湖南省衡陽縣第四中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬測(cè)評(píng)卷（B卷）

衡陽縣四中2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中模擬達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng)卷數(shù)學(xué)（B卷）【滿分：150分】一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在四棱錐中，底面ABCD是正方形，E為PD的中點(diǎn)，若，，，則用基底表示向量為()

A. B.

C. D.2.已知直線平分圓的面積，過圓外一點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)為Q，則的最小值為().A.4 B.5 C.6 D.73.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，若雙曲線上存在一點(diǎn)P，使，且，則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.4.如圖，點(diǎn)為矩形所在平面外一點(diǎn)，平面為線段的中點(diǎn)，，則點(diǎn)到平面的距離為()A. B. C. D.5.已知圓與圓，若圓與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a等于()A.14 B.34 C.14或45 D.34或146.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，離心率為，M，P是橢圓E上的點(diǎn)，的中點(diǎn)為N，，過P作圓的一條切線，切點(diǎn)為B，則的最大值為()A. B. C. D.57.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，以F為圓心，（O為原點(diǎn)）為半徑的圓與C的右支在第一象限交于點(diǎn)，則C的漸近線方程為()A. B.C. D.8.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過F的直線l與拋物線交于點(diǎn)A，B，與圓交于點(diǎn)P，Q，其中點(diǎn)A，P在第一象限，則的最小值為()A. B. C. D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.已知圓，直線，點(diǎn)分別在圓上.則下列結(jié)論正確的有()A.圓沒有公共點(diǎn)B.的取值范圍是C.過N作圓的切線，則切線長(zhǎng)的最大值是D.直線l與圓都有公共點(diǎn)時(shí)，10.已知點(diǎn)P為雙曲線所在平面內(nèi)一點(diǎn)，分別為C的左、右焦點(diǎn)，，線段分別交雙曲線于兩點(diǎn)，，.設(shè)雙曲線的離心率為e，則下列說法正確的有()A.若平行漸近線，則B.若，則C.若，則D.11.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.平面B.平面平面C.點(diǎn)F到平面的距離為定值D.直線AE與平面所成角的正弦值為定值12.已知橢圓與直線交于兩點(diǎn)，記直線l與x軸的交點(diǎn))E，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若，則()A.B.橢圓C過4個(gè)定點(diǎn)C.存在實(shí)數(shù)a，使得D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，.若，則______；若，則________.14.已知圓，若存在圓C的弦AB，使得，且其中點(diǎn)M在直線上，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是___________.15.已知點(diǎn)和拋物線，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若，則______________.16.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于點(diǎn)且.若，則雙曲線的離心率是___________.四、解答題：本題共6題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知過點(diǎn)的圓M的圓心為，且圓M與直線相切.

(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過點(diǎn)且斜率為k的直線l交圓M于A，B兩點(diǎn)，若的面積為，求直線l的方程.18.（12分）如圖，在四棱臺(tái)中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，.（1）當(dāng)時(shí)，證明：平面平面ABCD；（2）若二面角的大小為30°，求的值.19.（12分）已知橢圓的離心率為，其右頂點(diǎn)為A，下頂點(diǎn)為B，定點(diǎn)，的面積為3，過點(diǎn)C作與y軸不重合的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，直線BP，BQ分別與x軸交于M，N兩點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程.（2）試探究點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)的乘積是否為定值，若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.20.（12分）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)F到C的漸近線的距離為1.(1)求C的方程.(2)若直線與C的右支相切，切點(diǎn)為與直線交于點(diǎn)Q，問x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得?若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.21.（12分）在四棱錐中，底面ABCD，，，，.（1）證明：；（2）求PD與平面PAB所成的角的正弦值.22.（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，橫坐標(biāo)為的點(diǎn)P在拋物線C上，滿足.(1)求拋物線C的方程.(2)過拋物線C上的點(diǎn)A作拋物線C的切線與O不重合，過O作l的垂線，垂足為B，直線與拋物線C交于點(diǎn)D.當(dāng)原點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo).

答案以及解析1.答案：C解析：連接BD，E為PD的中點(diǎn)，.故選C.2.答案：A解析：將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得，所以圓心，半徑，因?yàn)橹本€平分圓的面積，所以圓心在直線上，故，即.在中，，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為16，故的最小值為4.故選A.3.答案：C解析：因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上，且，所以，所以，，因?yàn)?，所以，即，整理得，所以離心率.故選C.4.答案：B解析：如圖，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即令，則.點(diǎn)到平面的距離.5.答案：D解析：設(shè)圓、圓的半徑分別為、.圓的方程可化為，圓的方程可化為.由兩圓相切得，或，，或或或（舍去）.因此，或或，故選D.6.答案：B解析：連接，的中點(diǎn)為N，，，，，橢圓.設(shè)，則，，.連接QB，PQ，由題知，，，，，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，且，故選B.7.答案：A解析：因?yàn)?，所以，連接PO，PF，設(shè)C的左焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)椋?，因?yàn)椋允侵苯侨切?，因?yàn)?，所以在中由余弦定理得，即，所以，所以C的漸近線方程為.

8.答案：D解析：由拋物線方程，得，因此.設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立得.設(shè)，，則，，從而.又，，.因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選D.9.答案：AC解析：本題考查直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑.對(duì)于選項(xiàng)A，圓心距，所以圓外離，選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，的最小值為，最大值為，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，連接與圓交于點(diǎn)N(外側(cè)交點(diǎn))，過N作圓的切線，切點(diǎn)為P，此時(shí)最長(zhǎng)，在中，，選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，直線l方程化為：，圓心到直線l的距離，解得，圓心到直線l的距，解得，所以直線l與圓都有公共點(diǎn)時(shí)，，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選AC.10.答案：ACD解析：本題考查雙曲線的定義、離心率問題、焦半徑問題.由題意為直角三角形，點(diǎn)P坐標(biāo)為，直線斜率.不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，如圖.選項(xiàng)A，若平行漸近線，則，得，故A正確.選項(xiàng)B，若，則.連接(圖略)，由，解得，得，故B錯(cuò)誤.選項(xiàng)C，若，則.連接(圖略)，由，解得，得，故C正確.選項(xiàng)D，，，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，代入雙曲線方程得，，則，故D正確.故選ACD.11.答案：ABC

解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，

由題意知，，，，，，，，，則，，

設(shè)，，，

則，

.

設(shè)，，，則.

對(duì)于A，，，，

，，

又AC，平面，，

平面，故A正確；

對(duì)于B，，，，

，，

又，平面，，

平面，

又平面，

平面平面，故B正確；

對(duì)于C，平面，為平面的一個(gè)法向量，

，點(diǎn)F到平面的距離，為定值，故C正確；

對(duì)于D，易知平面，

是平面的一個(gè)法向量，

設(shè)直線AE與平面所成的角為，

又，

，

不是定值，故D錯(cuò)誤.故選ABC.12.答案：ABC解析：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系.設(shè).由得，則，因?yàn)?，所以，又，所以，所以名，，故A正確；所以，即橢圓過定點(diǎn)，，故B正確；，由得，則，所以，則有，因?yàn)?，所以的取值范圍為，故C正確，D錯(cuò)誤.故選ABC.13.答案：；解析：由，得，解得.由，得，且，解得，，所以.14.答案：解析：圓C的方程可化為，圓心，半徑，由于弦AB滿足，且其中點(diǎn)為M，則，因此M點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，又點(diǎn)M在直線上，故直線與圓有公共點(diǎn)，于是，解得.15.答案：2解析：解法一：由題意可知C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以過焦點(diǎn)，斜率為k的直線方程為，設(shè)，，將直線方程與拋物線方程聯(lián)得，.，，，即，即，解得.解法二：設(shè)，，則②-①得，從而.設(shè)AB的中點(diǎn)為，連接.直線AB過拋物線的焦點(diǎn)，以線段AB為直徑的與準(zhǔn)線相切.，，點(diǎn)M在準(zhǔn)線上，同時(shí)在上，準(zhǔn)線l是的切線，切點(diǎn)為M，且，即與x軸平行，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，即，故.16.答案：解析：結(jié)合題意作出圖形如圖所示，由題意知，過左焦點(diǎn)且斜率為的直線的方程為，由，解得，所以.因?yàn)椋?，即，得，所以，將代入雙曲線方程，可得，結(jié)合離心率得，又，所以雙曲線的離心率為.17.答案：(1)圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)直線l的方程為.解析：(1)設(shè)圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

圓心M到直線的距離為.

由題意得所以或（舍去），所以，

所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)易知直線l的斜率存在.設(shè)直線l的方程為，

由(1)知圓心M的坐標(biāo)為，半徑為2，則圓心M到直線l的距離為，

所以，設(shè)點(diǎn)到直線l的距離為d，則，

所以，解得，

則直線l的方程為.18.答案：（1）見解析（2）解析：（1）設(shè)四棱臺(tái)的側(cè)棱交于點(diǎn)P，連接BD交AC于點(diǎn)O，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)，因?yàn)?，，所以為PB的中點(diǎn)，連接，所以.因?yàn)槠矫鍭BCD，所以平面ABCD，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫鍭BCD.（2）由題可以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，所以，，，，，所以，，.設(shè)平面的法向量為，則，即，得，令，則，所以為平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，所以為平面的一個(gè)法向量.因?yàn)槎娼堑拇笮?0°，所以，整理得，得，因?yàn)椋?19.答案：（1）（2）是定值，解析：（1）由已知，A，B的坐標(biāo)分別是，，由于的面積為3，①，又由，化簡(jiǎn)得②，①②兩式聯(lián)立解得：或（舍去），，，橢圓方程為；（2）設(shè)直線PQ的方程為，P，Q的坐標(biāo)分別為，則直線BP的方程為，令，得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，直線BQ的方程為，令，得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，，把直線代入橢圓得，由韋達(dá)定理得，，是定值.20.答案：(1)(2)解析：(1)易知C的漸近線方程為，所以到漸近線的距離，所以，所以C的方程為.(2)由題意易知直線的斜率存在，設(shè)其方程為，聯(lián)立與C的方程，消去y，得，因?yàn)橹本€與C的右支相切，所以，得，則.設(shè)切點(diǎn)，則，.設(shè)，因?yàn)镼是直線與直線的交點(diǎn)，所以.假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)，使得，則，故存在，使得，即，所以x軸上存在定點(diǎn)，使得.21.答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）如圖所示，取AB中點(diǎn)為O，連接DO，CO，則.

又，所以四邊形DCBO為平行四邊形.

又，

所以四邊形DCBO為菱形，所以.

同理可得，四邊形DCOA為菱形，所以，

所以.

因?yàn)榈酌鍭BCD，底面ABCD，所以，

又，平面ADP，所以平面ADP.

因?yàn)槠矫鍭DP，所以.（2）由（1）知，又，所以，

所以三角形ADO為正三角形.

過點(diǎn)D作垂直于DC的直線為x軸，DC所在直線為y軸，DP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，.

則，，.

設(shè)平面PAB