上海市普陀區(qū)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 含解析

2023學(xué)年第一學(xué)期九年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科期中考試試卷（時(shí)間：100分鐘，滿(mǎn)分：150分）一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿(mǎn)分24分）【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在客題紙的相應(yīng)位置上】1．下列函數(shù)解析式中，一定為二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．校園里一片小小的樹(shù)葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割”，如圖，P為AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞PB），如果AB的長(zhǎng)度為10cm，那么AP的長(zhǎng)度為（）cm．A．1 B．22 C．55 D．10103．已知非零向量和，下列條件中，不能判定的是（

）A． B． C． D．4．二次函數(shù)的圖像如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（

）．A． B． C． D．5．如圖，、相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在、上，且，如果，那么下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．6．四邊形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，下列條件中，不一定能推得與相似的是（

）．A． B． C． D．二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿(mǎn)分48分）7．已知，那么．8．已知點(diǎn)在二次函數(shù)的圖像上，那么n的值為．9．拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線，那么b的值為．10．已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，那么m的值為．11．如果點(diǎn)在拋物線上，那么（“”、“”或“”）12．如果向量與單位向量的方向相反，且長(zhǎng)度為4，那么，（用表示）13．在中，是中線，G是重心，向量，向進(jìn)，那么向量（用向量、表示）14．如圖，是等邊三角形，在中，點(diǎn)D在邊上，以為邊作等邊，與交于點(diǎn)F，如果，那么．

15．如圖，是的中位線，是的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，則．16．如圖，正方形的邊在的邊上，頂點(diǎn)D、G分別在邊、上，如果，的面積是36，那么的長(zhǎng)為．

17．平行于梯形兩底的直線截梯形的兩腰，當(dāng)兩交點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)度是兩底的比例中項(xiàng)時(shí)，稱(chēng)這條線段是梯形的“比例中線”．在梯形ABCD中，，點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，如果EF是梯形ABCD的“比例中線”，那么的值為．18．如圖，在矩形中，已知，如果將矩形沿直線翻折后，點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，直線分別與邊、交于點(diǎn)、，如果，那么的長(zhǎng)為．

三、解答題（本大題共7題，滿(mǎn)分78分）19．如圖，已知兩個(gè)不平行的向量．先化簡(jiǎn)，再求作：．（不要求寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡，并指出所作圖中表示結(jié)論的向量．）20．已知二次函數(shù)（其中a、b、c為常數(shù)，且）的自變量x的值與它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y如下表所示：x…013…y0mn0…(1)該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸是直線__________．(2)如果，求此二次函數(shù)的解析式及其圖像與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．21．已知拋物線與x軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)記作點(diǎn)P．(1)求此拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．(2)將拋物線向左平移m（）個(gè)單位，使其頂點(diǎn)落在直線上，求平移后新拋物線的表達(dá)式．22．如圖，在四邊形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作的平行線，分別交．、于點(diǎn)F、G，且．

(1)求證：；(2)如果，求的長(zhǎng)．23．如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AC、AB上，延長(zhǎng)DE、CB交于點(diǎn)F，且AE?AB＝AD?AC．（1）求證：∠FEB＝∠C；（2）連接AF，若，求證：EF?AB＝AC?FB．24．在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知拋物線過(guò)點(diǎn)A、B、C，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)C的坐標(biāo)是，聯(lián)結(jié)，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)求的面積；(3)如果點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．25．如圖，在梯形中，，點(diǎn)N在線段的延長(zhǎng)線上，聯(lián)結(jié)，作，與交于點(diǎn)M．(1)求的長(zhǎng)；(2)設(shè)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(3)如果是等腰三角形，求的長(zhǎng)．參考答案與解析1．A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義逐個(gè)判斷即可．【詳解】根據(jù)二次函數(shù)的定義，可得答案．解：A．是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；B．是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；C．是一次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；D．右邊是分式，不是整式，y不是x的二次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，能熟記二次函數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：形如（a．b．c為常數(shù)，）的函數(shù)，叫二次函數(shù)．2．C【分析】利用黃金分割的比值關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】解：由黃金分割可得：∴整理得：解得：，(舍去)故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了黃金分割的比值關(guān)系，熟悉掌握比值關(guān)系建立式子是解題的關(guān)鍵．3．B【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：∵，∴，選項(xiàng)A，不符合題意；∵，不能確定兩個(gè)向量的方向，∴無(wú)法判斷，選項(xiàng)B符合題意；∵，∴，選項(xiàng)C，不符合題意；∵∴，選項(xiàng)D，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的性質(zhì)，熟練掌握平面向量的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．A【分析】首先根據(jù)二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向確定，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸在軸右，可確定與異號(hào)，然后再根據(jù)二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)可以確定．【詳解】解：拋物線開(kāi)口向上，，對(duì)稱(chēng)軸在軸左側(cè)，與同號(hào)，，拋物線與軸交于負(fù)半軸，，故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)，①二次項(xiàng)系數(shù)決定拋物線的開(kāi)口方向和大小．當(dāng)時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)時(shí)，拋物線向下開(kāi)口．②一次項(xiàng)系數(shù)和二次項(xiàng)系數(shù)共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置．當(dāng)與同號(hào)時(shí)（即，對(duì)稱(chēng)軸在軸左；當(dāng)與異號(hào)時(shí)（即，對(duì)稱(chēng)軸在軸右．（簡(jiǎn)稱(chēng)：左同右異）③．常數(shù)項(xiàng)決定拋物線與軸交點(diǎn)．拋物線與軸交于．5．B【分析】利用平行線分線段成比例與相似三角形的判定與性質(zhì)逐一分析各選項(xiàng)即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，而，∴，故A不符合題意；∵，而，∴，故B符合題意；∵，∴，，∵，∴，∴，故C不符合題意；∴，故D不符合題意；故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記相關(guān)定理與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．6．D【分析】由相似三角形的判定方法逐一分析各選項(xiàng)即可得到答案．【詳解】解：如圖，∵，，∴，∴，∵，∴；故A不符合題意；∵，，∴，故B不符合題意；∵，，∴，故C不符合題意；∵，，不符合兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，∴與不一定相似，故D符合題意；故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．7．##2.5【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，設(shè)，代入即可求解．【詳解】解：∵，∴設(shè)，則，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．0【分析】將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)中即可求得n的值．【詳解】解：將點(diǎn)代入二次函數(shù)中得，故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)的值，將點(diǎn)的坐標(biāo)直接代入函數(shù)是解題的關(guān)鍵．9．【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸公式列得，直接求值．【詳解】解：∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線，∴，得，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了拋物線的對(duì)稱(chēng)軸公式，熟練掌握拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式是解題的關(guān)鍵．10．8【分析】把原點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，計(jì)算即可．【詳解】解：把原點(diǎn)代入解析式，得，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足解析式．11．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線，則在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，y隨x的增大而增大．【詳解】∵∴，∴拋物線開(kāi)口向上，∵拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線，∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，求得對(duì)稱(chēng)軸是解題的關(guān)鍵．12．【分析】根據(jù)向量的表示方法可直接進(jìn)行解答．【詳解】解：∵的長(zhǎng)度為4，向量是單位向量，∴，∵與單位向量的方向相反，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是平面向量的知識(shí)，向量包括長(zhǎng)度及方向，而長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量，解決本題的關(guān)鍵是注意單位向量只規(guī)定大小沒(méi)規(guī)定方向．13．【分析】先求解，，再利用三角形的重心的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：如圖，∵是中線，，∴，

∵，∴，根據(jù)三角形的重心性質(zhì)，，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了平面向量的三角形法則和重心性質(zhì)（三角形的重心是各中線的交點(diǎn)，重心性質(zhì)是說(shuō)三角形頂點(diǎn)到重心的距離等于該頂點(diǎn)對(duì)邊上中點(diǎn)的線段長(zhǎng)的），難度不大．14．##【分析】先由等邊三角形的性質(zhì)與已知線段的比例關(guān)系求得的長(zhǎng)，再證明，則，可求得．【詳解】由等邊知，∵∴，．由等邊得，，由等邊知，，∴由得，∴，又∴∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求證．15．【分析】利用是的中位線，是的中點(diǎn)，可得到，再證得，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】∵是的中位線，∴，又∵是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟記相似三角形的面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．16．4【分析】作于H，交于P，由得，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊上高的比等于相似比，列方程求解即可．【詳解】解：作于H，交于P，如圖所示：

∵的面積，，∴，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x．∴，∵，∴．由得，∴．∵，正方形，∴，，即，由，，，∴，解得，即．故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)．關(guān)鍵是由平行線得到相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)列方程．17．##【分析】先根據(jù)是的比例中項(xiàng)可求得，再過(guò)點(diǎn)D作的平行線構(gòu)造平行四邊形，可求得的長(zhǎng)度，然后再利用即可求得的值．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)D作的平行線，交于點(diǎn)M、N．∵∴四邊形、四邊形、四邊形均為平行四邊形．∴，∵是梯形的比例中項(xiàng)，∴．∴由得，∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了比例中項(xiàng)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作的平行線構(gòu)造平行四邊形與相似三角形．18．【分析】連接，構(gòu)造直角三角形，依據(jù)折疊的性質(zhì)以及勾股定理，即可得到的長(zhǎng)以及的長(zhǎng)，再根據(jù)，得到比例式求出，進(jìn)而得出的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，連接，四邊形為矩形，，，為的中點(diǎn)，，將矩形沿直線翻折后，點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，直線分別與邊、交于點(diǎn)、，，，在中，，，，，，又，，，即，，；故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問(wèn)題、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解．19．見(jiàn)解析【分析】根據(jù)平面向量的加減運(yùn)算法則解答；由平面向量的幾何意義作圖．【詳解】解：．作圖：∴如圖，為所求向量．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量，注意：三角形法則在解題過(guò)程中的應(yīng)用．20．(1)(2)，【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求解即可；（2）先用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再求與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）∵和時(shí)，，∴二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸是直線．故答案為：；（2）設(shè)二次函數(shù)解析式為，把，代入，得，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．21．(1)此拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為；(2)平移后新拋物線的表達(dá)式為．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得拋物線的表達(dá)式，再配成頂點(diǎn)式，即可求解；（2）利用二次函數(shù)圖象平移的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入得，解得，∴拋物線的表達(dá)式為，∴此拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（2）解：由題意得平移后的拋物線的表達(dá)式為，平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∵頂點(diǎn)落在直線上，∴，解得，∴平移后新拋物線的表達(dá)式為．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，二次函數(shù)圖象平移的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．(1)證明見(jiàn)解析(2)6【分析】（1）先證明可得，再證明，可得，從而可得結(jié)論；（2）證明，可得，再證明，再利用相似三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∵，∴，∴．（2）∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記相似三角形的判定方法與相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解本題的關(guān)鍵．23．（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）證明△AED∽△ACB即可解決問(wèn)題；（2）證明△EFB∽△FAB，可得，由AF＝AC，可得結(jié)論.【詳解】（1）∵AE?AB＝AD?AC．∴，又∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ACB，∴∠AED＝∠C，又∵∠AED＝∠FEB，∴∠FEB＝∠C．（2）∵∠FEB＝∠C，∠EFB＝∠CFD，∴△EFB∽△CFD，∴∠FBE＝∠FDC，∵，∴，∴△FBA∽△CDF，∴∠FEB＝∠C∴AF＝AC，∵∠FEB＝∠C，∴∠FEB＝∠AFB，又∵∠FBE＝∠ABF，∴△EFB∽△FAB，∴，∵AF＝AC，∴EF?AB＝AC?FB．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．24．(1)(2)3(3)或．【分析】（1）把點(diǎn)A，C坐標(biāo)代入，求出b，c的值即可；（2）求出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可；（3）設(shè)，分兩種情況討論：當(dāng)P點(diǎn)在上方時(shí)和下方時(shí)，討論求解即可．【詳解】（1）把點(diǎn)，點(diǎn)代入得，，解得，，∴拋物