全國中考數(shù)學(xué)一元二次方程組的綜合中考真題匯總及答案

全國中考數(shù)學(xué)一元二次方程組的綜合中考真題匯總及答案一、一元二次方程1．已知關(guān)于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0．（1）求證：對任意實(shí)數(shù)m，方程總有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的一個(gè)根是2，求m的值及方程的另一個(gè)根．【答案】（1）證明見解析；（2）m的值為±，方程的另一個(gè)根是5．【解析】【分析】（1）先把方程化為一般式，利用根的判別式△=b2-4ac證明判斷即可；（2）根據(jù)方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后還原方程求出另一個(gè)解即可.【詳解】（1）證明：∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0，∴x2﹣7x+12﹣m2=0，∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2，∵m2≥0，∴△＞0，∴對任意實(shí)數(shù)m，方程總有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：∵方程的一個(gè)根是2，∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=±，∴原方程為x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，即m的值為±，方程的另一個(gè)根是5．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程的根的判別式與根的關(guān)系是關(guān)鍵.當(dāng)△=b2-4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=b2-4ac＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.2．計(jì)算題

（1）先化簡，再求值：÷（1+），其中x=2017．（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求m的值．【答案】（1）2018；（2）m=4【解析】分析：（1）根據(jù)分式的運(yùn)算法則和運(yùn)算順序，先算括號(hào)里面的，再算除法，注意因式分解的作用；（2）根據(jù)一元二次方程的根的判別式求解即可.詳解：（1）÷（1+）===x+1，當(dāng)x=2017時(shí)，原式=2017+1=2018（2）解：∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0，解得，m=4點(diǎn)睛：此題主要考查了分式的混合運(yùn)算和一元二次方程的根的判別式，關(guān)鍵是熟記分式方程的運(yùn)算順序和法則，注意通分約分的作用.3．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．（1）當(dāng)a=﹣11時(shí)，解這個(gè)方程；（2）若這個(gè)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，求a的取值范圍；（3）若方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2滿足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．【答案】（1）（2）（3）-4【解析】分析：（1）根據(jù)一元二次方程的解法即可求出答案；（2）根據(jù)判別式即可求出a的范圍；（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．詳解：（1）把a(bǔ)=﹣11代入方程，得x2﹣x﹣12=0，（x+3）（x﹣4）=0，x+3=0或x﹣4=0，∴x1=﹣3，x2=4；（2）∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a﹣1）≥0，解得；（3）∵是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，．∵[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，∴，把代入，得：[2+a﹣1][2+a﹣1]=9，即（1+a）2=9，解得：a=﹣4，a=2（舍去），所以a的值為﹣4．點(diǎn)睛：本題考查了一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系．4．解方程：．【答案】x=或x=1【解析】【分析】設(shè)，則原方程變形為y2-2y-3=0,解這個(gè)一元二次方程求y，再求x．【詳解】解：設(shè)，則原方程變形為y2-2y-3=0．解這個(gè)方程，得y1=-1,y2=3,∴或．解得x=或x=1．經(jīng)檢驗(yàn)：x=或x=1都是原方程的解．∴原方程的解是x=或x=1．【點(diǎn)睛】考查了還原法解分式方程，用換元法解一些復(fù)雜的分式方程是比較簡單的一種方法，根據(jù)方程特點(diǎn)設(shè)出相應(yīng)未知數(shù)，解方程能夠使問題簡單化，注意求出方程解后要驗(yàn)根．5．有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感．（1）求每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？（2）如果不及時(shí)控制，第三輪將又有多少人被傳染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）設(shè)平均一人傳染了x人，根據(jù)有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根據(jù)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)和經(jīng)過兩輪傳染后的人數(shù)，列出算式求解即可．【詳解】（1）設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，根據(jù)題意得：x+1+（x+1）x＝36，解得：x＝5或x＝﹣7（舍去）．答：每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了5個(gè)人；（2）根據(jù)題意得：5×36＝180（個(gè)），答：第三輪將又有180人被傳染．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意找到等量關(guān)系并列方程.6．沙坪壩區(qū)各街道居民積極響應(yīng)“創(chuàng)文明城區(qū)”活動(dòng)，據(jù)了解，某街道居民人口共有7.5萬人，街道劃分為A，B兩個(gè)社區(qū)，B社區(qū)居民人口數(shù)量不超過A社區(qū)居民人口數(shù)量的2倍．（1）求A社區(qū)居民人口至少有多少萬人？（2）街道工作人員調(diào)查A，B兩個(gè)社區(qū)居民對“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”知曉情況發(fā)現(xiàn)：A社區(qū)有1.2萬人知曉，B社區(qū)有1.5萬人知曉，為了提高知曉率，街道工作人員用了兩個(gè)月的時(shí)間加強(qiáng)宣傳，A社區(qū)的知曉人數(shù)平均月增長率為m%，B社區(qū)的知曉人數(shù)第一個(gè)月增長了m%，第二月在第一個(gè)月的基礎(chǔ)上又增長了2m%，兩個(gè)月后，街道居民的知曉率達(dá)到92%，求m的值．【答案】（1）A社區(qū)居民人口至少有2.5萬人；（2）m的值為50．【解析】【分析】（1）設(shè)A社區(qū)居民人口有x萬人，根據(jù)“B社區(qū)居民人口數(shù)量不超過A社區(qū)居民人口數(shù)量的2倍”列出不等式求解即可；（2）A社區(qū)的知曉人數(shù)+B社區(qū)的知曉人數(shù)=7.5×92%，據(jù)此列出關(guān)于m的方程并解答．【詳解】解：（1）設(shè)A社區(qū)居民人口有x萬人，則B社區(qū)有（7.5-x）萬人，依題意得：7.5-x≤2x，解得x≥2.5．即A社區(qū)居民人口至少有2.5萬人；（2）依題意得：1.2（1+m%）2+1.5×（1+m%）+1.5×（1+m%）（1+2m%）=7.5×92%，解得m=50答：m的值為50．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程和一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到題中相關(guān)數(shù)據(jù)的數(shù)量關(guān)系，列出不等式或方程．7．小王經(jīng)營的網(wǎng)店專門銷售某種品牌的一種保溫杯，成本為30元/只，每天銷售量y（只）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系式為y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】當(dāng)銷售單價(jià)為50元時(shí)，每天獲得的利潤最大，利潤的最大值為4000元【解析】【分析】表示出一件的利潤為（x﹣30）,根據(jù)總利潤=單件利潤乘以銷售數(shù)量,整理成頂點(diǎn)式即可解題.【詳解】設(shè)每天獲得的利潤為w元，根據(jù)題意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000．∵a＝﹣10＜0，∴當(dāng)x＝50時(shí)，w取最大值，最大值為4000．答：當(dāng)銷售單價(jià)為50元時(shí)，每天獲得的利潤最大，利潤的最大值為4000元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,中等難度,熟悉函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.8．某社區(qū)決定把一塊長，寬的矩形空地建成居民健身廣場，設(shè)計(jì)方案如圖，陰影區(qū)域?yàn)榫G化區(qū)(四塊綠化區(qū)為大小形狀都相同的矩形)，空白區(qū)域?yàn)榛顒?dòng)區(qū)，且四周的4個(gè)出口寬度相同，當(dāng)綠化區(qū)較長邊為何值時(shí)，活動(dòng)區(qū)的面積達(dá)到?【答案】當(dāng)時(shí)，活動(dòng)區(qū)的面積達(dá)到【解析】【分析】根據(jù)“活動(dòng)區(qū)的面積＝矩形空地面積﹣陰影區(qū)域面積”列出方程，可解答.【詳解】解:設(shè)綠化區(qū)寬為y，則由題意得.即列方程:解得(舍)，.∴當(dāng)時(shí)，活動(dòng)區(qū)的面積達(dá)到【點(diǎn)睛】本題是一元二次方程的應(yīng)用題，確定等量關(guān)系是關(guān)鍵，本題計(jì)算量大，要細(xì)心．9．已知x=﹣1是關(guān)于x的方程x2+2ax+a2=0的一個(gè)根，求a的值．【答案】1【解析】試題分析：根據(jù)一元二次方程解的定義，把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得到關(guān)于a的一元二次方程1﹣2a+a2=0，然后解此一元二次方程即可．試題解析：把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得1﹣2a+a2=0，解得a1=a2=1，所以a的值為1.10．某水果店銷售某品牌蘋果，該蘋果每箱的進(jìn)價(jià)是40元，若每箱售價(jià)60元，每星期可賣180箱．為了促銷，該水果店決定降價(jià)銷售．市場調(diào)查反映:若售價(jià)每降價(jià)1元，每星期可多賣10箱．設(shè)該蘋果每箱售價(jià)x元（40≤x≤60），每星期的銷售量為y箱．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)每箱售價(jià)為多少元時(shí)，每星期的銷售利潤達(dá)到3570元？（3）當(dāng)每箱售價(jià)為多少元時(shí)，每星期的銷售利潤最大，最大利潤多少元?【答案】(1)y=-10x+780；(2)57；(3)當(dāng)售價(jià)為59元時(shí)，利潤最大，為3610元【解析】【分析】（1）根據(jù)售價(jià)每降價(jià)1元，每星期可多賣10箱,設(shè)售價(jià)x元,則多銷售的數(shù)量為60-x,（2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利潤將函數(shù)變成頂點(diǎn)式即可求解.【詳解】解：（1）∵售價(jià)每降價(jià)1元，每星期可多賣10箱,設(shè)該蘋果每箱售價(jià)x元（40≤x≤60），則y=180+10（60-x）=-10x+780,(40≤x≤60),(2)依題意得：（x-40）(-10x+780)=3570,解得：x=57,∴當(dāng)每箱售價(jià)為57元時(shí)，每星期的銷售利潤達(dá)到3570元.（3）設(shè)每星期的利潤為w，W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,∵-100,二次函數(shù)向下,函數(shù)有最大值,當(dāng)x=59時(shí),利潤最大，為3610元.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,中等難度,熟悉二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用是解題關(guān)鍵.11．某商場一種商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，售價(jià)為每件40元．每天可以銷售48件，為盡快減少庫存，商場決定降價(jià)促銷．（1）若該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價(jià)降至每件32.4元，求兩次下降的百分率；（2）經(jīng)調(diào)查，若該商品每降價(jià)0.5元，每天可多銷售4件，那么每天要想獲得510元的利潤，每件應(yīng)降價(jià)多少元？【答案】（1）兩次下降的百分率為10%；（2）要使每月銷售這種商品的利潤達(dá)到510元，且更有利于減少庫存，則商品應(yīng)降價(jià)2.5元．【解析】【分析】（1）設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，（1﹣x）2為兩次降價(jià)后的百分率，40元降至32.4元就是方程的等量條件，列出方程求解即可；（2）設(shè)每天要想獲得510元的利潤，且更有利于減少庫存，則每件商品應(yīng)降價(jià)y元，由銷售問題的數(shù)量關(guān)系建立方程求出其解即可【詳解】解：（1）設(shè)每次降價(jià)的百分率為x．40×（1﹣x）2＝32.4x＝10%或190%（190%不符合題意，舍去）答：該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價(jià)降至每件32.4元，兩次下降的百分率為10%；（2）設(shè)每天要想獲得510元的利潤，且更有利于減少庫存，則每件商品應(yīng)降價(jià)y元，由題意，得解得：＝1.5，＝2.5，∵有利于減少庫存，∴y＝2.5．答：要使商場每月銷售這種商品的利潤達(dá)到510元，且更有利于減少庫存，則每件商品應(yīng)降價(jià)2.5元．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等式兩邊的平衡條件，這種價(jià)格問題主要解決價(jià)格變化前后的平衡關(guān)系，列出方程，解答即可．12．工人師傅用一塊長為10dm，寬為6dm的矩形鐵皮制作一個(gè)無蓋的長方體容器，需要將四角各裁掉一個(gè)正方形．（厚度不計(jì)）求長方體底面面積為12dm2時(shí)，裁掉的正方形邊長多大？【答案】裁掉的正方形的邊長為2dm，底面積為12dm2.【解析】試題分析：設(shè)裁掉的正方形的邊長為xdm，則制作無蓋的長方體容器的長為（10-2x）dm，寬為（6-2x）dm，根據(jù)長方體底面面積為12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形邊長.試題解析：設(shè)裁掉的正方形的邊長為xdm，由題意可得(10-2x)(6-2x)=12，即x2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，答：裁掉的正方形的邊長為2dm，底面積為12dm2.13．已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長．（1）如果x=﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個(gè)一元二次方程的根．【答案】(1)△ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3)x1=0，x2=﹣1．【解析】試題分析：（1）直接將x=﹣1代入得出關(guān)于a，b的等式，進(jìn)而得出a=b，即可判斷△ABC的形狀；（2）利用根的判別式進(jìn)而得出關(guān)于a，b，c的等式，進(jìn)而判斷△ABC的形狀；（3）利用△ABC是等邊三角形，則a=b=c，進(jìn)而代入方程求出即可．試題解析：（1）△ABC是等腰三角形；理由：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；（3）當(dāng)△ABC是等邊三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理為：2ax2+2ax=0，∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=﹣1．考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用．14．今年以來豬肉價(jià)格不斷走高，引起了民眾與區(qū)政府的高度關(guān)注，當(dāng)市場豬肉的平均價(jià)格每千克達(dá)到一定的單價(jià)時(shí)，政府將投入儲(chǔ)備豬肉以平抑豬肉價(jià)格．據(jù)統(tǒng)計(jì)：從今年年初至11月10日，豬排骨價(jià)格不斷走高，11月10日比年初價(jià)格上漲了75%．今年11月10日某市民于A超市購買5千克豬排骨花費(fèi)350元．（1）A超市11月排骨的進(jìn)貨價(jià)為年初排骨售價(jià)的倍，按11月10日價(jià)格出售，平均一天能銷售出100千克，超市統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：若排骨的售價(jià)每千克下降1元，其日銷售量就增加20千克，超市為了實(shí)現(xiàn)銷售排骨每天有1000元的利潤，為了盡可能讓顧客優(yōu)惠應(yīng)該將排骨的售價(jià)定位為每千克多少元？（2）11月11日，區(qū)政府決定投入儲(chǔ)備豬肉并規(guī)定排骨在11月10日售價(jià)的基礎(chǔ)上下調(diào)a%出售，A超市按規(guī)定價(jià)出售一批儲(chǔ)備排骨，該超市在非儲(chǔ)備排骨的價(jià)格不變情況下，該天的兩種豬排骨總銷量比11月10日增加了a%，且儲(chǔ)備排骨的銷量占總銷量的，兩種排骨銷售的總金額比11月10日提高了a%，求a的值．【答案】（1）售價(jià)為每千克65元；（2）a=35.【解析】【分析】（1）先根據(jù)題意計(jì)算出11月10的售價(jià)和11月的進(jìn)貨價(jià)，設(shè)每千克降價(jià)x元，則每千克的利潤為10-x元，日銷量為100+20x千克，根據(jù)銷量×單利潤=總利潤列出方程求解，并根據(jù)為了盡可能讓顧客優(yōu)惠，對所得的解篩選；（2）根據(jù)銷售總金額=儲(chǔ)備排骨銷售單價(jià)×儲(chǔ)備排骨銷售數(shù)量+非儲(chǔ)備排骨銷售單價(jià)×