2024年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練 專題10 截長補短模型綜合應(yīng)用（知識解讀）

專題10截長補短模型綜合應(yīng)用（知識解讀）【專題說明】“截長補短”是幾何證明題中十分重要的方法，通常用來證明幾條線段的數(shù)量關(guān)系，即若題目條件或結(jié)論中含有“a＋b＝c”的條件，需要添加輔助線時可以考慮“截長補短”的方法。【方法技巧】常見類型及常規(guī)解題思路：①可采取直接截長或補短，繞后進行證明?；蛘呋癁轭愋廷谧C明。②可以將與構(gòu)建在一個三角形中，然后證明這個三角形為特殊三角形，如等邊三角形，等腰直角三角形，或一個角為的直角三角形等。截長法常規(guī)輔助線：（1）過某一點作長邊的垂線（2）在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。補短法常規(guī)輔助線：延長短邊。（2）通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起【典例分析】【典例1】模型分析當題目中出現(xiàn)線段的和差關(guān)系時，考慮用截長補短法，該類題日中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句，采用截長補短法進行證明．問題：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D，且∠B＝2∠C，求證：AB+BD＝AC．截長法：在AC上截取AE＝AB，連接DE，證明CE＝BD即可．補短法：延長AB至點F，使AF＝AC，連接DF，證明BF＝BD即可．請結(jié)合右邊的證明結(jié)論．求證：AB+BD＝AC．請結(jié)合右邊的【模型分析】證明結(jié)論．求證：AB+BD＝AC．【截長法】【補短法】【變式1】如圖，△ABC為等邊三角形，D為△ABC外一點，連接AD，BD，CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，求證：AD＝BD+CD．【變式2】如圖，Rt△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于點D，CE⊥AD交AD于F點，交AB于點E．求證：AD＝2DF+CE．【變式3】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的一條弦，且＝，過點A作AP⊥CD，分別交CD，⊙O于點E，P，連接BP，若CD＝6，△ABP的周長為13，求AE的長．【變式4】如圖，在△ABC中，AB＝AC，在AB左側(cè)作∠BDC＝∠BAC＝α，過點A作AE⊥DC于點E．（1）當α＝90°時，①求證：AE＝DE；②若BD＝AE＝2，請求出△ABC的面積；（2）當α≠90°時，求證：BD+DE＝EC．【變式5】【問題背景】如圖①，在邊長為1的正方形ABCD中，點E為射線BC上的一個動點（與點B，C不重合），連接AE，過點E作EF⊥AE，與正方形ABCD的外角∠DCG的平分線交于點F．李老師指出，當點E為線段BC的中點時，AE＝EF．【初步探索】（1）如圖②，當點E在線段BC的延長線上時，其他條件不變，那么結(jié)論“AE＝EF”是否仍然成立；【問題解決】（2）當點E在線段BC上時，設(shè)BE＝x，△ECF的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；【拓展延伸】（3）如圖③，將正方形ABCD放在平面直角坐標系xOy中，點O與點B重合，點C在x軸正半軸上，當點E運動到某一點時，點F恰好落在直線y＝﹣2x+3上，求此時點E的坐標．【典例2】如圖1，在Rt△ABC中，AB＝BC，點D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC邊上，且DE＝EF，∠DEF＝∠B，∠A＝45°．（1）試猜想CF與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）自主探究：如圖2，若將已知條件中含45°的直角三角形換成含30°的直角三角形，其余條件不變，試探究BE和CF的關(guān)系．【變式1】如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于點D，點F是AC上一點，連接BF交AD于點E，且DE＝CD，連接DF，若AF＝4，DF＝2，則BF的長為．【變式2】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC是⊙O的直徑，連接AC，BD，若AB＝AC，請?zhí)骄緼D，BD，DC之間的數(shù)量關(guān)系．【變式3】如圖，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＞AC，點E在BC上，點D在AB上，CE＝CA，連接DE，∠ACB+∠ADE＝180°，CH⊥AB，垂足為點H．求證：DE+AD＝2CH．【變式4】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D是平面內(nèi)一點，且AD⊥CD．點O是BC的中點，連接OA，OD．（1）如圖①，若點D是BC下方一點，過點O作OE⊥OD分別交AC，AD于點E，F(xiàn)．①求證：∠OAF＝∠OCD；②若CD＝1，DF＝2，求BC的長；（2）如圖②，若點D是AC右側(cè)一點，試判斷AD，CD，OD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式5】【問題探究】如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點D是平面內(nèi)一點，連接AD，BD，CD，且∠CAB＝∠CDB．（1）如圖①，當∠CAB＝60°時，試探究BD，CD，AD之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖②，當∠CAB＝120°時，探究是否為定值，并說明理由；【問題解決】（3）如圖③，在四邊形ADBC中，AB＝AC，∠CAB＝∠CDB＝120°，若AD＝2，BD＝3，求CD的長．【變式6】如圖，在矩形ABCD中，AB＝AD，點E為CD延長線上一點，連接AE，過點C作CF⊥AE于點F，CF交AD于點H，過點D作DN⊥AE于點N，連接DF．（1）在不添加輔助線的情況下，找出一個與△CDH相似的三角形，并證明；（2）求證：FD＝2DN；（3）求證：CF＝AF+2FD．專題10截長補短模型綜合應(yīng)用（知識解讀）【專題說明】“截長補短”是幾何證明題中十分重要的方法，通常用來證明幾條線段的數(shù)量關(guān)系，即若題目條件或結(jié)論中含有“a＋b＝c”的條件，需要添加輔助線時可以考慮“截長補短”的方法?！痉椒记伞砍Ｒ婎愋图俺Ｒ?guī)解題思路：①可采取直接截長或補短，繞后進行證明。或者化為類型②證明。②可以將與構(gòu)建在一個三角形中，然后證明這個三角形為特殊三角形，如等邊三角形，等腰直角三角形，或一個角為的直角三角形等。截長法常規(guī)輔助線：（1）過某一點作長邊的垂線（2）在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。補短法常規(guī)輔助線：延長短邊。（2）通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起【典例分析】【典例1】模型分析當題目中出現(xiàn)線段的和差關(guān)系時，考慮用截長補短法，該類題日中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句，采用截長補短法進行證明．問題：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D，且∠B＝2∠C，求證：AB+BD＝AC．截長法：在AC上截取AE＝AB，連接DE，證明CE＝BD即可．補短法：延長AB至點F，使AF＝AC，連接DF，證明BF＝BD即可．請結(jié)合右邊的證明結(jié)論．求證：AB+BD＝AC．請結(jié)合右邊的【模型分析】證明結(jié)論．求證：AB+BD＝AC．【截長法】【補短法】【解答】證明：【截長法】在AC上截取AE＝AB，連接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B＝∠AED，BD＝DE，又∠B＝2∠C，∴∠AED＝2∠C，而∠AED＝∠C+∠EDC＝2∠C，∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE，∴AB+BD＝AE+CE＝AC．證明：【補短法】延長AB到F，使BF＝BD，連接DF，∵BF＝BD，∴∠F＝∠BDF，∴∠ABC＝∠F+∠BDF＝2∠F，且∠ABC＝2∠C，∴∠C＝∠F，且∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，∴△ADF≌△ADC（AAS）∴AC＝AF，∴AC＝AF＝AB+BF＝AB+BD．【變式1】如圖，△ABC為等邊三角形，D為△ABC外一點，連接AD，BD，CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，求證：AD＝BD+CD．【解答】證明：在DA上截取DE＝DB，連接BE，如下圖所示，∵∠ADB＝60°，DE＝DB，∴△ABD為等邊三角形，∴∠EBD＝60°，BE＝BD，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝60°，BA＝BC，∴∠EBD﹣∠EBC＝∠ABC﹣∠EBC，∴∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD，∴AD＝AE+ED＝CD+BD．【變式2】如圖，Rt△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于點D，CE⊥AD交AD于F點，交AB于點E．求證：AD＝2DF+CE．【解答】證明：在AF上截取FG＝DF，連接CG，則DG＝2DF，∵∠ACB＝90°，∴∠DCF+∠ACF＝90°，又∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAF＝90°，∴∠DCF＝∠CAF，∵AD平分∠CAE，∴∠CAF＝∠EAF，∵DF＝FG，CF⊥DG，∴CD＝CG，∴∠CDG＝∠CGD，∵∠DGC＝∠GAC+∠ACG，∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠B＝∠ACG，又∵AC＝BC，∴△ACG≌△CBE（ASA），∴AG＝CE，∴AD＝AG+DG＝CE+2DF．【變式3】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的一條弦，且＝，過點A作AP⊥CD，分別交CD，⊙O于點E，P，連接BP，若CD＝6，△ABP的周長為13，求AE的長．【解答】解：在AE上截取AF＝BP，連接CF，PC，∵AC＝BC，∠CAF＝∠CBP，∴△CAF≌△CBP，CF＝CP，∵CD⊥PA，∴EF＝PE，∴AE＝AF+FE＝PB+PE，∵AC＝BC，∴＝，∵＝，∴＝，∴AB＝CD＝6，∵△ABP的周長是13，∴AP+PB＝7，∵AE＝PE+PB，∴2AE＝AP+PB，∴AE＝．【變式4】如圖，在△ABC中，AB＝AC，在AB左側(cè)作∠BDC＝∠BAC＝α，過點A作AE⊥DC于點E．（1）當α＝90°時，①求證：AE＝DE；②若BD＝AE＝2，請求出△ABC的面積；（2）當α≠90°時，求證：BD+DE＝EC．【解答】（1）①證明：過點B作BF⊥AE，交AE的延長線于點F，∵AE⊥CD，∴∠DEF＝90°，又∵∠BDE＝90°，∴四邊形BDEF為矩形，∴DE＝BF，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF+∠EAC＝90°，又∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠BAF＝∠ACE，又∵∠AEC＝∠BFA＝90°，AB＝AC，∴△ABF≌△CAE（AAS），∴BF＝AE，∴DE＝AE；②解：∵四邊形BDEF為矩形，BD＝AE＝2，∴BD＝EF＝2，DE＝BF＝AE＝，∴AF＝AE+EF＝+2，∴BA2＝BF2+AF2＝＝8+4，∴S△ABC＝＝；（2）證明：過點A作AF⊥BD，交BD的延長線于F，連接AD，設(shè)CD與AB交于點O，∵∠BDC＝∠BAC，∠BOD＝∠AOC，∴∠ACO＝∠DOB，即∠ABF＝∠ACE，又∵∠AEC＝∠AFB＝90°，AC＝AB，∴△ACE≌△ABF（AAS），∴AE＝AF，BF＝CE，又∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴DE＝DF，∴CE＝BF＝BD+DF＝BD+DE．【變式5】【問題背景】如圖①，在邊長為1的正方形ABCD中，點E為射線BC上的一個動點（與點B，C不重合），連接AE，過點E作EF⊥AE，與正方形ABCD的外角∠DCG的平分線交于點F．李老師指出，當點E為線段BC的中點時，AE＝EF．【初步探索】（1）如圖②，當點E在線段BC的延長線上時，其他條件不變，那么結(jié)論“AE＝EF”是否仍然成立；【問題解決】（2）當點E在線段BC上時，設(shè)BE＝x，△ECF的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；【拓展延伸】（3）如圖③，將正方形ABCD放在平面直角坐標系xOy中，點O與點B重合，點C在x軸正半軸上，當點E運動到某一點時，點F恰好落在直線y＝﹣2x+3上，求此時點E的坐標．【解答】解：【問題背景】如圖1，取AB的中點H，連接EH，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°＝∠BCD，∵CF平分∠DCG，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∵E是BC的中點，∴BH＝BE＝AH＝CE，∴∠BHE＝∠BEH＝45°，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠FEC＝∠BAE，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；【初步探索】（1）仍然成立，理由如下：如圖2，在BA的延長線上取一點N，使AN＝CE，連接NE．∵AB＝BC，AN＝CE，∴BN＝BE，∴∠N＝∠FCE＝45°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠NAE＝∠CEF，在△ANE和△ECF中，，∴△ANE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；【問題解決】（2）如圖3，在BA上截取BH＝BE，連接HE，同理得：△AHE≌△ECF，∴y＝S△AHE＝AH?BE＝x（1﹣x）＝﹣x2+x（0≤x≤1）；【拓展延伸】（3）如圖4，在BA上截取BH＝BE，連接HE，過點F作FM⊥x軸于M，設(shè)點E（a，0），∴BE＝a＝BH，∴HE＝a，由（1）可得△AHE≌△ECF，∴CF＝HE＝a，∵CF平分∠DCM，∴∠DCF＝∠FCM＝45°，∵FM⊥CM，∴∠CFM＝∠FCM＝45°，∴CM＝FM＝a，∴BM＝1+a，∴點F（1+a，a），∵點F恰好落在直線y＝﹣2x+3上，∴a＝﹣2（1+a）+3，∴a＝，∴點E（，0）．【典例2】如圖1，在Rt△ABC中，AB＝BC，點D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC邊上，且DE＝EF，∠DEF＝∠B，∠A＝45°．（1）試猜想CF與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）自主探究：如圖2，若將已知條件中含45°的直角三角形換成含30°的直角三角形，其余條件不變，試探究BE和CF的關(guān)系．【解答】解：（1）CF與BE之間的數(shù)量關(guān)系為：CF＝BE．理由：過點F作FH⊥BC于點H，如圖，∵Rt△ABC中，AB＝BC，∠A＝45°，∴∠C＝45°，∠B＝90°．∵∠DEF＝∠B，∴∠DEF＝90°，∴∠DEB+∠FEH＝90°．∵∠BDE+∠DEB＝90°，∴∠BDE＝∠FEH．在△BDE和△HEF中，，∴△BDE≌△HEF（AAS），∴BE＝FH．∵FH⊥BC，∠C＝45°，∴△FHC為等腰直角三角形，∴FC＝FH，∴FC＝BE；（2）CF與BE之間的數(shù)量關(guān)系為：CF＝BE．理由：過點F作FH⊥BC于點H，如圖，∵Rt△ABC中，∠A＝30°，∴∠C＝60°，∠B＝90°．∵∠DEF＝∠B，∴∠DEF＝90°，∴∠DEB+∠FEH＝90°．∵∠BDE+∠DEB＝90°，∴∠BDE＝∠FEH．在△BDE和△HEF中，，∴△BDE≌△HEF（AAS），∴BE＝FH．∵FH⊥BC，∠C＝60°，∴sin60°＝，∴FC＝FH，∴FC＝BE．【變式1】如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于點D，點F是AC上一點，連接BF交AD于點E，且DE＝CD，連接DF，若AF＝4，DF＝2，則BF的長為．【解答】解：如圖，在BF上截取HF＝AF，連接AH，∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∠ADB＝∠ADC＝90°，在△BDE和△ADC中，，∴△BDE≌△ADC（SAS），∴∠EBD＝∠CAD，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AFE＝∠BDE＝90°，∴∠AHF＝∠HAF＝45°，∴AH＝AF，∴∠BAH＝∠DAF，∠AHB＝135°，∠AEF＝∠BED，∠AFE＝∠BDE＝90°，∴△AFE∽△BDE，∴＝，∵∠AEB＝∠FED，∴△AEB∽△FED，∴∠EAB＝∠EFD＝45°，∴∠AFD＝∠AFH+∠EFD＝90°+45°＝135°，∴∠AHB＝∠AFD，∴△AHB∽△AFD，∴＝＝，∴BH＝DF，∴BF＝BH+HF＝DF+AF＝2+4．故答案為：2+4．【變式2】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC是⊙O的直徑，連接AC，BD，若AB＝AC，請?zhí)骄緼D，BD，DC之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：作AE⊥AD交BD于E，∵BC是直徑，∴∠BAC＝90°，∵∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∵∠ABD＝∠ACD，AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∵△AED是等腰直角三角形，∴DE＝AD，∵BD＝DE+BE，∴BD＝AD+CD．【變式3】如圖，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＞AC，點E在BC上，點D在AB上，CE＝CA，連接DE，∠ACB+∠ADE＝180°，CH⊥AB，垂足為點H．求證：DE+AD＝2CH．【解答】證明：如圖，作∠FCD＝∠ACB，交BA延長線于F，∵∠FCA+∠ACD＝∠ACD+∠DCB，∴∠FCA＝∠DCB，∵∠ACB＝120°，∠ACB+∠ADE＝180°，∴∠EDB＝120°，∠EDA＝60°，∵∠FAC＝120°+∠B，∠CED＝120°+∠B，∴∠FAC＝∠CED，在△AFC和△EDC中，，∴△AFC≌△EDC（ASA），∴AF＝DE，F(xiàn)C＝CD，∵CH⊥FD，∴FH＝HD，∠FCH＝∠HCD＝60°，∴DH＝CH，∵AD+DE＝AD+AF＝FD＝2DH＝2CH，∴AD+DE＝2CH．【變式4】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D是平面內(nèi)一點，且AD⊥CD．點O是BC的中點，連接OA，OD．（1）如圖①，若點D是BC下方一點，過點O作OE⊥OD分別交AC，AD于點E，F(xiàn)．①求證：∠OAF＝∠OCD；②若CD＝1，DF＝2，求BC的長；（2）如圖②，若點D是AC右側(cè)一點，試判斷AD，CD，OD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解答】（1）①證明：∵AB＝AC，O為BC的中點，∴OA＝OB＝OC，OA⊥OC，∵OE⊥OD，∴∠AOC＝∠EOD＝90°，∴∠AOF＝∠COD，∵∠AOM＝∠MDC＝90°，∠AMO＝∠CMD，∴∠OAM＝∠MCD，∴△OAF≌△OCD（ASA），∴∠OAF＝∠OCD；②解：∵△OAF≌△OCD，∴AF＝CD＝1，∵DF＝2，∴AD＝AF+DF＝1+2＝3，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝，∵AC＝AB，∴BC＝AC＝＝2；（2）解：AD+CD＝OD．理由：過點O作OE⊥OD，交DA的延長線于點E，∵∠DOE＝∠AOC＝90°，∴∠AOE＝∠COD，∵∠ODC+∠+ODA＝90°，∠ODA+∠OEA＝90°，∴∠ODC＝∠OEA，又∵OA＝OC，∴△OCD≌△OAE（AAS），∴CD＝AE，OD＝OE，∴DE＝OD，∴AD+AE＝AD+CD＝OD．【變式5】【問題探究】如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點D是平面內(nèi)一點，連接AD，BD，CD，且∠CAB＝∠CDB．（1）如圖①，當∠CAB＝60°時，試探究BD，CD，AD之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖②，當∠CAB＝120°時，探究是否為定值，并說明理由；【問題解決】（3）如圖③，在四邊形ADBC中，AB＝AC，∠CAB＝∠CDB＝120°，若AD＝2，BD＝3，求CD的長．【解答】解：（1）BD，CD，AD之間的數(shù)量關(guān)系為：BD＝CD+AD，理由如下：在BD上取一點E，使BE＝CD，連接AE，設(shè)AC交BD于H，如圖①所示：∵∠CAB＝∠CDB，∠AHB＝∠CHD，∴∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAB，∴∠DAC+∠CAE＝∠EAB+∠CAE＝∠CAB＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴DE＝AD，∴BD＝BE+DE＝CD+AD；（2）是定值，理由如下：在BD上取一點E，使BE＝CD，連接AE，設(shè)AC交BD于H，過點A作AF⊥BD于F，如圖②所示：∵∠CAB＝∠CDB，∠AHB＝∠CHD，∴∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAB，