專題7.2平面向量數(shù)量積及應(yīng)用(學(xué)生版)

專題7.2平面向量數(shù)量積及應(yīng)用1.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念=1\*GB2⑴向量的夾角定義范圍共線與垂直圖示已知兩個非零向量a和b,作OA=a,OB=b,則∠AOB=θ0≤θ≤π0,πa//b?θ=0a向量夾角：共起點=2\*GB2⑵平面向量的數(shù)量積定義已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為θ，我們把數(shù)量abcosθ叫做a與b的數(shù)量積,記作a?b特殊情況0運算律a?b=b?a（交換律）數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論aa+b【重要結(jié)論】=1\*GB2⑴平面向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，可正、可負、可為零，且a?b≤a=2\*GB2⑵數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即a?bc=b?ca不一定成立，這是因為a?bc是一個與c共線的向量，而b?ca=3\*GB2⑶非零向量夾角為銳角（或鈍角），即當且僅當a?b>0且a≠λbλ>0（或a=3\*GB2⑶投影向量如圖，設(shè)a,b是兩個非零向量,AB=a,CD=b,考慮如下變換:過AB的起點A和終點B,分別作CD所在直線的垂線,垂足分別為A1、B1,得到A1B1,稱上述變換為向量a若向量a,b的夾角為θ,則向量a在向量b性質(zhì)及坐標表示已知非零向量a=x1,y幾何表示坐標表示數(shù)量積aa夾角coscos模aa垂直aa共線aa不等關(guān)系a,ax1.【人教A版必修二習(xí)題6.2第21題P24】已知?ABC中，3AO=AB+AC，(AB+AC)?A.23AO B.32AO C.

2.【人教A版必修二習(xí)題6.2第24題P24】如圖，△ABC的外接圓的圓心為O，AB=2，AC=3，BC=7，則AO?BC=

考點一考點一平面向量數(shù)量積的運算【方法儲備】1.平面向量數(shù)量積的運算方法=1\*GB2⑴定義法：已知向量的模與夾角時，可直接使用數(shù)量積的定義求解，即a?b=abcosθ=2\*GB2⑵基向量法：選取基底向量e1,e2，已知基底向量的模長和夾角；則a=λ1e1=3\*GB2⑶坐標法：建立適當?shù)淖鴺讼担蟪鯽與b的坐標，即a=x1,y12.已知數(shù)量積求參數(shù)已知向量的數(shù)量積，用上述方法展開，得出關(guān)于參數(shù)的方程，進而求出參數(shù).3.用向量解決平面幾何問題的思路=1\*GB2⑴建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；=2\*GB2⑵通過向量運算研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；=3\*GB2⑶把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．【典例精講】例1.(2023·湖南省長沙市期末)設(shè)平面向量a=(1,3)，|b|=2，且|a-A.1 B.14 C.14 D.例2.(2023·浙江省金華市期中)平行四邊形ABCD中，AB=4，AD=2，AB?AD=42，點P在邊CD上，則PA?A.[-1,8] B.[-1,4+2] C.[-2,4+4例3.(2023·浙江省溫州市月考)如圖，在菱形ABCD中，AB=3，∠BAD=60°，E，F(xiàn)分別為BC，CD上的點，CE=2EB，CF=2FD，若線段EF上存在一點M，使得AM=12AB+xAD(x∈R)例4.(2023·江蘇省南通市模擬)在△ABC中，已知A=60°，BC=2，D為BC的中點，則線段AD長度的最大值為(

)A.1 B.2 C.3【拓展提升】練11(2022·江蘇省無錫市月考)在平面直角坐標系xOy中，已知P(?3?,?4?)，長度為2的線段AB的端點分別落在x軸和y

軸上，則PA?PB的取值范圍是(

)A.2?,?6 B.3?,?5 C.4?,?6練12(2023·四川省成都市月考)如圖所示，邊長為2的正△ABC，以BC的中點O為圓心，BC為直徑在點A的另一側(cè)作半圓弧BC，點P在圓弧上運動，則AB?AP的取值范圍為(

)

A.[2,33] B.[4,3練13(2023·安徽省名校聯(lián)考)已知橢圓：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，O為坐標原點，A、B、C是橢圓上三個點，滿足OAA.23 B.53 C.考點二考點二平面向量的夾角、模長、垂直、共線問題【方法儲備】1.平面向量模問題=1\*GB2⑴求向量模：=1\*GB3①若向量a是以坐標形式出現(xiàn)的，即a=x,y，則a=x=2\*GB3②若a=λe1+μe2，則=2\*GB2⑵求向量模的最值(范圍)的方法=1\*GB3①代數(shù)法：把所求的模表示成某個變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解．=2\*GB3②幾何法(數(shù)形結(jié)合法)：弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動點表示的圖形求解．2.平面向量夾角問題=1\*GB2⑴求平面向量的夾角=1\*GB3①定義法：當a，b是非坐標形式時，需求出a?b及a,b=2\*GB3②公式法：已知非零向量a=x1,y1=2\*GB2⑵已知向量夾角為銳角或鈍角，求參數(shù)=1\*GB3①向量a，b的夾角為銳角?a?b>0=2\*GB3②向量a，b的夾角為鈍角?a?b<0注意：=1\*GB2⑴兩向量的夾角是指當兩向量的起點相同時，表示兩向量的有向線段所形成的角，若起點不同，應(yīng)通過移動，使其起點相同，再觀察夾角．=2\*GB2⑵在利用向量的數(shù)量積求兩向量的夾角時，一定要注意兩向量夾角的范圍．3.向量的垂直、共線問題(1)已知非零向量a與b已知a=x1,y1,b(2)利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參或最值問題最常用的解題技巧.【典例精講】

例5.(2022·重慶市市轄區(qū)月考)（多選）若平面向量a,b,c兩兩的夾角相等，且|a|=|bA.23 B.2 C.6例6.(2022·湖北省孝感市月考)△ABC中，|AB+AC|=2|AB-AC|，則A.35 B.325例7.(2023·河北省衡水市模擬)已知非零向量a，b滿足a+b⊥a-b，實數(shù)λ滿足2λa-b⊥a【拓展提升】練21(2023·廣東省聯(lián)考)已知單位向量a，b，若對任意實數(shù)x，|xa+b|≥32恒成立，則向量a，A.[π4,3π4]練22(2022·河北省名校聯(lián)考)在△ABC中，邊AC=1，AB=2角A=2π3，過A作AP⊥BC于P，且AP=λAB+μAC，則λμ=

練23(2023·江蘇省鎮(zhèn)江市月考)（多選）在△ABC中，BD=λBC，AE=μAC，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，B=π3，AB=4A.當λ=13時，AD=23AB+13AC B.當λ=45考點三考點三平面向量中的最值、范圍問題【方法儲備】求最值、范圍問題的思路：=1\*GB2⑴結(jié)合平面向量的幾何意義，將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值、范圍問題，利用平面圖形的特征直接進行求解；=2\*GB2⑵利用平面向量的坐標運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識進行求解.【典例精講】例8.(2023·浙江省名校聯(lián)考)已知點P是邊長為1的正十二邊形A1A2?A12A.-3-12 B.-例9.(2022·山東省日照市月考)已知|a|=|b|=2，且a，b的夾角為60°，若向量|c-A.[-4,4] B.[-23,2【拓展提升】練31(2023·河北省張家口市模擬)已知正方形ABCD的邊長為2，MN是它的外接圓的一條弦，點P為正方形四條邊上的動點，當弦MN的長度最大時，PM?PN的取值范圍是(

)A.[-1,0] B.[0,2] C.練32(2023·安徽省合肥市期末)（多選）已知向量a=(sinα,cosα)，b=(1,2)，則下列命題正確的是(

)A.若a∥b，則tanα=12

B.若a⊥b，則tanα=12

C.1.(2023·廣東省廣州市聯(lián)考)過點A(2,5)的直線l與函數(shù)f(x)=5x-11x-2的圖象交于M，N兩點，若O為坐標原點，B(5,1)，則cos<OM+A.-1458145 B.-2.(2023·廣東省中山市期末)設(shè)A，B是平面直角坐標系中關(guān)于y軸對稱的兩點，且|OA|=2.若存在m，n∈R，使得mAB+OA與nAB+OB垂直，且|(mAB3.(2023·安徽省合肥市月考)已知|a|=|b|=|c|=1，a?b=12，<a，c>+<bA.0 B.32 C.1【答案解析】1.【人教A版必修二習(xí)題6.2第21題P24】解：如圖所示，3AO=AB+AC，設(shè)E為BC的中點，

所以O(shè)為△ABC的重心，AO=2OE，

因為(AB+AC)?BC=0，所以BC⊥AD，

2.【人教A版必修二習(xí)題6.2第24題P24】解：AO·BC=AO·(AC-AB)

=AO·AC-AO·AB，

因為OA=OB，所以AO例1.解：由題意得a=10，|則a·b=2

，例2.解：由題意得，∵AB=4，AD=2，AB?AD=42，

∴|AB|?|AD|cosA=42，

∴cosA=∴A(0,0)，B(4,0)，D(2,2)∴PA=(-x,-∴PA?PB=-x4-x+2=x∴PA?例3.解：根據(jù)題意，設(shè)EM=λEF，

則AM=AB+BE+EM=AB+13AD+λEF=AB+13AD+例4.解：△ABC中，A=60°，BC=2，

則由余弦定理可得a2=4=b2+c2-2bccos60°，

即b2+c2=4+bc≥2bc，即bc≤4，當且僅當b=c=2時取等號，

由D為BC的中點，可得AD=練11.解：設(shè)Aa,0,B0,b，

因為P(3,4)，

所以PA=a-3,-4,PB=-3,b-4，

所以PA?PB=-3a-3-4b-4=25-3a+4b，

因為線段AB的長度為2，

所以a2+b2=4，

設(shè)a=2練12.解：如圖

由題可知，當點P在點C處時，AB?AP最小，

此時AB?AP=AB?AE=|AB|·|AC|·cosπ3=2×2×12=2，

過圓心O作OP∥AB交圓弧于點P，連接AP，此時AB?AP最大，

過O練13.解：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

∵OA+OB+OC=0，

∴C(-(x1+x2),-(y1+y2))，

又∵A、B、C在橢圓上，

∴x12a2+y12b2=32|OA|?|OB|?∴e2=1-(ba)

例5.解：∵平面上三個向量a，b，c，兩兩夾角相等，且|a|=|b|=|c|=2，

當兩兩夾角為120°時，

|a+b+c|2=(a例6.解：兩邊同時平方得|AB+AC|2=4|AB-AC|2，展開整理得

10AB?AC=3|AB|2+3|AC|2，

即10|AB例7.解：a+b⊥λa-b=63b?λ2a2-2λa?b+b2=23b2=3\*GB3③，

由=2\*GB3②=3\*GB3③練21.解：設(shè)向量a，b的夾角為θ，θ∈[0,π]，

因為|xa+b|≥32，

所以(xa+b)2≥34，

則x2a2練22.解：畫出圖形，如圖所示；

∵AP⊥BC，∴AP?BC=0，又AP=λAB+μAC，BC=AC-AB，

∴(λAB+μAC)?(AC-AB)=-λAB2+(λ-μ)AB?AC+μAC2

=-4λ+(λ-μ)?2×1×cos2π3+μ=0，

化簡得λ=故答案為：1049練23.解：對于A選項，當λ=13時，AD=AB+BD=AB+13BC

=AB+13(AC-AB)=23AB+13AC，故A正確；

當λ=45時，|BD|=45|BC|=4=|AB|，B=π3，

∴△ABD是邊長為4的等邊三角形，

∴AB?BD=|AB|?|BD|cos120°=-8，故B錯誤；

當μ=12時，BE=例8.解：由數(shù)量積的幾何意義，A1P?A1A2=|A1A2|乘以A1故A1P?例9.解：解法1：取OA=a,OB=b,OC=c，則點C在以A為圓心，半徑為1的圓面上(包括邊界)，設(shè)向量b,c的夾角為θ，由圖

可知，θ取值范圍為[π6,π2]；

b?c=|b||c|cosθ=2|c|cosθ，由于|c|cosθ為向量c在向量b上的投影，且0≤|c|cosθ≤2．

故b?c的取值范圍是[0,4]．

解法2練31.解：作圖如下，因為當弦MN最大時，弦MN過正方形ABCD的外接圓圓心O，

因為正方形ABCD的邊長為2，所以圓O半徑為2，

則PM=PO+OM，PN=PO+ON=PO-OM，

所以PM·PN=(PO+練32.解：∵a=(sinα,cosα),b=(1,2)，

∴若a∥b，則2sinα-cosα=0，∴tanα=12，即命題A正確；

若a⊥b，則a?b=sinα+2cosα=0，∴tanα=-2，即命題B錯誤；

若f(α)=a?b=sinα+2cosα=5sin(α+β)，(其中tanβ=2)取得最大值，

則取α+β=π2，∴α=π2-β1.解：依題意，f(x)=5x-10-1x-2=5-1x-2故(OM而|OM+ON故cos<OM+2.解：由題意，AB=OB-OA，

令a=