，Tn）在直線yx+1上，所以Tnbn+1①Tn﹣1bn﹣1+1②兩式相減得bnbnbn﹣1∴bnbn﹣1令n＝1得b1b1+1所以b1．所以數(shù)列{bn}是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以bn（）n﹣1；（2）證明：cn＝an?bn＝（n+1）?，所以cn+1﹣cn＝（n+2）?（n+1）?[（n+2）﹣3（n+1）]（n+2﹣3n﹣3）（﹣2n﹣1）＜0故cn+1＜cn．∴數(shù)列為遞減數(shù)列．【點睛】本題考查利用遞推關(guān)系求通項公式，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查等差等比數(shù)列定義，考查推理能力與運算能力，屬于中檔題.20．已知橢圓的離心率為，點在上.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)分別是橢圓的上、下焦點，過的直線與橢圓交于不同的兩點，求的內(nèi)切圓的半徑的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)題意得e，①因為點橢圓C上，所以，②又b2＝a2﹣c2，③把①②③組成方程組，解得a，b，c，進而可以寫出橢圓方程；（2）因為，所以，所以4a×r＝c×|﹣|，所以r|﹣|，設(shè)直線l方程為ykx，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線l與橢圓的方程得（k2+4）x2﹣2kx﹣1＝0，由韋達定理得出|﹣|的最大值，即可求出答案．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得e，①因為點在橢圓C上，所以，②又b2＝a2﹣c2，③把①②③組成方程組，解得a2＝4，b2＝1，c2＝3所以橢圓方程為．（2）設(shè)直線l方程為ykx，A（x1，y1），B（x2，y2），因為，所以，所以4a×r＝c×|﹣|，所以r|﹣|，聯(lián)立直線l與橢圓的方程得（k2+4）x2﹣2kx﹣1＝0，所以，，所以|﹣|，＝444，由基本不等式得（k2+1）26（當且僅當，即k2＝2，取“＝”），所以|﹣|，rmax．【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，分析問題解決問題的能力，屬于中檔題21．已知函數(shù)．（1）若對恒成立，求的取值集合；（2）在函數(shù)的圖像上取定點,記直線AB的斜率為K，證明：存在，使恒成立；【答案】（1）；（2）見解析【解析】（1）對一切x＞0，f（x）≤恒成立，即對一切x＞0，恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，求出函數(shù)的最值，即可求得結(jié)論；（2）要證明存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＝k成立，只要證明f′（x）﹣k＝0在（x1，x2）內(nèi)有解即可．【詳解】（1）解：對一切x＞0，f（x）≤恒成立，即對一切x＞0，恒成立，令，則令g′（x）>0，可得0＜x＜；令g′（x）<0，可得x＞，∴x＝時，g（x）取得最大值g（）∴；令，，在上單調(diào)遞減，在在上單調(diào)遞增，∴，又，∴∴的取值集合；（2）證明：由題意，k要證明存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＝k成立，只要證明f′（x）﹣k＝0在（x1，x2）內(nèi)有解即可令h（x）＝f′（x）﹣k，只要證明h（x）在（x1，x2）內(nèi)存在零點即可∵h（x）在（x1，x2）內(nèi)是減函數(shù)，只要證明h（x1）＞0，h（x2）＜0即證0，0令F（t）＝t﹣1﹣lnt（t＞0），∵F′（t）＝1，∴函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增∴函數(shù)在t＝1時，取得最小值0，∴F（t）≥0∵0且；0且1∴0，0∴結(jié)論成立．【點睛】本題考查導數(shù)知識的運用，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．22．在平面直角坐標系中，將曲線（為參數(shù)）上任意一點經(jīng)過伸縮變換后得到曲線的圖形．以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，