高中數(shù)學同步講義（人教A版必修一）：第14講 拓展二 基本不等式與對勾函數(shù)（學生版）

第07講拓展二基本不等式與對勾函數(shù)一、知識清單1、基本不等式常用技巧利用基本不等式求最值的變形技巧——湊、拆（分子次數(shù)高于分母次數(shù)）、除（分子次數(shù)低于分母次數(shù)）、代（1的代入）、解（整體解）.①湊：湊項，例：；湊系數(shù)，例：；②拆：例：；③除：例：；④1的代入：例：已知，求的最小值.解析：.⑤整體解：例：已知,是正數(shù)，且，求的最小值.解析：，即，解得.2、對勾函數(shù)對勾函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般雙曲函數(shù)，是形如：（）的函數(shù).由圖象得名，又被稱為：“雙勾函數(shù)”、“對號函數(shù)”、“雙飛燕函數(shù)”、“耐克函數(shù)”等.函數(shù)（）?？紝春瘮?shù)（）定義域定義域值域值域奇偶性奇函數(shù)奇偶性奇函數(shù)單調性在，上單調遞增；在，單調遞減單調性在，上單調遞增；在，單調遞減二、題型精講題型01直接法【典例1】（2023·高一課時練習）函數(shù)的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．4【典例2】（2023春·安徽六安·高一?？计谥校┤?，則（

）A．有最小值 B．有最大值C．有最小值2 D．有最大值2【典例3】（2023·湖南長沙·高二長郡中學?？紝W業(yè)考試）代數(shù)式取得最小值時對應的值為（

）A．2 B． C． D．【變式1】（2023秋·福建·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）已知，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式2】（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中學?？紝W業(yè)考試）函數(shù)的最小值為（

）A． B．2 C．2 D．4題型02湊配法【典例1】（2023·高一課時練習）若，則的最值情況是（

）A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值2【典例2】（2023·安徽安慶·安慶一中?？既＃┮阎秦摂?shù)滿足，則的最小值是___________.【典例3】（2023·高一課時練習）當時，不等式恒成立，則a的取值范圍是__________．【變式1】（2023春·內蒙古呼倫貝爾·高一校考開學考試）若，則函數(shù)的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式2】（2023春·山東德州·高二?？茧A段練習）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為__________.題型03分離法【典例1】（2023春·江蘇泰州·高二泰州中學?？茧A段練習）已知，則的最小值是A．2 B．3 C．4 D．5【典例2】（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的最大值為________.【典例3】（2023·全國·高三專題練習）已知，則函數(shù)的最小值是______．【變式1】（2022·江蘇·高一專題練習）當時，函數(shù)的最小值為（

）A． B．C． D．4【變式2】（2022秋·河北滄州·高一任丘市第一中學?？计谥校┙獯鹣铝袉栴}：(1)已知，求函數(shù)的最小值；(2)已知，求函數(shù)最小值．題型04換元法【典例1】（2023春·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？计谥校┮阎瑒t的最小值是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習）若實數(shù)滿足，則的最大值為________.【典例3】（2023·江蘇·高一專題練習）求下列函數(shù)的最小值（1）；（2）；（3）.【變式1】（2023·全國·高三專題練習）當時，的最小值為________.【變式2】（2023·全國·高三專題練習）（1）求函數(shù)的最小值及此時的值；（2）已知函數(shù)，，求此函數(shù)的最小值及此時的值.題型05常數(shù)代換“1”的代換【典例1】（2023·高一單元測試）設，且，則的最小值為__________．【典例2】（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考二模）若，則的值可以是__________．【典例3】（2023秋·重慶長壽·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為__________.【典例4】（2023·全國·高三專題練習）已知，且，則的最小值為______．【變式1】（2023春·浙江·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）正實數(shù)x，y滿足，則的最小值是（

）A．3 B．7 C． D．【變式2】（2023·山東日照·三模）設且，則的最小值為_________．【變式3】（2023春·廣東汕頭·高一金山中學?？计谥校┮阎龑崝?shù)滿足，則的最小值為__________.【變式4】（2023春·吉林長春·高二?？计谥校┮阎龜?shù)、滿足，則的最小值為_______.題型06消元法【典例1】（2023·全國·高三專題練習）若正實數(shù)x，y滿足x＋2y＋xy＝7，則x＋y的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值是（

）A． B．3 C． D．【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知，滿足，則的最小值是（）A． B． C．2 D．2【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值是（）A．2 B． C． D．6題型07對勾函數(shù)【典例1】（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的最小值為（

）A．2 B． C