2023~2024學(xué)年【導(dǎo)】3-1-1 課時(shí)2 橢圓的軌跡與標(biāo)準(zhǔn)方程的求法

第三章圓錐曲線的方程3.1.1課時(shí)2橢圓的軌跡與標(biāo)準(zhǔn)方程的求法1.鞏固橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(重點(diǎn))3.理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，并能運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問題．(難點(diǎn))

問題1：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了橢圓的定義并推導(dǎo)出了它的標(biāo)準(zhǔn)方程，那橢圓的定義是什么？標(biāo)準(zhǔn)方程有哪幾種形式？

①平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)

的距離之和等于常數(shù)（大于

）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．其中

叫橢圓的焦點(diǎn)，

叫橢圓的焦距.F1F2知識(shí)回顧：②橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式：焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)在y軸上,

問題2：求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是什么意思？設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程就是求一個(gè)等式，里面含有x與y，我們可以記為f(x,y)=0，方程f(x,y)=0就是所求的軌跡方程.問題3：求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡又是什么意思？動(dòng)點(diǎn)P的軌跡，就是動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)而形成的曲線，比如直線，線段，或者圓，橢圓等等.思考：已知兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|＋|MB|＝8，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡.解：當(dāng)|AB|<8時(shí)，M的軌跡是一個(gè)橢圓；探究一：求軌跡方程的方法——定義法當(dāng)|AB|＝8時(shí)，M的軌跡是一條線段；當(dāng)|AB|>8時(shí)，M的軌跡是不存在。例1已知兩點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|＋|MB|＝8，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。由題意知：|AB|=2,|MA|＋|MB|＝8>|AB|∴點(diǎn)M的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的橢圓其中2a＝8，2c＝2，∴a＝4，c＝1，b2＝a2－c2＝15定義法：若動(dòng)點(diǎn)的軌跡特點(diǎn)符合某一基本軌跡(如橢圓、圓等)的定義，則可用定義求解．解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y）探究一：求軌跡方程的方法——定義法∴點(diǎn)M軌跡方程為

.

思考：

可以由圓通過“壓縮”或“拉伸”得到橢圓嗎?如何

“壓縮”或“拉伸”?由此你能發(fā)現(xiàn)橢圓與圓之間的關(guān)系嗎?xyPMO?D?xyPMO?D?將圓按照某個(gè)方向均勻地壓縮（拉長(zhǎng)），可以得到橢圓.

例2如圖，在圓x2+y2=4上取任意一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？（當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過圓與x軸的交點(diǎn)時(shí)，規(guī)定點(diǎn)M與點(diǎn)P重合）探究二：求軌跡方程的方法——相關(guān)點(diǎn)法

動(dòng)畫演示：

解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x0，0）.由點(diǎn)M是線段PD的中點(diǎn)，得

因?yàn)辄c(diǎn)P（x0，y0）在圓x2+y2=4上，所以x02+y02=4.①把x0=x，y0=2y代入方程①，得x2+4y2=4，所以點(diǎn)M的軌跡是橢圓.相關(guān)點(diǎn)法（代入法）：若動(dòng)點(diǎn)M(x，y)隨著某已知方程的圖形上的另一動(dòng)點(diǎn)P(x0，y0)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且x0，y0可以用x，y表示，則可將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知圖形的方程，即得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．

例2如圖，在圓x2+y2=4上取任意一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？（當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過圓與x軸的交點(diǎn)時(shí)，規(guī)定點(diǎn)M與點(diǎn)P重合）

即

變式：如圖，在圓x2+y2=4上取任意一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足.點(diǎn)M為DP延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且P是DM的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程.（當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過圓與x軸的交點(diǎn)時(shí)，規(guī)定點(diǎn)M與點(diǎn)P重合）

解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x0，0）.由P是DM的中點(diǎn)，得

因?yàn)辄c(diǎn)P（x0，y0）在圓x2+y2=4上，所以x02+y02=4.①

所以點(diǎn)M的軌跡是橢圓.x=x0,y=2y0xyPMO?D?整理得

探究三：求軌跡方程的方法——直接法

追問：在求解過程中，是否有特殊點(diǎn)需要關(guān)注？直接法：根據(jù)題設(shè)條件，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式，化簡(jiǎn)得軌跡方程．

探究三：求軌跡方程的方法——直接法

動(dòng)畫演示：練習(xí)（P109練習(xí)4）:已知A(-1，0)，B(1，0)，直線AM、BM交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的商為2，求點(diǎn)M的軌跡方程．解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y），

因此，點(diǎn)M的軌跡是直線x=-3,并去掉點(diǎn)（-3，0）例3[探究]

通過例3的學(xué)習(xí)，體會(huì)橢圓的另一種生成方法：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)連線的斜率之積是一個(gè)負(fù)常數(shù)(不等于－1)，其軌跡即為橢圓，但要注意除去不符合題意的點(diǎn)。練習(xí)：已知點(diǎn)P（x,y）在運(yùn)動(dòng)過程中，總滿足關(guān)系式則P的軌跡方程為（

）A.B.C.D.【解析】由題設(shè)可知P的運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓，且焦點(diǎn)在X軸上，其坐標(biāo)分別為(1,0),(-1,0),2a=4故a=2，2c=2，c=1，b2=3所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

．B