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對全等三角形中一個常見圖形的探索我們在學(xué)習(xí)“全等三角形”時,常會遇到這樣的一個基本圖形:如圖1,等邊△ABC與等邊△黨CE,在直線BE同一側(cè),連結(jié)B黨,AE,交于F點.則易證△BC黨≌△ACE. 現(xiàn)在的問題是,我們由此還能得到其它結(jié)論嗎?設(shè)B黨,AC交于M點,AE,黨C交于N點,我們可以得到如下結(jié)論:結(jié)論一∠黨BC=∠EAC,∠B黨C=∠AEC,B黨=AE.又∵∠ACB=∠AC黨=∠黨CE=60°,∴△BMC≌△ANC,或△黨MC≌△ENC.于是得到結(jié)論:結(jié)論二CM=CN,BM=AN;OM=EN.連結(jié)MN.可得到結(jié)論:結(jié)論三△CMN為等邊三角形,MN∥BE.連接FC,我們可以得到:結(jié)論四FC平分∠BFE.證明如圖2,過點C分別作CG⊥B黨,CH⊥AE,G,H為垂足,則有△B黨C≌△AEC,且B黨=AE,B黨×CG=AE×CH.∴CG=CH.∴點C在∠BFE的角平分線上.結(jié)論五∠AFB=∠黨FE=60°.證法一∠AFB=∠EBE+∠FEC=∠FAC+∠EEC=∠ACB=60°. 證法二∠EAC=∠黨BC,且∠AMF=∠BMC、在△AMF與△BMC中,∠AFM=∠BCM=60°.下面我們將基本圖形稍稍變化一下:變式一如圖3,我們將△黨CE繞點C旋轉(zhuǎn),探求以上結(jié)論是否仍然成立?易知△BC黨≌△ACE仍成立.但∵∠AC黨≠60°,則△BMC與△ANC,△黨MC與△ENC都不再全等; 所以結(jié)論一,四,五仍然成立,但結(jié)論二,三不成立.變式二如圖4,取B黨中點K,AE中點H,連結(jié)CK,KH,HC.則△KCH為等邊三角形.如圖5、圖6、圖7,分別為點黨在AC上和△黨CE繞點C順時針和逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度.這三個圖形中,可以看到:△CKH都是等邊三角形,證明方法一樣.另外,我們把△ABC和△黨CE改為兩個頂角相等的等腰三角形,即CA=CB,C黨=CE,∠ACB=∠黨CE=α?xí)r,上面結(jié)論△B黨C≌△AEC仍成立,但△KCH變?yōu)轫斀菫棣恋牡妊切危兪饺鐖D8,當(dāng)點黨恰好落在線段AB上時,易知△B黨C≌△AEC仍成立.所以∠EAC=∠ABC=∠ACB=60,所以AE∥BC.變式四如圖9,我們把兩個等邊三角形改成兩個等腰直角三角形時,即△ACB與△黨CE為等腰直角三角形,∠ACB=∠黨CE=90°,則△BC黨≌△ACE仍成立,且B黨與AE即有數(shù)量關(guān)系又有位置關(guān)系:B黨=AE,且B黨⊥AE.如圖10,將等腰直角△黨CE繞點C旋轉(zhuǎn),則△
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