專題25 二項(xiàng)式定理 分層訓(xùn)練 （解析版）

答案第=page22頁，共=sectionpages33頁專題25二項(xiàng)式定理【練基礎(chǔ)】單選題1．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）的展開式中x3y3的系數(shù)為（

）A．5 B．10C．15 D．20【答案】C【分析】求得展開式的通項(xiàng)公式為（且），即可求得與展開式的乘積為或形式，對(duì)分別賦值為3，1即可求得的系數(shù)，問題得解.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為（且）所以的各項(xiàng)與展開式的通項(xiàng)的乘積可表示為：和在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為，在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為所以的系數(shù)為故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理及其展開式的通項(xiàng)公式，還考查了賦值法、轉(zhuǎn)化能力及分析能力，屬于中檔題.2．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）若，則（

）A．40 B．41 C． D．【答案】B【分析】利用賦值法可求的值.【詳解】令，則，令，則，故，故選：B.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）的展開式中的系數(shù)是（

）A．60 B．80 C．84 D．120【答案】D【解析】的展開式中的系數(shù)是，借助組合公式：，逐一計(jì)算即可.【詳解】的展開式中的系數(shù)是因?yàn)榍?，所以，所以，以此類推?故選：D.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于使用組合公式：，以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用.4．（2022秋·廣東汕頭·高三統(tǒng)考期末）的展開式中的系數(shù)為（

）A．60 B．24 C． D．【答案】B【分析】首先寫出展開式通項(xiàng)，再考慮通項(xiàng)與相乘得到含的項(xiàng)，即可得系數(shù).【詳解】由的展開式通項(xiàng)為，所以的展開式項(xiàng)為，故系數(shù)為.故選：B5．（2023秋·重慶永川·高三重慶市永川北山中學(xué)校?？计谀┤?，則（

）A．-448 B．-112 C．112 D．448【答案】C【分析】，然后根據(jù)二項(xiàng)式展開式項(xiàng)的系數(shù)計(jì)算即可.【詳解】，.故選：C.6．（2023春·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，可得，可得出，利用展開式通項(xiàng)可知當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，然后令可得出的值.【詳解】令，可得，則，二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)為，則.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，因此，.故選：A.7．（2022·重慶永川·重慶市永川北山中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合組合數(shù)計(jì)算公式變形和式的通項(xiàng)，再借助二項(xiàng)式性質(zhì)即可得解.【詳解】依題意，，當(dāng)時(shí)，，于是得.故選：B8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，數(shù)列的首項(xiàng)，則（

）A． B． C．2021 D．【答案】A【分析】通過對(duì)二項(xiàng)展開式賦值求解出的值，然后通過所給的條件變形得到為等差數(shù)列，從而求解出的通項(xiàng)公式，即可求解出的值.【詳解】令，得.又因?yàn)椋?由，得，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式與數(shù)列的綜合運(yùn)用，對(duì)學(xué)生的分析與計(jì)算能力要求較高，難度較難.解答問題時(shí)注意的運(yùn)用.二、多選題9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是，則下列說法正確的有（

）A．展開式共有7項(xiàng) B．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)C．所有二項(xiàng)式系數(shù)和為128 D．展開式的有理項(xiàng)共有4項(xiàng)【答案】CD【分析】運(yùn)用代入法，結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)和公式、通項(xiàng)公式以及二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是，所以令可得：.A：因?yàn)?，所以展開式共有項(xiàng)，因此本選項(xiàng)說法不正確；B：因?yàn)?，所以二?xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)和第項(xiàng)，因此本選項(xiàng)說法不正確；C：因?yàn)?，所以所有二?xiàng)式系數(shù)和為，所以本選項(xiàng)說法正確；D：由B可知：，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)是有理項(xiàng)，故本選項(xiàng)說法正確，故選：CD10．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）的展開式中，下列結(jié)論正確的是（

）A．展開式共6項(xiàng) B．常數(shù)項(xiàng)為64C．所有項(xiàng)的系數(shù)之和為729 D．所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64【答案】CD【分析】利用二項(xiàng)展開式的特點(diǎn)判斷A；求出指定項(xiàng)判斷B；利用賦值法求出展開式系數(shù)和判斷C；利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)判斷D作答.【詳解】展開式的總項(xiàng)數(shù)是7，A不正確；展開式的常數(shù)項(xiàng)為，B不正確；取得展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，C正確；由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得展開式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，D正確.故選：CD11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的展開式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)數(shù)系數(shù)相等，且展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024，則下列說法正確的是（

）A．展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256B．展開式中第6項(xiàng)的系數(shù)最大C．展開式中存在常數(shù)項(xiàng)D．展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為45【答案】BCD【解析】由二項(xiàng)式的展開式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)數(shù)系數(shù)相等可知,由展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024可得,則二項(xiàng)式為,易得該二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)相同,利用二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性判斷A,B；根據(jù)通項(xiàng)判斷C,D即可.【詳解】由二項(xiàng)式的展開式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)數(shù)系數(shù)相等可知,又展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024,即當(dāng)時(shí),,所以,所以二項(xiàng)式為,則二項(xiàng)式系數(shù)和為,則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為,故A錯(cuò)誤；由可知展開式共有11項(xiàng),中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,即第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,因?yàn)榕c的系數(shù)均為1,則該二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)相同,所以第6項(xiàng)的系數(shù)最大,故B正確；若展開式中存在常數(shù)項(xiàng),由通項(xiàng)可得,解得,故C正確；由通項(xiàng)可得,解得,所以系數(shù)為,故D正確,故選:BCD【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式的定理的應(yīng)用,考查系數(shù)最大值的項(xiàng),考查求指定項(xiàng)系數(shù),考查運(yùn)算能力.12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)），若，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C．二項(xiàng)式系數(shù)的和為 D．【答案】ACD【分析】利用二項(xiàng)式定理求出的值，可判斷A選項(xiàng)；利用賦值法可判斷BD選項(xiàng)；利用二項(xiàng)式系數(shù)和可判斷C選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，可得，A對(duì)，對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)的和為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，D對(duì).故選：ACD.三、填空題13．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）的展開式中的系數(shù)為________________（用數(shù)字作答）．【答案】-28【分析】可化為，結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以的展開式中含的項(xiàng)為，的展開式中的系數(shù)為-28故答案為：-2814．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知多項(xiàng)式，則__________，___________．【答案】

【分析】第一空利用二項(xiàng)式定理直接求解即可，第二空賦值去求，令求出，再令即可得出答案．【詳解】含的項(xiàng)為：，故；令，即，令，即，∴，故答案為：；．15．（2022春·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，則…______．【答案】1【分析】先，可得，再令，可得答案.【詳解】由題意令，可得令，可得所以故答案為：116．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則_______．【答案】243##【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式可得，令，即可得解.【詳解】解：的展開式得通項(xiàng)為，則，令，則，即.故答案為：243.【提能力】一、單選題17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】令，得，再令，即可求解．【詳解】令，代入得，令，得，所以.故選：B.18．（2022秋·江蘇鹽城·高三阜寧縣東溝中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則其展開式中的系數(shù)為（

）A．160 B． C．60 D．【答案】B【分析】由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求出，寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為3，即可得出答案.【詳解】由展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，得，得．∵的展開式的通項(xiàng)公式為，令，則，所以其展開式中的系數(shù)為．故選：B.19．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）的二項(xiàng)展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，令、計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)，令可得，令可得，兩式相加可得：，所以奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為，故選：C.20．（2022·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）的展開式中的系數(shù)是（

）A．84 B．120 C．122 D．210【答案】D【分析】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)即可求出每一個(gè)的系數(shù)，求和得出答案，或者根據(jù)，快速計(jì)算結(jié)果.【詳解】∵的通項(xiàng)為，∴的通項(xiàng)為，∴的展開式中的系數(shù)為，同理得展開式中的系數(shù)為，展開式中的系數(shù)為，故展開式中的系數(shù)為：（也可以根據(jù)性質(zhì)：，因?yàn)?，故）故選：D.21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知二項(xiàng)式的展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為32，則的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)賦值法以及二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可求出．【詳解】令，可得展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)之和，得，所以，其通項(xiàng)，令，得，所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為．故選：A．22．（2022·浙江·?？寄M預(yù)測(cè)）若二項(xiàng)式的展開式中只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，若展開式的有理項(xiàng)中第項(xiàng)的系數(shù)最大，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】根據(jù)條件可得.寫出展開式的通項(xiàng)，則當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，該項(xiàng)為有理項(xiàng)，求得所有的有理項(xiàng)的系數(shù)，可解出的值.【詳解】由已知可得，.根據(jù)二項(xiàng)式定理，知展開式的通項(xiàng)為，顯然當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，該項(xiàng)為有理項(xiàng)，時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，.經(jīng)比較可得，，即時(shí)系數(shù)最大，即展開式的有理項(xiàng)中第5項(xiàng)的系數(shù)最大．故選：A.23．（2023·遼寧盤錦·盤錦市高級(jí)中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù)在處的切線與直線平行，則二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)為（

）A．70 B．－70 C．56 D．－56【答案】A【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出n的值.然后根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式解題.【詳解】，由已知可得，，即，所以.設(shè)展開式中的第k+1項(xiàng)含有，，則可知，，所以二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)為.故選：A.24．（2021·天津靜海·靜海一中?？既＃┮阎亩?xiàng)展開式的奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和公式求出，再利用展開式求.【詳解】的二項(xiàng)展開式的奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為64，，即；則的通項(xiàng)公式為，令，則，所以.故選：B25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）楊輝是我國(guó)南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家．他在《詳解九章算法》一書中，畫了一個(gè)由二項(xiàng)式展開式的系數(shù)構(gòu)成的三角形數(shù)陣，稱作“開方作法本源”，這就是著名的“楊輝三角”．在“楊輝三角”中，從第2行開始，除1以外，其他每一個(gè)數(shù)值都是它上面的兩個(gè)數(shù)值之和，每一行第個(gè)數(shù)組成的數(shù)列稱為第斜列．該三角形數(shù)陣前5行如圖所示，則該三角形數(shù)陣前2022行第斜列與第斜列各項(xiàng)之和最大時(shí)，的值為（

）A．1009 B．1010 C．1011 D．1012【答案】C【分析】根據(jù)題意可得第斜列各項(xiàng)之和為，第斜列各項(xiàng)之和為，則可求出.【詳解】當(dāng)時(shí)，第斜列各項(xiàng)之和為，同理，第斜列各項(xiàng)之和為，所以，所以第斜列與第斜列各項(xiàng)之和最大時(shí)，，則.故選：C．二、多選題26．（2022·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）若二項(xiàng)式展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，所有項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值之和為，二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則（

）A． B．C．對(duì)任意均有 D．存在使得【答案】ABC【分析】根據(jù)所給二項(xiàng)式，賦值，分別求得、、，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】由題意得：令，可得，求所有項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值之和，等價(jià)于求的所有項(xiàng)系數(shù)和，令，可得，二項(xiàng)式系數(shù)之和為，對(duì)于A：因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B：，因?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以，，故B正確對(duì)于C、D：在上為減函數(shù)，所以，即，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC27．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，，則（

）A． B．的展開式中第1012項(xiàng)的系數(shù)最大C． D．【答案】AC【分析】令，，又因?yàn)?，求出，可判斷A；由展開式知，，，可判斷B；分別令，得，，兩式相加得可判斷C；對(duì)兩邊求導(dǎo)，可得，令，可判斷D.【詳解】當(dāng)時(shí)，，又，所以，，由于，所以，故選項(xiàng)A正確．由展開式知，，，故第1012項(xiàng)的系數(shù)小于0，故選項(xiàng)B不正確．分別令，得，，兩式相加得，故選項(xiàng)C正確．對(duì)兩邊求導(dǎo)，可得，令，得，故選項(xiàng)D不正確．故選：AC.28．（2022秋·遼寧·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知?jiǎng)t（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用賦值法判斷A、B、C，對(duì)二項(xiàng)式及展開式兩邊對(duì)求導(dǎo)，再令，即可判斷D.【詳解】因?yàn)椋?，則，故A正確；令，則，所以，故B錯(cuò)誤；令，則，所以，，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)兩邊對(duì)取導(dǎo)得，再令得，故D正確；故選：AD29．（2022·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？既＃┰O(shè)，下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．當(dāng)時(shí)，除以的余數(shù)是1【答案】ACD【分析】在展開式中，令求得結(jié)論判斷A，根據(jù)二項(xiàng)式定理求得，判斷B，令，換元后，對(duì)求導(dǎo)后，再令所得結(jié)論判斷C，，代入后，展開后，應(yīng)用整數(shù)知識(shí)可得余數(shù)從而判斷D．【詳解】在展開式中令，即得，A正確；，所以，，，B錯(cuò)；令，則，兩邊對(duì)求導(dǎo)得，令得，C正確；時(shí)，，展開式右邊共7項(xiàng)，前6項(xiàng)都是2000的整數(shù)倍，因此它除以2000的余數(shù)是1，D正確．故選：ACD．三、填空題30．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為8，則展開式中的系數(shù)為______.【答案】－1【分析】先賦值，求出，再求出的展開式的通項(xiàng)公式，得到，與的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘后得到展開式中的系數(shù).【詳解】令，得，解得，則，展開式的通項(xiàng).當(dāng)時(shí)，，所以的展開式中的系數(shù)為；當(dāng)時(shí)，，的展開式中的系數(shù)為.所以的展開式中的系數(shù)為.故答案為：.31．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）若，則被5除的余數(shù)是______．【答案】4【分析】分別取，兩式相加可求得，進(jìn)而根據(jù)二項(xiàng)式定理展開，判斷被5除的余數(shù).【詳解】由題知，時(shí)，①，時(shí)，②，由①＋②得，，故，所以被5除的余數(shù)是4.故答案為：4.32．（2023·江蘇南京·?？家荒＃┰诙?xiàng)式的展開式中，若所有項(xiàng)的系數(shù)之和等于64，那么在這個(gè)展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是__________．（用數(shù)字作答）【答案】135【分析】根據(jù)給定條件，利用賦值法求出n值，再求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)即可求解作答.【詳解】在中，令得所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，依題意，，解得，因此的展開式的通項(xiàng)為，令得：，所以項(xiàng)的系數(shù)是135.故答案為：13533．（2023·甘肅蘭州·?？家荒＃┤?，則的值為______．【答案】8【分析】利用賦值法即可求解【詳解】令，則；令，則，兩式相加除以2可得．故答案為：834．（2023·全國(guó)·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則__________．【答案】【分析】賦值法，令、，結(jié)合二項(xiàng)式定理展開式求即可求解.【詳解】因?yàn)?，令，可得，令，，，，所?故答案為：.35．（2022·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知（n是正整數(shù)），，則________．【答案】243【分析】根據(jù)列式即可求出，觀察原式特點(diǎn)，取，右側(cè)關(guān)于的系數(shù)全為1，從而兩邊取進(jìn)而得解.【詳解】因?yàn)?，所以，解得?令得，，故，故答案為：243.四、解答題36．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）.（2）【分析】（1）利用賦值法進(jìn)行求解，令得，；令得，.從而可求結(jié)果.（2）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)與關(guān)系及組合數(shù)性質(zhì)得到，然后累加可求的值.【詳解】（1）令得，；令得，.于是.（2），首先考慮，則，因此.故.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理及組合數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式系數(shù)和的問題一般通過賦值法進(jìn)行求解，組合數(shù)的性質(zhì)利用公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).37．（2020·江蘇蘇州·常熟中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)（，）．（1）若展開式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)之比為3∶8，求k的值；（2）設(shè)（），且各項(xiàng)系數(shù)，，，…，互不相同．現(xiàn)把這個(gè)不同系數(shù)隨機(jī)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：第1列1個(gè)數(shù)，第2列2個(gè)數(shù)，…，第n列n個(gè)數(shù)．設(shè)是第i列中的最小數(shù)，其中，且i，．記的概率為．求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）利用題目所給展開式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的系數(shù)之比列方程，解方程求得的值.（2）利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式，求得的表達(dá)式，構(gòu)造數(shù)列，判斷