套卷2014-2015學(xué)年江西省江西師大附中臨川鷹潭等五校高三上學(xué)期第二次聯(lián)考試題數(shù)學(xué)（理）

2014--2015學(xué)年江西省江西師大附中、臨川、鷹潭等五校高三上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題【試卷綜述】本試卷試題主要注重基本知識(shí)、基本能力、基本方法等當(dāng)面的考察，覆蓋面廣，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的簡單應(yīng)用，試題有新意，符合課改和教改方向，能有效地測評(píng)學(xué)生，有利于學(xué)生自我評(píng)價(jià)，有利于指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)，既重視雙基能力培養(yǎng)，側(cè)重學(xué)生自主探究能力，分析問題和解決問題的能力，突出應(yīng)用，同時(shí)對(duì)觀察與猜想、閱讀與思考等方面的考查?！绢}文】一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.【題文】1．已知集合A={x|x(x-1)≤0，x∈R}，B={x|-2<x<1,x∈R},則A∩B是（）A．{x|-2<x≤1,x∈R}B={x|0≤x<1,x∈R}C={x|0<x≤1，x∈R}D={x|0<x<1,x∈R}【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式不等式的解法；集合運(yùn)算.E3A1【答案】【解析】B解析：A={x|0≤x≤1，x∈R},所以A∩B={x|0≤x<1,x∈R}，故選B.【思路點(diǎn)撥】化簡集合A，再由交集意義求結(jié)論.【題文】2．設(shè)為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則=()A．11B．５Ｃ．－８Ｄ．－11【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和.D3【答案】【解析】D解析：由得，所以=-11，故選D.【思路點(diǎn)撥】由已知及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得q=-2,代入前n項(xiàng)和公式得所求.【題文】3.函數(shù)，（）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．不具有奇偶性 D．奇偶性與有關(guān)【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性.B4【答案】【解析】B解析：設(shè)，此函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，所以函數(shù)，是奇函數(shù)，故選B.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)奇偶性定義判斷結(jié)論.【題文】4．等于（）A．0 B． C． D．2【知識(shí)點(diǎn)】定積分與微積分基本定理.B13【答案】【解析】D解析：=，故選D.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)微積分基本定理求得結(jié)論.【題文】5．若函數(shù)，則此函數(shù)圖像在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的傾斜角為()A.直角 B．0 C．銳角 D【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義.B11【答案】【解析】C解析：∵，∴，，∴2cos1>1，∴>0，故選C.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得函數(shù)圖像在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率，從而確定切線傾斜角的范圍.【題文】6．下列命題正確的個(gè)數(shù)有()（1）命題“為真”是命題“為真”的必要不充分條件（2）命題“,使得”的否定是:“對(duì),均有”（3）經(jīng)過兩個(gè)不同的點(diǎn)、的直線都可以用方程來表示（4）（5）若函數(shù)在處有極值10，則A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【知識(shí)點(diǎn)】充分條件；必要條件；基本邏輯聯(lián)結(jié)詞及量詞；已知遞推公式求通項(xiàng)；函數(shù)有極值的條件.A2A3D1B12【答案】【解析】B解析：（1）命題“為真”是命題“為真”的充分不必要條件，故（1）不正確；（2）命題“,使得”的否定是:“對(duì),均有”，故（2）不正確；（3）顯然正確；（4）∵，兩式相減得，∴若函數(shù)在處有極值10，則，故（5）不正確.所以只有（3），（4）正確，故選B.【思路點(diǎn)撥】逐個(gè)分析各命題的正誤.【題文】7．某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2【答案】【解析】A解析：由三視圖知幾何體是圓錐的一部分，由正視圖可得：底面扇形的圓心角為120°，又由側(cè)視圖知幾何體的高為4，底面圓的半徑為2，∴幾何體的體積V=××π×22×4=．故答案為A【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三視圖判斷幾何體是圓錐的一部分，再根據(jù)俯視圖與左視圖的數(shù)據(jù)可求得底面扇形的圓心角為120°，又由側(cè)視圖知幾何體的高為4，底面圓的半徑為2，把數(shù)據(jù)代入圓錐的體積公式計(jì)算【典例剖析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求體積，其中根據(jù)已知的三視圖分析出幾何體的形狀是解答的關(guān)鍵【題文】8.直角三角形的斜邊長為,則其內(nèi)切圓半徑的最大值為()A. B. C. D.【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理C8【答案】【解析】B解析：如圖所示：設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則r==，由正弦定理，得，∴a=2sinA，b=2sinB，∴r=sinA+sinB﹣1=sinA+cosA﹣1=sin（A+）﹣1，當(dāng)A=時(shí)r取得最大值1，故選B．【思路點(diǎn)撥】作出圖形，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則r==，利用正弦定理化邊為角，根據(jù)三角恒等變換可求．【題文】9.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)為圓：上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，其中，則線段長度的最小值為（）A．B．C．D．【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓H4【答案】【解析】A解析：設(shè)點(diǎn)，所以Q點(diǎn)在直線上，由于圓心為，到直線的距離為，所以長度的最小值為故A正確.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)Q的坐標(biāo)可得Q點(diǎn)在直線上，求出圓心坐標(biāo)，圓心到直線的距離減去半徑即可得結(jié)果.【題文】10.是同一球面上的四個(gè)點(diǎn),其中是正三角形,⊥平面，,則該球的表面積為()A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)】球的體積和表面積G8【答案】【解析】C解析：由題意畫出幾何體的圖形如圖，把A、B、C、D擴(kuò)展為三棱柱，上下底面中心連線的中點(diǎn)與A的距離為球的半徑，AD=4，AB=2，△ABC是正三角形，所以AE=2，AO=2．所求球的表面積為：4π（2）2=32π．故選C．【思路點(diǎn)撥】由題意把A、B、C、D擴(kuò)展為三棱柱如圖，求出上下底面中心連線的中點(diǎn)與A的距離為球的半徑，然后求出球的表面積【典例剖析】本題考查球的內(nèi)接體與球的關(guān)系，考查空間想象能力，利用割補(bǔ)法結(jié)合球內(nèi)接多面體的幾何特征求出球的半徑是解題的關(guān)鍵．【題文】11.已知定義在上的函數(shù)滿足①，②，③在上表達(dá)式為，則函數(shù)與函數(shù)的圖像在區(qū)間上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.5 B.6 C.7 D【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的圖象B8【答案】【解析】B解析：∵①f（x）+f（2﹣x）=0，②f（x）﹣f（﹣2﹣x）=0，∴f（x）圖象的對(duì)稱中心為（1，0），f（x）圖象的對(duì)稱軸為x=﹣1，結(jié)合③畫出f（x）和g（x）的部分圖象，如圖所示，據(jù)此可知f（x）與g（x）的圖象在[﹣3，3]上有6個(gè)交點(diǎn)．故選B．【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)①②知函數(shù)的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸，再分別畫出f（x）和g（x）的部分圖象，由圖象觀察交點(diǎn)的個(gè)數(shù)12．設(shè)等差數(shù)列滿足：，公差．若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值，則首項(xiàng)的取值范圍是（）A．B．C．D．【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．D2【答案】【解析】D解析：由，得：，即，由積化和差公式得：，整理得：，∴sin（3d）=﹣1．∵d∈（﹣1，0），∴3d∈（﹣3，0），則3d=，d=﹣．由=．對(duì)稱軸方程為n=，由題意當(dāng)且僅當(dāng)n=9時(shí)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取得最大值，∴，解得：．∴首項(xiàng)a1的取值范圍是．故選：D．【思路點(diǎn)撥】利用三角函數(shù)的倍角公式、積化和差與和差化積公式化簡已知的等式，根據(jù)公差d的范圍求出公差的值，代入前n項(xiàng)和公式后利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸的范圍求解首項(xiàng)a1取值范圍．【題文】二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知為單位向量，當(dāng)向量的夾角為時(shí)，在上的投影為.【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；平面向量數(shù)量積的含義與物理意義．F3C8【答案】【解析】解析：根據(jù)題意畫出圖形如下圖：設(shè)，根據(jù)余弦定理得：，所以,則在上的投影為，故答案為?！舅悸伏c(diǎn)撥】利用數(shù)量積運(yùn)算、投影的意義即可得出．【題文】14．已知點(diǎn)滿足不等式組，其中，則的最小值為__________．【知識(shí)點(diǎn)】簡單的線性規(guī)劃.E5【答案】【解析】-7解析：由題意畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖：易知當(dāng)直線過B（1,3）時(shí)，有最小值，最小值為z=-1-6=-7,故答案為-7.【思路點(diǎn)撥】先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，再結(jié)合圖像求出最小值即可?！绢}文】15.已知,函數(shù)在上單調(diào)遞減，則________．【知識(shí)點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象．C3【答案】【解析】2或3．解析：數(shù)f（x）=sin（ωx+）的單調(diào)遞減區(qū)間為：（k∈Z），解得：，所以：，解得：6k+≥，當(dāng)k=0時(shí)，ω=2或3，故答案為：2或3．【思路點(diǎn)撥】首先利用整體思想求出ω的范圍，進(jìn)一步求出整數(shù)值．【題文】16.定義函數(shù)，若存在常數(shù)，對(duì)于任意，存在唯一的，使得，則稱函數(shù)在上的“均值”為，已知，則函數(shù)在上的“均值”為________．【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)．B7【答案】【解析】解析：根據(jù)定義，函數(shù)，若存在常數(shù)，對(duì)于任意，存在唯一的，使得，則稱函數(shù)在上的“均值”為，令當(dāng)時(shí)，選定，可得：=，故答案為：【思路點(diǎn)撥】根據(jù)定義，令令，當(dāng)時(shí)，選定，可得的值?！绢}文】三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．【題文】17.（本小題滿分12分）已知分別是的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，.(1)求角的大??；(2)若的面積，求周長的最小值.【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理；余弦定理；基本不等式求最值.C8E6【答案】【解析】（1）；（2）解析：（1）中，∵，由正弦定理，得：，………….2分即，故………………4分…………….6分（2），且，…8分由余弦定理，得，又，………10分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為，的最小值為，所以周長的最小值為.………………….12分【思路點(diǎn)撥】（1）將正弦定理代入已知等式，用兩角和與差的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式得結(jié)果；(2)由（1）的結(jié)論和的面積得，，在由余弦定理得：，又，這兩個(gè)不等式中等號(hào)成立的條件都是b=c=2,所以得周長的最小值為.【題文】18．（本小題滿分12分）設(shè)公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，且構(gòu)成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)列求和.D2D3D4【答案】【解析】（1）2n-1；（2）.解析：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d（d≠0），∵a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列，∴aeq\o\al(2,5)＝a2a14，即(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，………1分解得d＝0（舍去），或d＝2．……..3分∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1．……………….5分(2)由(1)得當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，….……6分所以……10分…………12分【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)已知條件得關(guān)于公差d的方程求解；（2）由（1）得，要求的前項(xiàng)和，只需分別求前2n項(xiàng)中，奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，然后再把這兩部分相加即可.【題文】19.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐中，∥,，側(cè)面為等邊三角形..（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.【知識(shí)點(diǎn)】線線垂直二面角G5G11【答案】【解析】(1)略(2)-解析：(1)如圖取中點(diǎn)，連結(jié)，則四邊形為矩形，，連結(jié)，則，∥，平面，(2)依題意，，而，，故,，又，且，所以可建立如圖空間直角坐標(biāo)系.……………7分則,，，所以，設(shè)平面的法向量,平面的法向量,，即，令，則，于是又，即，令，則，于是………………….…10分.………………….…….11分故二面角的余弦值為-.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)條件可證明直線與平面垂直，所以直線與平面內(nèi)的所有直線垂直，再根據(jù)空間向量的關(guān)系證明兩個(gè)平面的法向量的角，進(jìn)而求出二面角的值.【題文】20．（本小題滿分12分）已知橢圓C:短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的連線構(gòu)成等邊三角形，直線與以橢圓C的上頂點(diǎn)為圓心，以橢圓C的長半軸長為半徑的圓相切.（1）求橢圓C的方程;（2）橢圓C與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線，分別與橢圓C交于，兩點(diǎn),分別為直線、的斜率，，求證：直線過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)坐標(biāo);（3）在（2）的條件下，求面積的最大值.【知識(shí)點(diǎn)】直線與橢圓的綜合問題H8【答案】【解析】(1)(2)(-1,0)(3)解析：（1）由橢圓C短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的連線構(gòu)成等邊三角形，則，……1分又因?yàn)橐詸E圓C的上頂點(diǎn)為圓心，以橢圓C的長半軸長為半徑的圓的方程為，所以圓心到直線的距離，………3分解得橢圓C的方程為.…………………4分(2)由題意可知直線斜率不為0，設(shè)直線的方程為，,聯(lián)立消去得，，，…………….5分，，即，，解得或（舍去）,直線的方程為,直線過定點(diǎn)(-1,0)(3)記直線與軸交點(diǎn)為，則坐標(biāo)為(-1,0)聯(lián)立消去得，，，,令，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，面積的最大值為.……………【思路點(diǎn)撥】由題中的條件可求出橢圓方程，再由直線與橢圓的聯(lián)立方程可求出直線方程，根據(jù)三角形的面積公式可列出關(guān)系式，利用不等式求出最大面積.21.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù),,（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）討論在其定義域上的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍.【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值。B12【答案】【解析】（1）見解析；（2）解析：（1）,令，，①當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)在上單調(diào)遞增；………………2分②當(dāng)時(shí)，，方程兩根為（?。┊?dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減；在上遞增；……