大學(xué)物理學(xué)-機(jī)械波教案

大學(xué)物理學(xué)教案大學(xué)物理學(xué)授課章節(jié)第6章機(jī)械波教學(xué)目的1.理解波動(dòng)方程及其多種表達(dá)式。（1）確切理解描述波動(dòng)的三個(gè)重要參量：波長(zhǎng)、周期（頻率）、波速的物理意義，并能熟練地確定這些量；（2）掌握由波動(dòng)方程求位于某位置處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程或某時(shí)刻的波動(dòng)方程的方法，并能熟練地求出同一波線上兩點(diǎn)間的相位差，或同一位置處質(zhì)點(diǎn)不同時(shí)刻的振動(dòng)相位差；（3）掌握如何寫出波源不在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)的波動(dòng)方程的方法；（4）掌握由已知時(shí)刻的波形曲線寫出波動(dòng)方程，或?qū)懗觯ó嫵觯┠澄恢锰庂|(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程（振動(dòng)曲線）的方法。2.理解波動(dòng)能量的特點(diǎn)，理解平均能量密度、平均能流密度的概念及相關(guān)的計(jì)算；3.理解波動(dòng)疊加原理，掌握波的相干條件及相長(zhǎng)、相消干涉的條件；4.掌握駐波的振幅和相位的分布特點(diǎn)，理解半波損失的概念，掌握產(chǎn)生半波損失的條件；5.理解與多普勒效應(yīng)有關(guān)的問(wèn)題。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1.正確地由振動(dòng)方程寫出波動(dòng)方程，能將給定的波動(dòng)方程與波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式比較，從而獲得波振幅A，波動(dòng)角頻率（或周期T，頻率）、波長(zhǎng)（或波速度u）；2.理解波速與振動(dòng)速度的區(qū)別；3.能夠由波動(dòng)方程讀出波線上某點(diǎn)的振動(dòng)相位與坐標(biāo)原點(diǎn)的相位相比是超前還是滯后；4.由已知時(shí)刻的波形圖建立波動(dòng)方程（設(shè)傳播方向已知）；5.由已知點(diǎn)的振動(dòng)曲線建立波動(dòng)方程；6.能正確寫出反射波的波動(dòng)方程，從而形成駐波的方程。教學(xué)內(nèi)容備注第6章機(jī)械波波動(dòng)是振動(dòng)的傳播過(guò)程。機(jī)械波機(jī)械振動(dòng)的傳播波動(dòng)電磁波電磁場(chǎng)的傳播粒子波與微觀粒子對(duì)應(yīng)的波動(dòng)雖然各種波的本質(zhì)不同，但都具有一些相似的規(guī)律?！?.1機(jī)械波的形成和傳播機(jī)械波產(chǎn)生的條件波源作機(jī)械振動(dòng)的物體彈性介質(zhì)內(nèi)部各相鄰質(zhì)點(diǎn)間有彈性力相互聯(lián)系的氣體、液體或固體介質(zhì)。橫波與縱波橫波質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波的傳播方向相互垂直的波。縱波質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波的傳播方向平行的波。波線與波面波傳播到的空間稱為波場(chǎng)。波線用帶箭頭的線表示波的傳播方向，該線稱為波線。波源的振動(dòng)狀態(tài)沿著波線傳播到波場(chǎng)中的各質(zhì)點(diǎn)，引起各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)。振動(dòng)狀態(tài)的傳播也就是位相的傳播。波面波場(chǎng)中同一時(shí)刻振動(dòng)位相相同的點(diǎn)連成的面稱為波面。波前（波陣面）某時(shí)刻波場(chǎng)中最前面的那個(gè)波面，即該面上的位相等于波源開(kāi)始振動(dòng)時(shí)的位相。波線波前波面波前波線波前波面波前波線波面（a）平面波（b）球面波描述波動(dòng)的幾個(gè)物理量1、波長(zhǎng)：同一波線上位相差為2的兩質(zhì)點(diǎn)間的距離，即一個(gè)完整波的長(zhǎng)度，稱為波長(zhǎng)，用表示。周期和頻率：周期—波傳播一個(gè)波長(zhǎng)所需要的時(shí)間，或者說(shuō)，一個(gè)完整波通過(guò)波線上某點(diǎn)所需的時(shí)間，稱為波的周期，用表示；頻率—單位時(shí)間內(nèi)，波動(dòng)向前推進(jìn)的距離內(nèi)所包含的完整波的數(shù)目，或單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)波線上某點(diǎn)的完整波的數(shù)目，用表示。。波速：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)一定振動(dòng)狀態(tài)或位相沿波線傳播的距離。用u表示。。波速?zèng)Q定于介質(zhì)的彈性模量和密度。在固體中橫波與縱波的波速分別為（橫波），（縱波）。繩上或弦上的橫波波速?！?.2平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)一、沿x軸正向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)設(shè)有一平面簡(jiǎn)諧行波，在無(wú)吸收的均勻無(wú)限大介質(zhì)中沿x軸正向傳播，波速為u。取x軸為其一條波線，并任選波線上一點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)（注意：o不一定是波源）。如圖所示設(shè)原點(diǎn)處（x=0）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為，式中A是振幅，是圓頻率，是o點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的初位相，就是o點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)任意時(shí)刻t離開(kāi)其平衡位置的位移。當(dāng)振動(dòng)沿波線傳播到坐標(biāo)為x的p點(diǎn)時(shí)，p處質(zhì)點(diǎn)將以u(píng)uyxopx相同的振幅和頻率重復(fù)o點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，但振動(dòng)從o點(diǎn)傳到p點(diǎn)須經(jīng)歷的時(shí)間，即在波向x軸正向傳播時(shí)p點(diǎn)的振動(dòng)比o點(diǎn)的振動(dòng)在時(shí)間上落后，所以，p處質(zhì)點(diǎn)任意時(shí)刻t離開(kāi)自己平衡位置的位移等于原點(diǎn)在（）時(shí)刻的位移，即。所以，沿x軸正向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)是。因?yàn)?，，所以上面的波?dòng)方程也可寫成以下幾種形式：;;.二、波函數(shù)的物理意義如果x=x0為給定值，.這就是波線上x0處質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻t離開(kāi)自己平衡位置的位移。即x0處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。它在t=0時(shí)的位相為，表示x0處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)比原點(diǎn)的振動(dòng)始終落后一個(gè)位相。2、如果t=t0為給定值，只是x的函數(shù)，表示t=t0時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)各自平衡位置的位移分布情況，稱為t0時(shí)刻的波形方程。3、如果t，x都在變化，則t時(shí)刻波動(dòng)方程；t+時(shí)刻波動(dòng)方程。畫出t和t+時(shí)刻的波形，便可形象地看出波形向前傳播的圖象。波形向前傳播的速度等于波速u。由于波形向前傳播，x處質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻t和t+Δt的位移是不同的。但從上面的t時(shí)刻波形和t+Δt時(shí)刻波形可以看出：，即，或直接用位相表示為。上式表明：x處質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)（或位相），經(jīng)過(guò)時(shí)間Δt正好傳播到x+Δx=x+uΔt處。故波速就是位相的傳播速度。三、質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度和加速度振動(dòng)速度:；振動(dòng)加速度:。可見(jiàn)，各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度也是隨坐標(biāo)x和時(shí)間t作簡(jiǎn)諧規(guī)律變化的，它與波速是兩個(gè)完全不同的概念，應(yīng)嚴(yán)格區(qū)別開(kāi)來(lái)。四、沿x軸負(fù)方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)如果平面簡(jiǎn)諧波沿x軸負(fù)方向傳播，則沿x軸正向各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位相依次超前，坐標(biāo)為x處的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)比坐標(biāo)原點(diǎn)o的振動(dòng)總是超前一段時(shí)間，即x處質(zhì)點(diǎn)t時(shí)刻的位移等于o處質(zhì)點(diǎn)在t+Δt時(shí)刻的位移。設(shè)o處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)仍為，則任意坐標(biāo)x處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為，這就是沿x軸負(fù)向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)。因?yàn)?，，所以上面的波?dòng)方程也可寫成以下幾種形式：；；.例1：一平面簡(jiǎn)諧波沿x軸正向傳播，其振幅和圓頻率分別為和，波速為u，設(shè)時(shí)的波形曲線如圖所示。(1)寫出此波的波動(dòng)方程；(2)求距o點(diǎn)分別為/8和3/8兩處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；(3)求距o點(diǎn)分別為/8和3/8兩處質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的振動(dòng)速度。yu0Px解：（1）由圖可知yu0Px可求出從而獲得波動(dòng)方程是：（2）在/8處同理，在3/8處，（3）時(shí)，處速度處速度例2：一平面波在介質(zhì)中以速度u=20m?s-1沿直線傳播，在A點(diǎn)的振動(dòng)方程為，如圖所示。（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程并求出C、D兩點(diǎn)的振動(dòng)方程；（2）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程并求出C、D兩點(diǎn)的振動(dòng)方程。8m5m9muCBADx解已知8m5m9muCBADx∵A點(diǎn)的振動(dòng)方程為，∴位于x處的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程即波動(dòng)方程。xc=-13m，C點(diǎn)振動(dòng)方程是；xD=9m，D點(diǎn)振動(dòng)方程是。（2）以B為原點(diǎn)，∵xB=-5m，∴B點(diǎn)振動(dòng)方程此時(shí)波動(dòng)方程為；其中是波線上任一點(diǎn)以B為原點(diǎn)的坐標(biāo)?！摺郈點(diǎn)振動(dòng)方程；∴D點(diǎn)振動(dòng)方程?？梢?jiàn)，波動(dòng)方程的表達(dá)式與坐標(biāo)原點(diǎn)的選擇有關(guān)而各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程（即各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)情況）與坐標(biāo)原點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)。例3：一個(gè)沿x軸正向傳播的平面簡(jiǎn)諧波（用余弦函數(shù)表示）在t=0時(shí)的波形曲線如圖所示。（1）原點(diǎn)0和2，3，各點(diǎn)的振動(dòng)初位相各是多少？（2）畫出t=T/4時(shí)的波形曲線。01234x01234xyut=0解：（1）由各點(diǎn)位置可求出初位相是0點(diǎn)；2點(diǎn)；3點(diǎn)；01234xy01234xyt=T/4時(shí)的波形曲線例4：如圖，一平面簡(jiǎn)諧波沿ox軸正方向傳播，波長(zhǎng)為，若p1點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為，則P2點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為；與P1點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)相同的那些點(diǎn)的位置是。P1oP2xL1LP1oP2xL1L2(2)(k=1,2,…)∴§6.3波的能量波的能量和能量密度以平面簡(jiǎn)諧彈性縱波在細(xì)長(zhǎng)棒中傳播為例。如圖所示，有一密度為的細(xì)長(zhǎng)棒沿ox軸放置，一列平面簡(jiǎn)諧縱波以波速u沿著棒長(zhǎng)方向傳播時(shí)，棒中每一小段都受到壓縮和拉伸。設(shè)波動(dòng)方程為：固體細(xì)長(zhǎng)棒中縱波的傳播在坐標(biāo)為x處取一小體積元dV=sdx，其質(zhì)量為，當(dāng)波傳到該體積元時(shí)，這部分介質(zhì)的速率隨時(shí)間變化，其振動(dòng)動(dòng)能；同時(shí)，體積元因形變而具有彈性勢(shì)能，可以證明體積元的彈性勢(shì)能；體積元的總能量。以上結(jié)果表明：1)波動(dòng)傳播過(guò)程中，任一時(shí)刻、任一體積元的動(dòng)能和勢(shì)能不僅大小相等，而且位相相同，即兩者總是隨時(shí)間同步變化。2）波動(dòng)能量和振動(dòng)能量有根本區(qū)別。振動(dòng)過(guò)程系統(tǒng)的機(jī)械能守恒；對(duì)波動(dòng)來(lái)說(shuō)，任一體積元都與周圍質(zhì)點(diǎn)交換能量，能量不守恒，即能量隨著波動(dòng)的傳播而傳播。3）對(duì)振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，位移最大時(shí)、速度為零，振動(dòng)勢(shì)能最大、動(dòng)能為零；質(zhì)點(diǎn)通過(guò)平衡位置時(shí)，位移為零、速度最大，振動(dòng)勢(shì)能為零、動(dòng)能最大。而對(duì)于波動(dòng)中的任一體積元來(lái)說(shuō)，位移最大時(shí)、相對(duì)形變?yōu)榱?、速度為零，所以?dòng)能和勢(shì)能均為零；當(dāng)體積元在位移為零（即平衡位置）時(shí)，相對(duì)形變和速度都是最大，所以勢(shì)能和動(dòng)能均最大。介質(zhì)中單位體積內(nèi)的能量叫能量密度，用ω表示。它在一個(gè)周期內(nèi)的平均值叫平均能量密度。二、波的能流和能流密度1、能流、平均能流：能流——單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)介質(zhì)中某一面積的能量稱為通過(guò)該面積的能流。如圖所示，s為垂直于波速u的平面，則單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)s面的能量平均來(lái)說(shuō)等于以s為底、u為長(zhǎng)度的體積內(nèi)的能量，即稱為通過(guò)s面的平均能流。式中為平均能量密度，對(duì)簡(jiǎn)諧波，所以2、平均能流密度：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直于波的傳播方向的單位面積上的平均能量，稱為平均能流密度，一般用I表示，即。由此可見(jiàn)，平均能流密度I與振幅的平方成正比，是波的強(qiáng)弱的一種量度，因而也稱為波的強(qiáng)度。三、波的吸收1、無(wú)吸收的均勻介質(zhì)中，波的振幅保持不變；如下圖，通過(guò)面積S1和S2的平均能流相等。即所以即A1=A22、波的吸收波動(dòng)在均勻介質(zhì)中傳播時(shí)，介質(zhì)總要吸收一部分波的能量而轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌问降哪芰?，所以波的振幅將沿著波的傳播方向逐漸減小。實(shí)驗(yàn)指出：當(dāng)平面波通過(guò)極薄的一層介質(zhì)（厚度為dx）后，振幅減少-dA與波進(jìn)入介質(zhì)薄層時(shí)的振幅A及薄層厚度dx成正比：，式中為常數(shù)，稱為介質(zhì)的吸收系數(shù)，積分可得：。A0和A分別為x=0和x=x處波的振幅。由于波的強(qiáng)度與波的振幅的平方成正比，所以波的強(qiáng)度衰減的規(guī)律為：I0和I分別為x=0和x=x處波的強(qiáng)度?！?.4惠更斯原理波的疊加和干涉惠更斯原理1惠更斯原理：介質(zhì)中波動(dòng)傳播到的各點(diǎn)都可以看作是發(fā)射子波的波源，其后任一時(shí)刻，這些子波的包跡就是新的波陣面。2用惠更斯原理確定新的波陣面：從以上圖中可看出：當(dāng)波在均勻各向同性介質(zhì)中傳播時(shí)，波陣面的幾何形狀總保持不變，波的傳播方向也保持不變。波的衍射1、波衍射的概念：波動(dòng)在傳播過(guò)程中遇到障礙物時(shí)，其傳播方向發(fā)生變化，能繞過(guò)障礙物邊緣繼續(xù)前進(jìn)的現(xiàn)象；也叫波的繞射。2、產(chǎn)生衍射的條件：當(dāng)障礙物的線度d與波長(zhǎng)之比越小時(shí)，衍射現(xiàn)象越顯著；當(dāng)比值越大時(shí)，衍射現(xiàn)象越不顯著。下圖表示波在狹逢處的衍射，在靠近縫邊緣處，波陣面發(fā)生了彎曲，即波的傳播方向改變了，表明波動(dòng)能繞過(guò)障礙物邊緣傳播、產(chǎn)生了衍射現(xiàn)象。dd波在狹逢處的衍射實(shí)際上，波的衍射現(xiàn)象不僅僅是繞彎現(xiàn)象，而且還涉及到波場(chǎng)中能量的重新分布。關(guān)于能量的分布問(wèn)題將在光學(xué)中通過(guò)惠更斯—菲涅耳原理來(lái)介紹。波的疊加原理1）獨(dú)立性：當(dāng)幾列波在介質(zhì)中相遇重疊時(shí)，它們各自的頻率、波長(zhǎng)、振幅均不會(huì)相互影響，都各自獨(dú)立地進(jìn)行傳播、就好象傳播過(guò)程中沒(méi)有彼此相遇一樣，這就稱為波的獨(dú)立性。2）波的疊加原理：當(dāng)幾列波在介質(zhì)中相遇時(shí)，每一列波都將引起相遇處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，因此，相遇處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)將是每列波在該點(diǎn)引起的分振動(dòng)的疊加，即任一時(shí)刻相遇處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位移等于每列波在該點(diǎn)引起的分位移的矢量和。波的疊加原理和波動(dòng)方程為線性微分方程是一致的。波的干涉干涉現(xiàn)象：兩個(gè)頻率相同、振動(dòng)方向相同、位相相同或位相差恒定的波源發(fā)出的兩列波在空間相遇時(shí)，使空間某些點(diǎn)的振動(dòng)始終加強(qiáng)，而另一些點(diǎn)的振動(dòng)始終減弱或完全抵消的現(xiàn)象。滿足頻率相同、振動(dòng)方向相同、位相相同或位相差恒定三個(gè)條件的波源稱為相干波源；由這樣兩個(gè)波源發(fā)出的兩列波稱為相干波。1）、干涉加強(qiáng)或減弱的條件：設(shè)相干波源S1，S2的振動(dòng)方程分別為，；S1S2r1r2S1S2r1r2P，，P點(diǎn)的合振動(dòng)為：。合振動(dòng)的振幅A由下式?jīng)Q定：，因?yàn)椴ǖ膹?qiáng)度正比于振幅的平方，所以，式中是P點(diǎn)處兩個(gè)分振動(dòng)的位相差，是兩個(gè)相干波源的位相差，為一常量；（r2–r1）為兩波源發(fā)出的波傳播到p的幾何路程之差，稱為波程差，是因傳播路程不同而產(chǎn)生的位相差，對(duì)于空間任一給定的P點(diǎn)，它也是常量。因此，空間任一給定的P點(diǎn)的兩個(gè)分振動(dòng)的位相差也是恒定的，該點(diǎn)的合振幅A或強(qiáng)度I也是一定的。所以，在兩列相干波相遇的區(qū)域會(huì)出現(xiàn)振幅A或強(qiáng)度I不均勻的、穩(wěn)定的干涉圖樣。當(dāng)，（K=0，1，2，…）的空間各點(diǎn)：，。干涉加強(qiáng)或干涉相長(zhǎng)當(dāng)，（K=0，1，2，…）的空間各點(diǎn)，。干涉減弱或干涉相消如果，上述干涉加強(qiáng)和干涉減弱的條件可簡(jiǎn)化為干涉加強(qiáng)或干涉相長(zhǎng)干涉減弱或干涉相消以上表明，當(dāng)兩波源同位相時(shí)，在兩列波的疊加區(qū)域內(nèi)，波程差等于零或半波長(zhǎng)的的偶數(shù)倍的各點(diǎn)，振幅和強(qiáng)度最大；波程差等于半波長(zhǎng)的的奇數(shù)倍的各點(diǎn)，振幅和強(qiáng)度最小。以上討論的是滿足相干條件的兩列波的相干疊加。而不滿足相干條件的兩列波相遇時(shí)只是非相干疊加。此時(shí)空間任一點(diǎn)的合成波的強(qiáng)度就等于兩列波強(qiáng)度的代數(shù)和，即。例5：如圖所示，S1和S2為兩相干波源，振幅均為A1，相距，S1較S2位相超前，求：（1）S1外側(cè)各點(diǎn)的合振幅和強(qiáng)度；（2）S2外側(cè)各點(diǎn)的合振幅和強(qiáng)度。PPr1S1S2r2Qλ/4解：（1）設(shè)S1外側(cè)任一點(diǎn)為P，P到S1的距離為r1，則到達(dá)P點(diǎn)的兩列波的位相差所以，S1外側(cè)各點(diǎn)合振幅A=0，合振動(dòng)強(qiáng)度I=0。（2）同理，設(shè)S2外側(cè)任一點(diǎn)為Q，Q到S2的距離為r2，則到達(dá)Q點(diǎn)的兩列波的位相差所以，S2外側(cè)各點(diǎn)合振幅A=2A1，合振動(dòng)強(qiáng)度I=4I1?！?.5駐波駐波的形成1、概念：在同一介質(zhì)中，兩列振幅相同的相干平面簡(jiǎn)諧波，在同一直線上沿相反方向傳播時(shí)疊加形成的波稱為駐波。2、駐波的演示實(shí)驗(yàn)如下圖，音叉在繃緊的弦上產(chǎn)生駐波，固定點(diǎn)B總是波節(jié)。3、從兩波波形圖的疊加看駐波的形成：觀察演示；4、駐波方程：兩波波動(dòng)方程分別為即這兩列波在t=0時(shí)刻，x=0處的初位相均為零。則合成波的波動(dòng)方程為5、駐波特點(diǎn)：a、波線上各點(diǎn)有不同的振幅，在上述的駐波方程中，位于x處的質(zhì)點(diǎn)其振幅為；b、波節(jié)和波腹——波線上始終不動(dòng)（振幅為零）的點(diǎn)，稱為波節(jié)；波線上振幅最大的點(diǎn)，稱為波幅；兩個(gè)相鄰的波節(jié)（或波腹）之間的距離為；c、線上各點(diǎn)分段振動(dòng)，同一分段各點(diǎn)位相相同；相鄰兩分段位相相反；二、波在兩種界面上的反射1、半波損失——當(dāng)波從波疏介質(zhì)（介質(zhì)密度ρ與波速u的乘積較小的介質(zhì)）垂直入射到波密介質(zhì)（介質(zhì)密度ρ與波速u的乘積較大的介質(zhì)）時(shí)，在界面上反射波與入射波的位相相反，稱為有半波損失；當(dāng)波從波密介質(zhì)入射到波疏介質(zhì)時(shí)，在界面上反射波與入射波的位相相同，沒(méi)有半波損失。2、入射波和反射波在兩種界面上的合成：當(dāng)存在半波損失時(shí)，界面上是波節(jié)；當(dāng)沒(méi)有半波損失時(shí)，界面上是波腹。例6：一簡(jiǎn)諧波沿軸正向傳播，圖中所示為該波t時(shí)刻的波形圖，欲沿軸形成駐波，且使原點(diǎn)處出現(xiàn)波節(jié)，畫出另一簡(jiǎn)諧波t時(shí)刻的波形圖。u右行波t時(shí)刻波形ou右行波t時(shí)刻波形oxoxu左行波t時(shí)刻波形右行波（t+T/4）時(shí)刻波左行波（t+T/4）時(shí)刻波形例如圖所示，沿軸正向傳播的平面簡(jiǎn)諧波方程為，兩種介質(zhì)的分界面P與坐標(biāo)原點(diǎn)o相距，入射波在界面上反射后振幅無(wú)變化，且反射處為固定端。求：（1）反射波方程；（2）駐波方程；（3）在o與P之間各個(gè)波節(jié)和波腹點(diǎn)的坐標(biāo)。解：（1）由入射波方程可知頻率，波長(zhǎng)，反射波的振幅、頻率、波速均與入射波相同。入射波在界面處的振動(dòng)方程因?yàn)榉瓷潼c(diǎn)是固定端，所以反射波在P點(diǎn)處的振動(dòng)位相與入射波在該點(diǎn)的振動(dòng)位相相反，即P點(diǎn)處的反射波振動(dòng)方程為。反射波以波速向軸負(fù)向傳播，所以反射波波動(dòng)方程為駐波方程為（3）由得波節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為。由得波腹點(diǎn)的坐標(biāo)為?！?.6多普勒效應(yīng)一、多普勒效應(yīng)的概念當(dāng)波源或觀察者、或者兩者同時(shí)相對(duì)于介質(zhì)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀察者接收到的波的頻率與波源的振動(dòng)頻率不同的現(xiàn)象稱為多普勒效應(yīng)。二、觀察者接收到的波的頻率ssuVs1、波源不動(dòng)、觀察者以相對(duì)于介質(zhì)運(yùn)動(dòng)：設(shè)觀察者向著波源運(yùn)動(dòng)，即，則在單位時(shí)間內(nèi)觀察者接收到的完整波的數(shù)目即觀察者實(shí)際接收到的波的頻率。當(dāng)觀察者向著波源運(yùn)動(dòng)時(shí)，接收到的頻率為波源振動(dòng)頻率的倍；當(dāng)觀察者遠(yuǎn)離波源運(yùn)動(dòng)時(shí)，，接收到的頻率比波源振動(dòng)頻率小。2、觀察者不動(dòng)、波源以速度相對(duì)于介質(zhì)運(yùn)動(dòng)：如圖所示，假設(shè)波源以速度向著觀察者運(yùn)動(dòng)。因?yàn)椴ㄋ倥c波源運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)，所以在波源振動(dòng)的一個(gè)周期里，波向前傳播的距離等于一個(gè)波長(zhǎng)，但波源S在一個(gè)周期里在波的傳播方向上移動(dòng)了的距離到達(dá)點(diǎn)，結(jié)果使得一個(gè)完整波被擠壓在之間，相當(dāng)于波長(zhǎng)減少為。因此，觀察者單位時(shí)間里接收到的完整波的數(shù)目，即觀察者接收到的頻率為。當(dāng)波源向著觀察者運(yùn)動(dòng)時(shí)，，觀察者接收到的頻率為波源振動(dòng)頻率的倍，比波源頻率要高；若波源遠(yuǎn)離觀察者運(yùn)動(dòng)，觀察者接收到的頻率比波源頻率要低。3、波源和觀察者同時(shí)相對(duì)于介質(zhì)運(yùn)動(dòng)：這時(shí)，相對(duì)于觀察者來(lái)說(shuō)，波的速率變?yōu)?；同時(shí)波長(zhǎng)變?yōu)?，綜合兩個(gè)結(jié)果，當(dāng)波源和觀察者同時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀察者接收到波的頻率為；式中，當(dāng)波源與觀察者相互接近時(shí)，、取正值，遠(yuǎn)離時(shí)、取負(fù)值?？傊?，在多普勒效應(yīng)中，不論波源還是觀察者運(yùn)動(dòng)，或兩者都運(yùn)動(dòng)，當(dāng)波源和觀察者相互接近時(shí)，觀察者接收到的頻率總是大于波源振動(dòng)頻率；當(dāng)波源和觀察者遠(yuǎn)離時(shí)，觀察者接收到的頻率總是小于波源振動(dòng)頻率。三、光波（包括電磁波）的多普勒效應(yīng)電磁波的傳播不需要介質(zhì)，所以只是光源和觀察者的相對(duì)速度決定觀察者接收到的頻率。由相對(duì)論可以證明，當(dāng)光源和觀察者在一條直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀察者接收到的頻率為，；例7：汽車駛過(guò)車站時(shí)，車站上的觀測(cè)者測(cè)得汽笛聲的頻率由1200赫茲變到了1000赫茲，設(shè)空氣中的聲速為330，求汽車的速率。解：設(shè)汽車的速率為、聲速為，汽笛聲的振動(dòng)頻率為，汽車向著車站駛來(lái)時(shí)觀測(cè)者測(cè)得的汽笛聲的頻率為1200赫茲；汽車遠(yuǎn)離車站駛?cè)r(shí)觀測(cè)者測(cè)得的汽笛聲的頻率為1000赫茲；則，；兩式相除；解出，即汽車的速率為。*§6.7色散波包群速度一、波的疊加波包1、單色波、波包:頻率單一的波叫單色波。由一群?jiǎn)紊ńM成的有限長(zhǎng)的波列叫波包。平面簡(jiǎn)諧波就是單色波，它的波列是無(wú)限長(zhǎng)的。根據(jù)付立葉分解的觀點(diǎn)，有限長(zhǎng)的波列相當(dāng)于許多單色波的疊加。由這樣一群?jiǎn)紊ńM成的波列叫波包。例如，前面講到的“