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文檔簡介
(教師用書獨(dú)具)平面向量的線性運(yùn)算1.向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)向量,因此對它們的運(yùn)算法則、運(yùn)算律的理解和運(yùn)用要注意大小、方向兩個(gè)方面.2.向量共線定理和平面向量基本定理是進(jìn)行向量合成與分解的核心,是向量線性運(yùn)算的關(guān)鍵所在,常應(yīng)用它們解決平面幾何中的共線問題、共點(diǎn)問題.3.題型主要有證明三點(diǎn)共線、兩線段平行、線段相等、求點(diǎn)或向量的坐標(biāo)等.【例1】如圖,在△ABC中,點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn),E是中線CM的中點(diǎn),AE的延長線交BC于F.MH∥AF交BC于H.求證:eq\o(HF,\s\up8(→))=eq\o(BH,\s\up8(→))=eq\o(FC,\s\up8(→)).[思路探究]選擇兩不共線向量作基底,然后用基底向量表示出eq\o(HF,\s\up8(→))、eq\o(BH,\s\up8(→))與eq\o(FC,\s\up8(→))即可證得.[證明]設(shè)eq\o(BM,\s\up8(→))=a,eq\o(MH,\s\up8(→))=b,則eq\o(BH,\s\up8(→))=a+b,eq\o(HF,\s\up8(→))=eq\o(HB,\s\up8(→))+eq\o(BA,\s\up8(→))+eq\o(AF,\s\up8(→))=-eq\o(BH,\s\up8(→))+2eq\o(BM,\s\up8(→))+2eq\o(MH,\s\up8(→))=-a-b+2a+2b=a+beq\o(FC,\s\up8(→))=eq\o(FE,\s\up8(→))+eq\o(EC,\s\up8(→))=eq\f(1,2)eq\o(HM,\s\up8(→))+eq\o(ME,\s\up8(→))=-eq\f(1,2)eq\o(MH,\s\up8(→))+eq\o(MA,\s\up8(→))+eq\o(AE,\s\up8(→))=-eq\f(1,2)b+eq\o(BM,\s\up8(→))+eq\o(AF,\s\up8(→))-eq\o(EF,\s\up8(→))=-eq\f(1,2)b+a+2eq\o(MH,\s\up8(→))-eq\f(1,2)eq\o(MH,\s\up8(→))=-eq\f(1,2)b+a+2b-eq\f(1,2)b=a+b.綜上,得eq\o(HF,\s\up8(→))=eq\o(BH,\s\up8(→))=eq\o(FC,\s\up8(→)).1.如圖,平行四邊形ABCD中,點(diǎn)M在AB的延長線上,且BM=eq\f(1,2)AB,點(diǎn)N在BC上,且BN=eq\f(1,3)BC,求證:M,N,D三點(diǎn)共線.[證明]設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))=e1,eq\o(AD,\s\up8(→))=e2,則eq\o(BC,\s\up8(→))=eq\o(AD,\s\up8(→))=e2,∵eq\o(BN,\s\up8(→))=eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up8(→))=eq\f(1,3)e2,eq\o(BM,\s\up8(→))=eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))=eq\f(1,2)e1,∴eq\o(MN,\s\up8(→))=eq\o(BN,\s\up8(→))-eq\o(BM,\s\up8(→))=eq\f(1,3)e2-eq\f(1,2)e1,又∵eq\o(MD,\s\up8(→))=eq\o(AD,\s\up8(→))-eq\o(AM,\s\up8(→))=e2-eq\f(3,2)e1=3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)e2-\f(1,2)e1))=3eq\o(MN,\s\up8(→)),∴向量eq\o(MN,\s\up8(→))與eq\o(MD,\s\up8(→))共線,又M是公共點(diǎn),故M,N,D三點(diǎn)共線.平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積是由物理問題中的做功問題引入的,向量數(shù)量積的結(jié)果是一個(gè)數(shù)量,根據(jù)定義式可知,當(dāng)向量夾角為銳角、鈍角和直角時(shí),其結(jié)果分別為正值、負(fù)值和零,零向量與任何一個(gè)向量的數(shù)量積均為零.平面向量的數(shù)量積是向量的核心內(nèi)容,通過向量的數(shù)量積考查向量的平行、垂直等關(guān)系,利用向量的數(shù)量積可以計(jì)算向量的夾角和長度.【例2】非零向量a,b滿足(a+b)⊥(2a-b),(a-2b)⊥(2a+b),求a,[思路探究]eq\x(由a+b⊥2a-b,a-2b⊥2a+b列出方程組)→eq\x(求出|a|2,|b|2,a·b的關(guān)系)→eq\x(利用夾角公式可求)[解]由(a+b)⊥(2a-b),(a-2b)⊥(2a+b),得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2|a|2-|b|2+a·b=0,,2|a|2-2|b|2-3a·b=0,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a|2=-\f(5,2)a·b,,|b|2=-4a·b,))所以|a||b|=-eq\r(10)a·b,所以cosθ=eq\f(a·b,|a||b|)=-eq\f(\r(10),10).2.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,AP⊥BD,垂足為P,且AP=3,則eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))=________.18[∵eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))=eq\o(AP,\s\up8(→))·(eq\o(AB,\s\up8(→))+eq\o(BC,\s\up8(→)))=eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))+eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))=eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))+eq\o(AP,\s\up8(→))·(eq\o(BD,\s\up8(→))+eq\o(DC,\s\up8(→)))=eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(BD,\s\up8(→))+2eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→)),∵AP⊥BD,∴eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(BD,\s\up8(→))=0.∵eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))=|eq\o(AP,\s\up8(→))||eq\o(AB,\s\up8(→))|cos∠BAP=|eq\o(AP,\s\up8(→))|2,∴eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))=2|eq\o(AP,\s\up8(→))|2=2×9=18.]向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.向量的坐標(biāo)表示實(shí)際上是向量的代數(shù)表示.引入向量的坐標(biāo)表示后,向量的運(yùn)算完全化為代數(shù)運(yùn)算,實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的統(tǒng)一.2.向量的坐標(biāo)運(yùn)算是將幾何問題代數(shù)化的有力工具,它是轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法的具體體現(xiàn).3.通過向量坐標(biāo)運(yùn)算主要解決求向量的坐標(biāo)、向量的模、夾角判斷共線、平行、垂直等問題.【例3】已知向量eq\o(AB,\s\up8(→))=(4,3),eq\o(AD,\s\up8(→))=(-3,-1),點(diǎn)A(-1,-2).(1)求線段BD的中點(diǎn)M的坐標(biāo);(2)若點(diǎn)P(2,y)滿足eq\o(PB,\s\up8(→))=λeq\o(BD,\s\up8(→))(λ∈R),求y與λ的值.[思路探究](1)先求B,D點(diǎn)的坐標(biāo),再求M點(diǎn)坐標(biāo);(2)由向量相等轉(zhuǎn)化為y與λ的方程求解.[解](1)設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x1,y1).∵eq\o(AB,\s\up8(→))=(4,3),A(-1,-2),∴(x1+1,y1+2)=(4,3),∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1+1=4,,y1+2=3,))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1=3,,y1=1,))∴B(3,1).同理可得D(-4,-3).設(shè)線段BD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x2,y2),則x2=eq\f(3-4,2)=-eq\f(1,2),y2=eq\f(1-3,2)=-1,∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),-1)).(2)由已知得eq\o(PB,\s\up8(→))=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),eq\o(BD,\s\up8(→))=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).又eq\o(PB,\s\up8(→))=λeq\o(BD,\s\up8(→)),∴(1,1-y)=λ(-7,-4),則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1=-7λ,,1-y=-4λ,))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ=-\f(1,7),,y=\f(3,7).))3.已知△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC邊上的高為AD,求eq\o(AD,\s\up8(→)).[解]設(shè)D(x,y),則eq\o(AD,\s\up8(→))=(x-2,y+1),eq\o(BD,\s\up8(→))=(x-3,y-2),eq\o(BC,\s\up8(→))=(-6,-3),∵eq\o(AD,\s\up8(→))⊥eq\o(BC,\s\up8(→)),∴eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))=0,則有-6(x-2)-3(y+1)=0,①∵eq\o(BD,\s\up8(→))∥eq\o(BC,\s\up8(→)),則有-3(x-3)+6(y-2)=0,②解由①②構(gòu)成的方程組得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=1,,y=1,))則D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),所以eq\o(AD,\s\up8(→))=(-1,2).平面向量的應(yīng)用1.向量在平面幾何中的應(yīng)用,向量的加減運(yùn)算遵循平行四邊形法則或三角形法則,數(shù)乘運(yùn)算和線段平行之間、數(shù)量積運(yùn)算和垂直、夾角、距離問題之間聯(lián)系密切,因此用向量方法可以解決平面幾何中的相關(guān)問題.2.向量在解析幾何中的應(yīng)用,主要利用向量平行與垂直的坐標(biāo)條件求直線的方程.3.在物理中的應(yīng)用,主要解決力向量、速度向量等問題.【例4】已知正方形ABCD,E、F分別是CD、AD的中點(diǎn),BE、CF交于點(diǎn)P.求證:(1)BE⊥CF;(2)AP=AB.[證明]如圖建立直角坐標(biāo)系,其中A為原點(diǎn),不妨設(shè)AB=2,則A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(xiàn)(0,1).(1)eq\o(BE,\s\up8(→))=eq\o(OE,\s\up8(→))-eq\o(OB,\s\up8(→))=(1,2)-(2,0)=(-1,2),eq\o(CF,\s\up8(→))=eq\o(OF,\s\up8(→))-eq\o(OC,\s\up8(→))=(0,1)-(2,2)=(-2,-1).∵eq\o(BE,\s\up8(→))·eq\o(CF,\s\up8(→))=-1×(-2)+2×(-1)=0,∴eq\o(BE,\s\up8(→))⊥eq\o(CF,\s\up8(→)),即BE⊥CF.(2)設(shè)P(x,y),則eq\o(FP,\s\up8(→))=(x,y-1),eq\o(CF,\s\up8(→))=(-2,-1),∵eq\o(FP,\s\up8(→))∥eq\o(CF,\s\up8(→)),∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.同理由eq\o(BP,\s\up8(→))∥eq\o(BE,\s\up8(→)),得y=-2x+4,代入x=2y-2.解得x=eq\f(6,5),∴y=eq\f(8,5),即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5),\f(8,5))).∴eq\o(AP,\s\up8(→))2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))eq\s\up8(2)+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)))eq\s\up8(2)=4=eq\o(AB,\s\up8(→))2,∴|eq\o(AP,\s\up8(→))|=|eq\o(AB,\s\up8(→))|,即AP=AB.4.已知三個(gè)點(diǎn)A(2,1),B(3,2),D(-1,4).(1)求證:AB⊥AD;(2)要使四邊形ABCD為矩形,求點(diǎn)C的坐標(biāo),并求矩形ABCD的兩對角線所夾的銳角的余弦值.[解](1)證明:∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),∴eq\o(AB,\s\up8(→))=(1,1),eq\o(AD,\s\up8(→))=(-3,3),∴eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))=1×(-3)+1×3=0,∴eq\o(AB,\s\up8(→))⊥eq\o(AD,\s\up8(→)),即AB⊥AD.(2)∵四邊形ABCD為矩形,∴eq\o(AB,\s\up8(→))⊥eq\o(AD,\s\up8(→)),eq\o(AB,\s\up8(→))=eq\o(DC,\s\up8(→)).設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),則eq\o(AB,\s\up8(→))=(1,1),eq\o(DC,\s\up8(→))=(x+1,y-4),∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+1=1,,y-4=1,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=0,,y=5,))∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,5).從而eq\o(AC,\s\up8(→))=(-2,4),eq\o(BD,\s\up8(→))=(-4,2),∴|eq\o(AC,\s\up8(→))|=2eq\r(5),|eq\o(BD,\s\up8(→))|=2eq\r(5),eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BD,\s\up8(→))=8+8=16.設(shè)eq\o(AC,\s\up8(→))與eq\o(BD,\s\up8(→))的夾角為θ,則cosθ=eq\f(\o(AC,\s\up8(→))·\o(BD,\s\up8(→)),|\o(AC,\s\up8(→))||\o(BD,\s\up8(→))|)=eq\f(16,20)=eq\f(4,5),∴矩形ABCD的兩條對角線所夾的銳角的余弦值為eq\f(4,5).數(shù)形結(jié)合思想平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算的定義及運(yùn)算法則、運(yùn)算律的推導(dǎo)中都滲透了數(shù)形結(jié)合思想.向量的坐標(biāo)表示的引入,使向量運(yùn)算完全代數(shù)化,將數(shù)和形緊密地結(jié)合在一起.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想可解決三點(diǎn)共線,兩條線段(或射線、直線)平行、垂直,夾角、距離、面積等問題.【例5】如圖所示,以△ABC的兩邊AB,AC為邊向外作正方形ABGF,ACDE,M為BC的中點(diǎn),求證:AM⊥EF.[思路探究]要證AM⊥EF,只需證明eq\o(AM,\s\up8(→))·eq\o(EF,\s\up8(→))=0.先將eq\o(AM,\s\up8(→))用eq\o(AB,\s\up8(→)),eq\o(AC,\s\up8(→))表示,將eq\o(EF,\s\up8(→))用eq\o(AE,\s\up8(→)),eq\o(AF,\s\up8(→))表示,然后通過向量運(yùn)算得出eq\o(AM,\s\up8(→))·eq\o(EF,\s\up8(→))=0.[證明]因?yàn)镸是BC的中點(diǎn),所以eq\o(AM,\s\up8(→))=eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))+eq\o(AC,\s\up8(→))),又eq\o(EF,\s\up8(→))=eq\o(AF,\s\up8(→))-eq\o(AE,\s\up8(→)),所以eq\o(AM,\s\up8(→))·eq\o(EF,\s\up8(→))=eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))+eq\o(AC,\s\up8(→)))·(eq\o(AF,\s\up8(→))-eq\o(AE,\s\up8(→)))=eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AF,\s\up8(→))+eq\o(AC,\s\up8(→))
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