人教A版數(shù)學選修2-1講義第2章章末復習課Word版含答案

圓錐曲線的定義及應用【例1】(1)已知動點M的坐標滿足方程5eq\r(x2＋y2)＝|3x＋4y－12|，則動點M的軌跡是()A．橢圓 B．雙曲線C．拋物線 D．以上都不對(2)在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為eq\f(\r(2),2).過F1的直線l交C于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么C的方程為________．(1)C(2)eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1[(1)把軌跡方程5eq\r(x2＋y2)＝|3x＋4y－12|寫成eq\r(x2＋y2)＝eq\f(|3x＋4y－12|,5).∴動點M到原點的距離與它到直線3x＋4y－12＝0的距離相等．∴點M的軌跡是以原點為焦點，直線3x＋4y－12＝0為準線的拋物線．(2)設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，因為AB過F1且A，B在橢圓上，如圖所示，則△ABF2的周長為|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，∴a＝4.又離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，∴c＝2eq\r(2)，∴b2＝a2－c2＝8，∴橢圓C的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1.]“回歸定義”解題的三點應用應用一：在求軌跡方程時，若所求軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)圓錐曲線的定義，寫出所求的軌跡方程；應用二：涉及橢圓、雙曲線上的點與兩個定點構(gòu)成的三角形問題時，常用定義結(jié)合解三角形的知識來解決；應用三：在求有關(guān)拋物線的最值問題時，常利用定義把到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，結(jié)合幾何圖形，利用幾何意義去解決．提醒：應用定義解題時注意圓錐曲線定義中的限制條件．1．點P是拋物線y2＝8x上的任意一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，點M的坐標是(2，3)，求|PM|＋|PF|的最小值，并求出此時點P的坐標．[解]拋物線y2＝8x的準線方程是x＝－2，那么點P到焦點F的距離等于它到準線x＝－2的距離，過點P作PD垂直于準線x＝－2，垂足為D，那么|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.如圖所示，根據(jù)平面幾何知識，當M，P，D三點共線時，|PM|＋|PF|的值最小，且最小值為|MD|＝2－(－2)＝4，所以|PM|＋|PF|的最小值是4.此時點P的縱坐標為3，所以其橫坐標為eq\f(9,8)，即點P的坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,8)，3)).圓錐曲線的方程【例2】(1)已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1，0)，離心率等于eq\f(1,2)，則C的方程是()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(2)已知拋物線y2＝8x的準線過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個焦點，且雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為________．(1)D(2)x2－eq\f(y2,3)＝1[(1)由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝1，,\f(c,a)＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝1，))則b2＝a2－c2＝3，故橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝2，,\f(c,a)＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,c＝2，))則b2＝c2－a2＝3，因此雙曲線方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.]求圓錐曲線方程的一般步驟一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，再定量”的步驟．(1)定形——指的是二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置．(2)定式——根據(jù)“形”設(shè)方程的形式，注意曲線系方程的應用，如當橢圓的焦點不確定在哪個坐標軸上時，可設(shè)方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)．(3)定量——由題設(shè)中的條件找到“式”中待定系數(shù)的等量關(guān)系，通過解方程得到量的大?。?．(1)以x軸為對稱軸，通徑長為8，頂點為坐標原點的拋物線方程是()A．y2＝8x B．y2＝－8xC．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8yC[由題意知2p＝8，故選C.](2)焦點在x軸上，右焦點到短軸端點的距離為2，到左頂點的距離為3的橢圓的標準方程是()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,4)＋y2＝1C.eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1 D．x2＋eq\f(y2,4)＝1A[依題意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，故所求橢圓的標準方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.]圓錐曲線的幾何性質(zhì)【例3】(1)如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.eq\f(3,2) D.eq\f(\r(6),2)(2)已知a>b>0，橢圓C1的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，雙曲線C2的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，C1與C2的離心率之積為eq\f(\r(3),2)，則C2的漸近線方程為________．思路探究：(1)由橢圓可求出|AF1|＋|AF2|，由矩形求出|AF1|2＋|AF2|2，再求出|AF2|－|AF1|即可求出雙曲線方程中的a，進而求得雙曲線的離心率．(2)根據(jù)離心率的關(guān)系列出關(guān)于a，b的方程，求出eq\f(b,a)，再求漸近線方程．(1)D(2)x±eq\r(2)y＝0[(1)由橢圓可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2eq\r(3).因為四邊形AF1BF2為矩形，所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，所以|AF2|－|AF1|＝2eq\r(2)，因此對于雙曲線有a＝eq\r(2)，c＝eq\r(3)，所以C2的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),2).(2)設(shè)橢圓C1和雙曲線C2的離心率分別為e1和e2，則e1＝eq\f(\r(a2－b2),a)，e2＝eq\f(\r(a2＋b2),a).因為e1·e2＝eq\f(\r(3),2)，所以eq\f(\r(a4－b4),a2)＝eq\f(\r(3),2)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up20(4)＝eq\f(1,4)，所以eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2).故雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(\r(2),2)x，即x±eq\r(2)y＝0.]求解離心率的三種方法(1)定義法：由橢圓(雙曲線)的標準方程可知，不論橢圓(雙曲線)的焦點在x軸上還是y軸上都有關(guān)系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝eq\f(c,a)，已知其中的任意兩個參數(shù)，可以求其他的參數(shù)，這是基本且常用的方法．(2)方程法：建立參數(shù)a與c之間的齊次關(guān)系式，從而求出其離心率，這是求離心率的十分重要的思路及方法．(3)幾何法：求與過焦點的三角形有關(guān)的離心率問題，根據(jù)平面幾何性質(zhì)以及橢圓(雙曲線)的定義、幾何性質(zhì)，建立參數(shù)之間的關(guān)系，通過畫出圖形，觀察線段之間的關(guān)系，使問題更形象、直觀．3．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的半焦距是c，A，B分別是長軸、短軸的一個端點，O為原點，若△ABO的面積是eq\r(3)c2，則這一橢圓的離心率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),3)A[eq\f(1,2)ab＝eq\r(3)c2，即a2(a2－c2)＝12c4，所以(a2＋3c2)(a2－4c2)＝0，所以a2＝4c2，a＝2c，故e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).]直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【例4】已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)經(jīng)過點(0，eq\r(3))，離心率為eq\f(1,2)，左、右焦點分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)．(1)求橢圓的方程；(2)若直線l：y＝－eq\f(1,2)x＋m與橢圓交于A，B兩點，與以F1F2為直徑的圓交于C，D兩點，且滿足eq\f(|AB|,|CD|)＝eq\f(5\r(3),4)，求直線l的方程．思路探究：(1)利用定義解題．(2)利用勾股定理和弦長公式來解．[解](1)由題設(shè)知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝\r(3)，,\f(c,a)＝\f(1,2)，,b2＝a2－c2，))解得a＝2，b＝eq\r(3)，c＝1，∴橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由(1)知，以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝1∴圓心到直線l的距離d＝eq\f(2|m|,\r(5))，由d<1得|m|<eq\f(\r(5),2).(*)∴|CD|＝2eq\r(1－d2)＝2eq\r(1－\f(4,5)m2)＝eq\f(2,\r(5))eq\r(5－4m2).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))得x2－mx＋m2－3＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.∴|AB|＝eq\r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up20(2)))[m2－4（m2－3）])＝eq\f(\r(15),2)eq\r(4－m2).由eq\f(|AB|,|CD|)＝eq\f(5\r(3),4)，得eq\r(\f(4－m2,5－4m2))＝1，解得m＝±eq\f(\r(3),3)，滿足(*)．∴直線l的方程為y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(\r(3),3)或y＝－eq\f(1,2)x－eq\f(\r(3),3).直線與圓錐曲線的三種位置關(guān)系將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，化簡后得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，則直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有三種情況：(1)相交：Δ>0?直線與橢圓相交；Δ>0?直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有Δ>0，如當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故Δ>0是直線與雙曲線相交的充分不必要條件；Δ>0?直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有Δ>0，當直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個交點，故Δ>0也僅是直線與拋物線相交的充分條件，而不是必要條件．(2)相切：Δ＝0?直線與橢圓相切；Δ＝0?直線與雙曲線相切；Δ＝0?直線與拋物線相切．(3)相離：Δ<0?直線與橢圓相離；Δ<0?直線與雙曲線相離；Δ<0?直線與拋物線相離．4．已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，其焦點為F1，F(xiàn)2，離心率為eq\f(\r(2),2)，直線l：x＋2y－2＝0與x軸，y軸分別交于點A，B.(1)若點A是橢圓E的一個頂點，求橢圓的方程；(2)若線段AB上存在點P滿足|PF1|＋|PF2|＝2a，求a[解](1)由橢圓的離心率為eq\f(\r(2),2)，得a＝eq\r(2)c，由A(2，0)，得a＝2，∴c＝eq\r(2)，b＝eq\r(2)，∴橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)由e＝eq\f(\r(2),2)，設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(2y2,a2)＝1，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\