2023~2024學(xué)年 3-1-2 課時(shí)1 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

第三章圓錐曲線的方程3.1.2課時(shí)1橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)1.根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形．(重點(diǎn))2.根據(jù)幾何條件求出橢圓方程.3.可以根據(jù)已知條件求橢圓離心率．(重點(diǎn)、難點(diǎn))復(fù)習(xí)導(dǎo)入求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：待定系數(shù)法，先定位，后定量當(dāng)橢圓焦點(diǎn)的位置不確定時(shí)，可采用橢圓方程：mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)標(biāo)準(zhǔn)方程不同點(diǎn)相同點(diǎn)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)定義a、b、c的關(guān)系焦點(diǎn)位置的判斷分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡xyF1F2POxyF1F2PO

oyB2B1A1A2F1F2cab觀察橢圓

的形狀，你能從圖上看出它的范圍嗎？它具有怎樣的對(duì)稱性，橢圓上哪些點(diǎn)比較特殊？請(qǐng)結(jié)合橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，利用方程研究橢圓的這些范圍、對(duì)稱性、特殊點(diǎn)1.范圍說(shuō)明：橢圓落在x=±a,y=±b圍成的矩形中

oyB2B1A1A2F1F2cabx2.對(duì)稱性yxOP（x，y）P1（-x，y）P3（-x，-y）(1)從圖形上看：橢圓關(guān)于x軸、y軸的軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形；坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心（橢圓的中心）（2）從方程上看：①P(x,y)

P1(x1,y1)2.對(duì)稱性（2）從方程上看：①P(x,y)

P1(-x,y)②P(x,y)

P2(x,-y)③P(x,y)

P3(-x,-y)yxOP（x，y）P1（-x，y）P3（-x，-y）橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱3.橢圓的頂點(diǎn)橢圓與y軸的交點(diǎn):令x=0,得y

=±b橢圓與x軸的交點(diǎn):令y=0,得x

=±a

oyB2B1A1A2F1F2cab(1)四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為

A1(-a,0)A2(a,0)

B1(0,-b)B2(0,b)x(2)長(zhǎng)軸長(zhǎng)：A1A2=2a短軸長(zhǎng)：B1B2=2b

焦距長(zhǎng)：F1F2=2c

a長(zhǎng)半軸長(zhǎng)

b短半軸長(zhǎng)

c半焦距。

123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識(shí)畫出下列圖形（1）（2）A1

B1

A2

B2

B2

A2

B1

A1

xyx4.離心率橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比叫做橢圓的離心率。刻畫橢圓的扁圓程度：思考1.橢圓的離心率在什么范圍內(nèi)？2.橢圓的離心率在范圍內(nèi)變化時(shí)橢圓形狀如何變化？離心率的取值范圍因?yàn)閍>c>0，所以0<e<1e越大越扁

e越接近1，橢圓就越扁

e越接近0，橢圓就越圓③特例：e=0，橢圓變?yōu)閳A，方程變?yōu)槔?.求橢圓16x2+25y2=400的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo).

解：把原方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得

于是a=5,b=4,c=3

因此長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10；短軸長(zhǎng)為8；焦距為6；

離心率為

；

焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)、(-3,0)，

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0)、(-5,0)、(0,4)、(0,-4).1.已知橢圓方程為6x2+y2=6.它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是：

;短軸長(zhǎng)是：

;焦距是：

.離心率等于：

。焦點(diǎn)坐標(biāo)是：

，頂點(diǎn)坐標(biāo)是：

，

外切矩形的面積等于：

。

2用標(biāo)準(zhǔn)方程研究幾何性質(zhì)的步驟：(1)將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式．(2)確定焦點(diǎn)位置．(3)求出a，b，c.(4)寫出橢圓的幾何性質(zhì)．方法歸納2.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)

焦點(diǎn)在y軸上，c

=3

,e=(2)經(jīng)過(guò)P(-3,0),Q(0,-2)兩點(diǎn)(3)長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于20，離心率等于(4)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,0)(4)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,0)解：①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a=3,則6=2×2b所以b=所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，b=3，則2a=12