小波變換詳解

基于小波變換的人臉識別近年來，小波變換在科技界備受重視，不僅形成了一個新的數(shù)學分支，而且被廣泛地應(yīng)用于模式識別、信號處理、語音識別與合成、圖像處理、計算機視覺等工程技術(shù)領(lǐng)域。小波變換具有良好的時頻域局部化特性，且其可通過對高頻成分采取逐步精細的時域取樣步長，從而達到聚焦對象任意細節(jié)的目的，這一特性被稱為小波變換的“變聚焦”特性，小波變換也因此被人們冠以“數(shù)學顯微鏡”的美譽。具體到人臉識別方面，小波變換能夠?qū)⑷四槇D像分解成具有不同分辨率、頻率特征以及不同方向特性的一系列子帶信號，從而更好地實現(xiàn)不同分辨率的人臉圖像特征提取。4.1小波變換的研究背景法國數(shù)學家傅立葉于1807年提出了著名的傅立葉變換，第一次引入“頻率”的概念。傅立葉變換用信號的頻譜特性來研究和表示信號的時頻特性，通過將復雜的時間信號轉(zhuǎn)換到頻率域中，使很多在時域中模糊不清的問題，在頻域中一目了然。在早期的信號處理領(lǐng)域，傅立葉變換具有重要的影響和地位。定義信號為在(-∞，+∞)內(nèi)絕對可積的一個連續(xù)函數(shù)，則的傅立葉變換定義如下：(4-1)傅立葉變換的逆變換為：(4-2)從上面兩個式子可以看出，式（4-1）通過無限的時間量來實現(xiàn)對單個頻率的頻譜計算，該式表明這一頻域過程的任一頻率的值都是由整個時間域上的量所決定的?？梢?，式（4-1）和（4-2）只是同一能量信號的兩種不同表現(xiàn)形式。盡管傅立葉變換可以關(guān)聯(lián)信號的時頻特征，從而分別從時域和頻域?qū)π盘栠M行分析，但卻無法將兩者有效地結(jié)合起來，因此傅立葉變換在信號的局部化分析方面存在嚴重不足。但在許多實際應(yīng)用中，如地震信號分析、核醫(yī)學圖像信號分析等，研究者們往往需要了解某個局部時段上出現(xiàn)了哪個頻率，或是某個頻率出現(xiàn)在哪個時段上，即信號的時頻局部化特征，傅立葉變換對于此類分析無能為力。因此需要一種如下的數(shù)學工具：可以將信號的時域和頻域結(jié)合起來構(gòu)成信號的時頻譜，描述和分析其時頻聯(lián)合特征，這就是所謂的時頻局部化分析方法，即時頻分析法。1964年，Gabor等人在傅立葉變換的基礎(chǔ)上引入了一個時間局部化“窗函數(shù)”g(t)，改進了傅立葉變換的不足，形成窗口化傅立葉變換，又稱“Gabor變換”。定義“窗函數(shù)”在有限的區(qū)間外恒等于零或很快地趨于零，用函數(shù)乘以，其效果等同于在附近打開一個窗口，即：(4-3)式（4-3）即為函數(shù)f(t)關(guān)于g(t)的Gabor變換。由定義可知，信號的Gabor變換可以反映該信號在附近的頻譜特性。其逆變換公式為：(4-4)可見的確包含了信號的全部信息，且Gabor窗口位置可以隨著的變化而平移，符合信號時頻局部化分析的要求。雖然Gabor變換一定程度上克服了傅立葉變換缺乏時頻局部分析能力的不足，且兼顧信號的時頻分辨率，但其本身仍存在不可克服的局限性，即Gabor窗口不具有自適應(yīng)性，其大小是固定不變的，因此Gabor變換只能進行單一分辨率的分析。而在實際研究中，我們常常希望窗口的大小會隨著頻率的高低而改變，比如在研究高頻信號時，希望窗口開得小一點；反之，在研究低頻信號時，則希望窗口開得大一點，這樣才更符合實際研究中低頻信號分辨率比高頻信號分辨率低的特點，因此需要研究更好的解決辦法來改善Gabor變換的不足。為了克服前面所描述的傅立葉變換和Gabor變換存在的不足，學者們提出了小波變換(WaveletTransform)。4.2小波變換與逆變換4.2.1連續(xù)小波變換和離散小波變換小波變換是一種窗El面積(即窗口大小)固定但窗口形狀可變的時頻局部化分析方法，其高頻部分的時間分辨率較高而頻率分辨率較低，而低頻部分的頻率分辨率較高而時間分辨率較低，因此對信號具有良好的自適應(yīng)性，被冠以“數(shù)學顯微鏡”的美譽。小波變換又可分為連續(xù)小波變換和離散小波變換兩種。連續(xù)小波變換的概念是由Morlet等人提出[]。設(shè)為小波變換的核函數(shù)，若核函數(shù)若滿足容許性條件：(4-5)則稱該函數(shù)為基小波。一維信號f(t)的連續(xù)小波變換可定義為：(4-6)根據(jù)上述對基小波定義，可知：，且在無窮遠處趨近于零。一般的，記：,a<0(4-7)函數(shù)是由基小波函數(shù)經(jīng)過尺度a的伸縮和b的平移之后所得。常用的連續(xù)小波包括：Morlet小波、Daubechies小波、三次樣條小波、Meyer小波和Simoncelli小波等。與連續(xù)小波變換相對應(yīng)的是離散小波變換，其一般形式為：(4-8)其中為小波基，、為兩個常量且>0。離散小波最具代表性的為二進小波，即為2的冪次，取整。由于小波變換在時域和頻域同時兼有局部化能力，且能逐步聚焦到對象的任何細節(jié)進行分析，因此在人臉識別方面得到眾多研究者的關(guān)注。4.2.2幾種常見的小波同傅立葉分析不同，小波分析的基（小波函數(shù)）不是唯一存在的，所有滿足小波條件的函數(shù)都可以作為小波函數(shù)，那么小波函數(shù)的選取就成了十分重要的問題[8]。(1)Haar小波A.Haar于1990年提出一種正交函數(shù)系，定義如下：（4-9）這是一種最簡單的正交小波，即（4-10）(2)Daubechies(dbN)小波系該小波是Daubechies從兩尺度方程系數(shù)出發(fā)設(shè)計出來的離散正交小波。一般簡寫為dbN，N是小波的階數(shù)。小波和尺度函數(shù)閾中的支撐區(qū)為2N-1。的消失矩為N。除N＝1外(Haar小波)，dbN不具對稱性〔即非線性相位〕；dbN沒有顯式表達式(除N＝1外)。但的傳遞函數(shù)的模的平方有顯式表達式。假設(shè)，其中，為二項式的系數(shù)，則有（4-11）其中(3)Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系Biorthogonal函數(shù)系的主要特征體現(xiàn)在具有線性相位性，它主要應(yīng)用在信號與圖像的重構(gòu)中。通常的用法是采用一個函數(shù)進行分解，用另外一個小波函數(shù)進行重構(gòu)。Biorthogonal函數(shù)系通常表示為biorNr.Nd的形式：Nr=1Nd=1，3，5Nr=2Nd=2，4，6，8Nr=3Nd=1，3，5，7，9Nr=4Nd=4Nr=5Nd=5Nr=6Nd=8其中，r表示重構(gòu)，d表示分解。(4)Coiflet(coifN)小波系coiflet也是函數(shù)由Daubechies構(gòu)造的一個小波函數(shù)，它具有coifN(N=1，2，3，4，5)這一系列，coiflet具有比dbN更好的對稱性。從支撐長度的角度看，coifN具有和db3N及sym3N相同的支撐長度；從消失矩的數(shù)目來看，coifN具有和db2N及sym2N相同的消失矩數(shù)目。(5)SymletsA(symN)小波系Symlets函數(shù)系是由Daubechies提出的近似對稱的小波函數(shù)，它是對db函數(shù)的一種改進。Symlets函數(shù)系通常表示為symN(N=2，3，…，8)的形式。(6)Morlet(morl)小波Morlet函數(shù)定義為，它的尺度函數(shù)不存在，且不具有正交性。(7)MexicanHat(mexh)小波MexicanHat函數(shù)為（4-12）它是Gauss函數(shù)的二階導數(shù)，因為它像墨西哥帽的截面，所以有時稱這個函數(shù)為墨西哥帽函數(shù)。墨西哥帽函數(shù)在時間域與頻率域都有很好的局部化，并且滿足（4-13)由于它的尺度函數(shù)不存在，所以不具有正交性。(8)Meyer函數(shù)Meyer小波函數(shù)和尺度函數(shù)都是在頻率域中進行定義的，是具有緊支撐的正交小波。（4-14）其中，為構(gòu)造Meyer小波的輔助函數(shù)，且有（4-15）4.2.3二維小波變換與逆變換把對一維的表示推廣到二維，考慮二維尺度函數(shù)是可分離的情況，可有3個二維小波，則二維尺度函數(shù)和小波函數(shù)可表示為：（4-16）（4-17）設(shè)表示一幅離散圖像，用低通濾波器和高通濾波器分別對的每一行作濾波，并作隔點抽樣，然后再用它們分別對的每一列濾波并作隔點抽樣，得到圖像低頻概貌和圖像高頻細節(jié),,,則有如下小波正變換(分解算法):（4-18）其小波逆變換(重構(gòu)算法)如下式:（4-19）對于N×N像素的圖像，小波變換能分解J層，整數(shù)。在每一尺度下包含前一階段的低頻信息，而、和分別包含前一階段橫向、縱向和對角方向的邊緣細信息。圖4.1二維小波正變換框圖圖4.2二維小波變換逆變換框圖表示抽樣，為2點取1點的抽樣，即只剩下一半樣數(shù)的分解過程，表示插樣，即得到的樣數(shù)為原先樣數(shù)的兩倍。4.3人臉圖像的小波變換小波在圖像處理上的應(yīng)用思路主要采用將空間或時間域上的圖像信號變換到小波域上，成為多層次的小波系數(shù)，根據(jù)小波的特性，分析小波系數(shù)的特點，針對不同需求，結(jié)合常規(guī)的圖像處理方法提出更符合小波分析的新算法來處理小波系數(shù)，再對處理后的小波系數(shù)進行反變換，將得到所需的目標圖像。小波反變換圖像處理小波正變換圖像輸入小波反變換圖像處理小波正變換圖像輸入圖像輸出圖4.3小波變換處理圖像流程圖小波變換的優(yōu)點在于具有良好的時間和頻率特性，應(yīng)用范圍較廣。采用小波分解圖像，可降低分解后圖像子帶的分辨率，大大減少相應(yīng)的計算復雜度，并可提供更多的空間和頻率局部信息。由于一幅圖像的信息主要包含在低頻部分，而圖像細節(jié)體現(xiàn)在高頻部分，故可通過小波變換得到低頻系數(shù)，也就是圖像的主要信息。在本算法中，采用二維離散小波變換，進行二維小波頻域分解,實際是進行兩次一維小波變換。經(jīng)過一級小波變換之后，一幅圖像被分解成為如圖4.4(a)所示的4個子帶。包括低頻區(qū)域LL,高頻區(qū)域LH、HL、HH,每個區(qū)域都是一幅圖像。LL區(qū)域表示的是原圖像的平滑圖像,它包含了原圖像的大部分信息,刻畫人臉表情和姿態(tài)的不變特征;LH區(qū)域保持了原圖像的垂直邊緣細節(jié),體現(xiàn)人臉的輪廓和鼻子的垂直特征;HL區(qū)域保持了原圖像的水平邊緣細節(jié),體現(xiàn)了人臉的眼睛、嘴巴的水平特征;HH區(qū)域保持了原圖像的對角線細節(jié),受噪聲、表情和姿勢的影響較大。經(jīng)過一級小波分解后,每個區(qū)域的圖像維數(shù)都是原圖像維數(shù)的四分之一。圖中子帶LL是低頻成分，集中了原始圖像的大部分信息，LH和HL反映了沿水平和垂直方向的圖像變化，HH子帶則代表圖像的高頻成分。還可以運用小波算法繼續(xù)對LL子帶進行分解，圖4.4(b)為圖4.4(a)的二級小波分解圖。1362457LLLHHLHH（ａ）一級小波分解（ｂ）二級小波分解圖4.4二維圖像的小波分解人臉圖像的二維小波分解通常使用等價的濾波器組實現(xiàn).其中,低通濾波器起平滑作用,得到圖像的緩變成分;帶通濾波器起差分作用,得到圖像的高頻成分.使用具有緊支集的規(guī)范正交小波基可以構(gòu)造這類濾波器。圖4.5、4.6分別是人臉圖像的一級分解、二級分解圖像圖4.5一級小波分解圖像圖4.6二級小波分解圖像本文研究的方法是：首先對原始圖像進行進行小波變換與反變換,小波變換后，圖像左上角表現(xiàn)了圖像的低頻分量，它是構(gòu)成圖像信息及其能量的主要的組成部分。右上角處表現(xiàn)了圖像的水平方向的高頻分量。左下角表現(xiàn)垂直高頻分量。而右下角處表現(xiàn)了圖像的對角信息。