湖南省長沙市長郡湘府中學2022-2023學年高二上學期期中考試數(shù)學模擬試卷

試卷第=page33頁，共=sectionpages44頁試卷第=page44頁，共=sectionpages44頁長郡湘府中學2022年高二第一學期期中考試數(shù)學模擬試卷一、單選題（40分）1．已知點到直線的距離為，則等于（

）A． B． C． D．2．點關(guān)于直線的對稱點的坐標是（

）A． B． C． D．3．雙曲線的漸近線方程是：，則雙曲線的焦距為（

）A．3 B．6 C． D．4．在數(shù)列中，為前n項和，若，，則（

）A．95 B．105 C．115 D．1255．數(shù)列中，，且（），則數(shù)列前2021項和為（

）A． B． C． D．6．已知，是雙曲線的兩個焦點，以線段為邊作正三角形，若邊的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．7．在四面體中,,,,,,則四面體外接球的表面積為(

)A． B． C． D．8．已知橢圓與圓在第二象限的交點是點，是橢圓的左焦點，為坐標原點，到直線的距離是，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．二、多選題（20分）9．以下四個命題表述正確的是（

）A．直線恒過定點B．已知直線與直線互相垂直，則C．圓的圓心到直線的距離為2D．兩圓與的公共弦所在的直線方程為10．如圖所示，點A，B，C，M，N為正方體的頂點或所在棱的中點，則下列滿足平面ABC的是（

）A．B．C．D．11．大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論.主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中國傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題.其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，則下列說法正確的是（

）A．此數(shù)列的第20項是200 B．此數(shù)列的第19項是182C．此數(shù)列偶數(shù)項的通項公式為 D．此數(shù)列的前項和為12．已知正三棱錐中，為的中點，，，則（

）A． B．C．該三棱錐的體積是 D．該三棱錐的外接球的表面積是三、填空題（20分）13．如圖所示平行六面體中，，則___________.14．圓與圓的公共弦長為_________．15．在數(shù)列中，，且前n項和滿足，則數(shù)列的通項公式為________．16．已知拋物線方程為，直線l的方程為，在拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為d1，P到直線l的距離為d2，則的最小值為_________．四、解答題（70分）17．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，點E，F(xiàn)分別是上的動點，且.(1)求證：平面；(2)若，且與底面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.18．已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，（1）求頂點的坐標；（2）求的面積．19．如圖，正方形的邊長為2，的中點分別為，正方形沿著折起形成三棱柱，三棱柱中，，.(1)證明：當時，求證：平面；(2)若二面角的余弦值為，求的值.20．設(shè)橢圓的離心率為，直線過橢圓的右焦點，與橢圓交于點；若垂直于軸，則.（1）求橢圓的方程；（2）橢圓的左右頂點分別為，直線與直線交于點.求證：點在定直線上.21．已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，設(shè)，求數(shù)列的前項和.22．已知過拋物線的焦點，斜率為的直線交拋物線于和兩點，且．（1）求該拋物線的方程；（2）O為坐標原點，C為拋物線上一點，若，求的值．答案第=page33頁，共=sectionpages99頁答案第=page22頁，共=sectionpages99頁參考答案：1．C【解】由題意得．解得或．，．2．B【解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點的坐標為，則由題意可得3．B【解】因為雙曲線的漸近線方程是：，所以，，所以焦距為.4．A【解】因為在數(shù)列中，，所以數(shù)列是等差數(shù)列,又因為，所以，解得，所以，5．B【解】因為（），所以，整理得，，所以，因為，所以，所以，所以數(shù)列前2021項和為，6．D【解】依題意知，若雙曲線焦點為，，∴，則△的高為，即，∴，代入雙曲線方程：，整理得：，∵，∴，整理得，得，∵，∴．7．A【解】因為,所以在中,由正弦定理得,即所以,所以取AC的中點,可知為四面體ABCD外接球的球心,外接球的半徑所以四面體ABCD外接球的表面積8．B【解】如圖所示，連接，因為圓，可得，過點作，可得，且，由橢圓的定義，可得，所以，在直角中，可得，即，整理得，兩側(cè)同除，可得，解得或，又因為，所以橢圓的離心率為.9．AB【解】直線，即對恒成立，所以直線恒過定點，所以A正確；因為與直線互相垂直，所以，所以，所以B正確；因為圓的圓心坐標為，所以圓心到直線的距離為，所以C錯誤；將兩圓與方程聯(lián)立，作差可得，所以D錯誤.10．BC【解】對于A，如圖所示，點，為正方體的兩個頂點，則，所以、、、四點共面，同理可證，即、、、四點共面，平面，故A錯誤；對于B，如圖所示，為正方體的一個頂點，則，，平面，平面，所以平面，同理可證平面又，、平面，平面平面，又平面，平面，故B正確；選項C，如圖所示，為正方體的一個頂點，則平面平面，平面，平面，故C正確；對于D，連接，則，，，，四點共面，平面，與平面相矛盾，故D錯誤．11．AC【解】觀察此數(shù)列，偶數(shù)項通項公式為，奇數(shù)項是后一項減去后一項的項數(shù)，，由此可得，A正確；，B錯誤；C正確；是一個等差數(shù)列的前項，而題中數(shù)列不是等差數(shù)列，不可能有，D錯．12．ABD【解】如圖示：取中點N，連接，，因為為正三棱錐，所以PA=PC，BA=BC,所以PN⊥AC，BN⊥AC，又因為所以平面，所以，故A正確；又，，所以平面，所以，，故B正確；又三棱錐為正三棱錐，，且，在中，設(shè)則由勾股定理:，解得：，故三棱錐的體積為，故C錯誤，因為三棱錐為正三棱錐，，，且所以三棱錐可以擴充為一個正方體，其外接球半徑為，所以外接球表面積為.13．【解】在平行六面體中，所以，所以14．【解】由圓與圓，兩圓方程相減，得公共弦所在直線的方程為，圓的圓心，半徑，則圓心到直線的距離，所以公共弦長為.15．【解】當時，，解得；當時，由，得，兩式相減得，即，整理得，因為，所以，即，又，故數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以.16．【解】設(shè)拋物線的焦點為，則，過作直線的垂線，垂足為，過作直線直線的垂線，為垂足，線段與拋物線的交點為，如圖，，由圖形可知，當三點共線，即與重合，與重合時，取得最小值，所以的最小值是．17．【解】(1)證明：由，得，即．∵底面，∴，又，且，，平面，∴平面，即平面．(2)由底面，得與底面所成角即為，∴，不妨設(shè)，則，，，以為原點，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，∴，．設(shè)平面的一個法向量為，則令，則，∴．又平面，而，∴平面的一個法向量，，由圖可知平面與平面夾角為銳二面角，則平面與平面夾角的余弦值為．18．【解】（1）設(shè)，因為直線與直線垂直，且點在直線上，所以，解得，故.（2）設(shè)由題知：，所以，解得，即.，直線，即：.，點到直線的距離，所以.19．【解】(1)證明：當時，點D是的中點，因為，所以，又，所以，所以，因為，，，所以平面，平面，所以，且，所以平面BCD；(2)因為，CA，CB兩兩互相垂直，所以以點C為原點，以，，作為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系，如下圖，平面，所以向量是平面的法向量，設(shè)，，，，，設(shè)平面DBC1的法向量，所以，即，令，，，所以平面DBC1的一個法向量，，解得所以，即，此時二面角的余弦值是20．【解】（1）由已知得，所以，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)，，，聯(lián)立，得，所以，可得，，所以，又因為，所以；所以點在直線上．21．【解】（1）當時