2023學(xué)年完整公開(kāi)課版勾股定理4

勾股定理第3章全等三角形直角三角形有哪些性質(zhì)？

⑴、直角三角形的兩個(gè)銳角互為余角。回顧舊知識(shí)⑵、在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。⑶、在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。⑷、在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于30°。動(dòng)動(dòng)腦子動(dòng)動(dòng)手

作一個(gè)直角三角形，使它的兩條直角邊分別為3cm、4cm，那么，此直角三角形的斜邊是多少？

為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們一起來(lái)做一個(gè)拼圖游戲（大家取出準(zhǔn)備好的素材），看那些同學(xué)動(dòng)手能力強(qiáng)，在最短時(shí)間內(nèi)拼成既無(wú)縫隙、又不重疊的正方形。

探究規(guī)律

我們繼續(xù)觀察黑板上所拼的兩類(lèi)正方形，為了研究方便，設(shè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，則三種正方形紙片的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，顯然，這兩類(lèi)正方形的面積相等(如圖一)，現(xiàn)在，我將兩個(gè)正方形中各自的四個(gè)直角三角形紙片取走，余下的圖形（如圖二）面積又何關(guān)系呢？ccbaaaaaaaaaaaaaabbbbbbbbbbbbbcccccccc圖一圖二

仍然相等，即大正方形面積等于兩個(gè)小正方形面積之和，這只是一種表象，你們誰(shuí)又能看出它的本質(zhì)呢？

大正方形的面積就是直角三角形斜邊長(zhǎng)的平方，而兩個(gè)小正方形面積分別是直角三角形兩直角邊長(zhǎng)的平方，從而可得：上述事實(shí)，就是我們今天所要學(xué)習(xí)的“千古”第一定理：勾股定理直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方和。勾股定理

直角三角形兩直角邊a、b的平方和，等于斜邊c的平方。即：a2+b2=c2

顯然它所描述的是直角三角形三邊之間的關(guān)系。則我們就可已知直角三角形中的任意兩邊而求第三邊。公式變形

中國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長(zhǎng)的直角邊叫做股，斜邊叫做弦，據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，西周開(kāi)國(guó)時(shí)期（公元前一千多年，距今3000多年）有個(gè)叫商高的人對(duì)周公說(shuō)，把一根直尺折成直角，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后來(lái)許多數(shù)學(xué)家先后用不同方法證明了這一性質(zhì)，我國(guó)把它稱(chēng)為勾股定理。閱讀材料一：

勾股定理在世界上流行甚廣，古希臘的畢達(dá)哥拉斯早在2500年前就發(fā)現(xiàn)并證明了該定理，因而西方把勾股定理稱(chēng)為“畢達(dá)哥拉斯”定理。顯然，他發(fā)現(xiàn)這一定理比中國(guó)晚了五六百年，而中國(guó)最早在公元3世紀(jì)（漢代）時(shí)才被趙爽用我們剛才所發(fā)現(xiàn)的方法詳細(xì)的證明出來(lái)。確實(shí)非常遺憾，如果當(dāng)時(shí)商高發(fā)現(xiàn)勾三股四弦五這個(gè)特例后及時(shí)推廣到一般并證明，那么全世界現(xiàn)在都將稱(chēng)其為勾股定理，這也啟發(fā)我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中要善于發(fā)現(xiàn)并及時(shí)總結(jié)，歸納規(guī)律。閱讀材料二：再證定理

勾股定理的證明方法有幾百種，像剛才的演示過(guò)程是一種面積證明法，即通過(guò)圖形割補(bǔ)拼接、面積不變來(lái)證明。請(qǐng)大家繼續(xù)動(dòng)動(dòng)腦筋，還有其它的方法嗎？用四個(gè)全等的直角三角形，想法拼成允許有空隙的正方形來(lái)證明該定理。其中有影響的兩種如右圖所示：圖三圖四2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)總統(tǒng)證法：即：學(xué)以致用例1：在Rt△ABC中，斜邊AB=2，則AB2+BC2+AC2=例2：如圖，在△ABC中，AB=AC=13，BC=101）、能求出BC邊上的高AD嗎

2）、△ABC的面積是多少？ABCD8解：AB2=BC2+AC2

AB2+BC2+AC2=2AB2=2×22=8解：1）、在Rt△ABD中，BD=BC=5，AB=13

2）、S△ABC=BC×AD=×10×12=60例3：1）、在△ABC中，已知a=3，b=4，則c等于多少？①：當(dāng)為斜邊時(shí)，2)、在題中并未說(shuō)明為斜邊，從而應(yīng)分類(lèi)討論：②：當(dāng)為斜邊時(shí)，3)、解：1)、在題中并未說(shuō)明它是否為直角三角形，從而用勾股定理沒(méi)有依據(jù)。則不可求2）、在Rt△ABC中，若a=3，b=4，則c等于多少？3）、在Rt△ABC中，若a=3，b=4，∠c=90°，則c

等于多少？

例4：某市計(jì)劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮，以美化環(huán)境，已知△ABC中∠B=30°，∠C=45°，AB=20m，若這種草皮每平方米10元，請(qǐng)你算一算購(gòu)買(mǎi)這種草皮共要多少錢(qián)？（=1.732，精確到整數(shù)）ABC解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于DD在Rt△ABD中，∠B=30。，AB=20∴AD=AB=×20=10

∴在Rt△ADC中，∠C=45。，則CD=AD=10∴

BC=BD+CD=+10則購(gòu)買(mǎi)這種草皮需要的錢(qián)為：45°30°顆粒歸倉(cāng)本節(jié)課，我們有哪些收獲？1、知道了什么是勾股定理。2、用拼圖法研究勾股定理，同時(shí)也是證明方法：面積法。3、知道了許多有關(guān)勾股定理的歷史知識(shí)。