上海市寶山中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

上海市寶山中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、填空題（1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1.不等式的解集是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義直接求解即可.【詳解】,,解得，所以不等式的解集為.故答案為：2.已知，若，則___________.【答案】2【解析】【分析】若與垂直，則【詳解】因?yàn)椋?，解得：故答案為?3.已知復(fù)數(shù)，若，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念求解即可.【詳解】解：因?yàn)樗裕獾盟怨蚀鸢笧椋?.在正四棱錐P-ABCD中，底面ABCD的邊長(zhǎng)為4，側(cè)棱BP與底面所成角的大小為60°，則該四棱錐的高等于___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，將求高轉(zhuǎn)化到一個(gè)直角三角形內(nèi)求.【詳解】設(shè)點(diǎn)在P在底面ABCD的投影為O.根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，O為AC和BD的交點(diǎn)，為直角三角形，由題意可知，，.所以正四棱錐P-ABCD的高，.故答案為：.5.一個(gè)圓柱的軸截面是一個(gè)面積為16的正方形，則該圓柱的體積是___________.【答案】【解析】【分析】分析可得圓柱上下底面圓的直徑，圓柱的高，由圓柱的體積公式，即得解【詳解】由題意，圓柱的軸截面是一個(gè)面積為16的正方形故圓柱上下底面圓直徑，圓柱的高由圓柱的體積公式，故圓柱的體積故答案為：6.一個(gè)與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為π，則球的表面積為_(kāi)_____.【答案】8π【解析】【分析】先求出截面圓半徑，再求球半徑，最后根據(jù)球表面積公式得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榕c球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為π，所以該截面圓的半徑為1，因此球的半徑為，故該球的表面積S=4πR2=8π故答案為：8π【點(diǎn)睛】本題考查球表面積公式以及球截面，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.7.已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上.若球的體積為,則正方體的棱長(zhǎng)為.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合球的體積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)檎襟w體的對(duì)角線就是正方體的外接球的直徑，所以由外接球的體積公式得：，即，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方體外接球的性質(zhì)，考查了球的體積公式的應(yīng)用，考查了空間想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.8.如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，P是三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，平面ABC，且，則P到BC的距離為_(kāi)__________.

【答案】2【解析】【分析】取中點(diǎn)，連接，，由平面ABC，即可證明平面，則有，即可求解結(jié)果．【詳解】取中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉檎切?，所以又因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，則，又，則平面，則，又正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，則則所以P到BC的距離為2故答案為：29.已知棱錐的高為16，底面積為256，平行于底面的截面面積為121，則截得的棱臺(tái)的高為_(kāi)__________.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)對(duì)應(yīng)邊比與面積比關(guān)系即可求解．【詳解】設(shè)棱臺(tái)的高為x，則有，解之，得x＝5．故答案為：510.有一塊直角三角板邊貼于桌面上，當(dāng)三角板和桌面成45°角時(shí)，邊與桌面所成的角的正弦值是________________.【答案】【解析】【詳解】過(guò)A作AO垂直桌面于O，連接OC,OB，三角板所在平面與桌面成45°角，即，

設(shè)AO=1，則，∴，∵AB邊與桌面所成角等于∠A0B，

∴sin∠AOB=故答案為：.11.如圖，圓錐的母線長(zhǎng)為4，點(diǎn)為母線的中點(diǎn)，從點(diǎn)處拉一條繩子，繞圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)一周達(dá)到點(diǎn)，這條繩子的長(zhǎng)度最短值為，則此圓錐的表面積為_(kāi)_________【答案】【解析】【分析】作出圓錐側(cè)面展開(kāi)圖，根據(jù)給定條件求出展開(kāi)圖扇形圓心角，再求出圓錐底面圓半徑即可作答.【詳解】將圓錐側(cè)面沿母線AB剪開(kāi)，其側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，如圖，從點(diǎn)處拉一條繩子，繞圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)一周達(dá)到點(diǎn)，最短距離即為線段BM長(zhǎng)，則有，而M是線段中點(diǎn)，又母線長(zhǎng)為4，于是得，即，設(shè)圓錐底面圓半徑為r，從而有：，解得，所以圓錐的表面積為.故答案為：12.《九章算術(shù)》中，稱一個(gè)正方體內(nèi)兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”，現(xiàn)提供一中計(jì)算“牟合方蓋”體積的方法，顯然，正方體的內(nèi)切球也是“牟合方蓋”的內(nèi)切球.因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方蓋”，截面均為正方形，平面截內(nèi)切球得到上述正方形的內(nèi)切圓，結(jié)合祖暅原理，利兩個(gè)同高的立方體如在等高處的截面面積相等，則體積相等.若正方體棱長(zhǎng)為3，則“牟合方蓋”體積為_(kāi)_______.【答案】18【解析】【分析】先求得正方體的內(nèi)切球的體積，再由已知得出牟合方蓋的體積，可求得答案.【詳解】正方體的棱長(zhǎng)，則其內(nèi)切球的半徑，內(nèi)切球的體積．由于截面正方形與其內(nèi)切圓的面積之比為，設(shè)牟合方蓋的體積為，則，從而牟合方蓋的體積．故答案為：.二、選擇題（每題5分，共20分）13.若空間中有四個(gè)點(diǎn)，則“這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”是“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面上”的A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.非充分非必要條件【答案】A【解析】【分析】由題意，根據(jù)直線和直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面和充要條件的判定方法，即可求解．【詳解】由題意，根據(jù)直線和直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，所以“這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”，則“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面上”，反之不一定成立，所以“這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”是“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面上”的充分非必要條件，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面的基本性質(zhì)和充分不必要條件的判定，其中解答中熟記平面的基本性質(zhì)和充分不必要條件的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力．14.已知直線和平面，且，那么（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，還可以為；對(duì)于B選項(xiàng)，還可以為；對(duì)于C選項(xiàng)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷；對(duì)于D選項(xiàng)，應(yīng)該為.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，或，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，或，故錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，故正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，故錯(cuò)誤.故選：C15.如圖，在四面體ABCD中，AB=CD，M、N分別是BC、AD的中點(diǎn)，若AB與CD所成角的大小為60°，則MN與CD所成角的大小為（）A.30° B.60°C.30°或60° D.15°或60°【答案】C【解析】【分析】取中點(diǎn)做輔助線，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)三角形內(nèi)的情況再求解.【詳解】取中點(diǎn)，連接、，∵在四面體中，，M、N分別是BC、AD的中點(diǎn)，AB與CD所成角的大小為60°∴，，∴是和所成的角或所成角的補(bǔ)角，或，∴或∴MN與CD所成角為或．故選：C．16.如圖，水平桌面上放置一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體水槽，水面高度恰為正方體棱長(zhǎng)的一半，在該正方體側(cè)面上有一個(gè)小孔，點(diǎn)到的距離為3，若該正方體水槽繞傾斜（始終在桌面上），則當(dāng)水恰好流出時(shí)，側(cè)面與桌面所成角的正切值為（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】分析】根據(jù)題意，當(dāng)水恰好流出時(shí)，即由水的等體積可求出正方體傾斜后，水面N到底面B的距離，再由邊長(zhǎng)關(guān)系可得四邊形是平行四邊形，從而側(cè)面與桌面所轉(zhuǎn)化成側(cè)面與平面所成的角,進(jìn)而在直角三角形中求出其正切值.【詳解】由題意知，水的體積為，如圖所示，

設(shè)正方體水槽繞傾斜后，水面分別與棱交于由題意知，水的體積為，即，在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作交于，則四邊形是平行四邊形，且又側(cè)面與桌面所成的角即側(cè)面與水面所成的角，即側(cè)面與平面所成的角,其平面角為,在直角三角形中，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了利用定義法求二面角，在棱上任取一點(diǎn)，過(guò)這點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條垂線所成的角即為二面角的平面角.三、解答題（14分+14分+14分+16分+18分，共76分）17.已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，正方形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓柱.（1）求該圓柱的表面積；（2）正方形ABCD繞AB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，求線段與平面ABCD所成的角.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)圓柱的表面積公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)線面角的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）該圓柱的表面由上下兩個(gè)半徑為1的圓面和一個(gè)長(zhǎng)為、寬為1的矩形組成，.故該圓柱的表面積為.（2）正方形，，又，，，且AD、平面ADB，平面ADB，即在面ADB上的投影為A，連接，則即為線段與平面ABCD所成的角，而，線段與平面ABCD所成角為.18.如圖所示，已知三棱錐中，平面，，，為上一點(diǎn)且滿足，分別為中點(diǎn).（1）證明：；（2）求與平面所成角的大小.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得兩兩垂直，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解證明即可；（2）結(jié)合（1），利用坐標(biāo)法求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)槠矫?，所以又因?yàn)?，所以兩兩垂直，故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，，，，，，所以，所以，即所?【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知所以，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，設(shè)與平面所成角為，則，因?yàn)椋?9.1.長(zhǎng)方體中，，，過(guò)，，三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后，得到如下圖所示的幾何體.（1）求幾何體的體積；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）10（2）【解析】【分析】（1）幾何體的體積等于長(zhǎng)方體的體積減去三棱錐的體積；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解點(diǎn)到平面的距離.【小問(wèn)1詳解】如圖所示，幾何體的體積等于長(zhǎng)方體的體積減去三棱錐的體積，長(zhǎng)方體的體積為，三棱錐的體積為，所以幾何體的體積為12-2=10【小問(wèn)2詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，設(shè)平面的法向量則，即令得：，∴則20.如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，垂直于圓所在的平面，且．（Ⅰ）若為線段的中點(diǎn)，求證平面；（Ⅱ）求三棱錐體積的最大值；（Ⅲ）若，點(diǎn)在線段上，求的最小值．【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【解析】【詳解】（Ⅰ）在中，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以．又垂直于圓所在的平面，所以．因?yàn)椋云矫妫á颍┮驗(yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以當(dāng)時(shí)，到的距離最大，且最大值為．又，所以面積的最大值為．又因?yàn)槿忮F的高，故三棱錐體積的最大值為．（Ⅲ）在中，，，所以．同理，所以．在三棱錐中，將側(cè)面繞旋轉(zhuǎn)至平面，使之與平面共面，如圖所示．當(dāng)，，共線時(shí)，取得最小值．又因?yàn)椋?，所以垂直平分，即為中點(diǎn)．從而，亦即的最小值為．考點(diǎn)：1、直線和平面垂直的判定；2、三棱錐體積．21.1.已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）若，求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值；（3）當(dāng)，求證：函數(shù)在上至多一個(gè)零點(diǎn).【答案】（1）（2）（3）證明過(guò)程見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)函