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第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1直線與平面垂直的判定ABABABABABABABABABCC1B1AB1.直線與平面垂直的定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則稱直線l和平面α互相垂直,記作：l⊥α.

直線l叫做平面α的垂線,平面α叫做直線l的垂面.

直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足.lPα直線l的垂面垂足平面α的垂線思考（1）如果l⊥α，a

α，那么l⊥a嗎？（2）如果直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，那么l⊥α嗎？（3）如果直線l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直，那么l⊥α嗎？（4）如果直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，那么

l⊥α嗎？abα思考（5）過(guò)⊿ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD，DC與桌面接觸).

①折痕AD與桌面垂直嗎？

②如何翻折才能使折痕AD與桌面所在平面α垂直？αDBACABDC2.直線與平面垂直的判定定理：

一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．(線線垂直線面垂直)2條交線符號(hào)表示：a⊥ma⊥nmαnαm∩n=Pa⊥α例1

如圖，已知a∥b，a⊥α，求證：b⊥α.分析：要證明線面垂直只需證明線線垂直，即在平面α內(nèi)找兩條相交直線垂直于直線b

.mnb證明：作m∩n=P，且m

α，n

αP∵a⊥α，m

α，n

α∴a⊥m，a⊥n∵a∥b∴b⊥m，b⊥n∵m∩n=P，且m

α，n

α∴b⊥α3.直線與平面所成的角：一條直線PA和一個(gè)平面α相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線,斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足.

過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線PO，過(guò)垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影.

PO斜線垂線垂足斜足A射影平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.3.直線與平面所成的角：一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0

的角。直線和平面所成角的范圍是[0

，90

]。例2

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線A1B和平面A1B1CD所成的角.A1B1C1D1ABCD分析：找出直線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，就可以求出A1B和平A1B1CD所成的角.證明：連結(jié)BC1，交B1C于O，連結(jié)A1O.

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a.O求線面成角的三步：一作，二

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