數(shù)學(xué)解題思維的系統(tǒng)模型

數(shù)學(xué)解題思維的系統(tǒng)模型

舉例，在驗(yàn)證中發(fā)現(xiàn)以下問(wèn)題。點(diǎn)p(x,y)在區(qū)域M內(nèi),則點(diǎn)P到區(qū)域M邊界三條直線距離之和的最小值為______.在高三復(fù)習(xí)中,對(duì)一些難題,如何思考才是高效復(fù)習(xí)呢?“數(shù)學(xué)是思維的體操”,要提高解題能力,顯然要尋找合理的數(shù)學(xué)解題思維。何不以合理、高效的波利亞的《怎樣解題》中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)解題思維,來(lái)處理平時(shí)碰到的一些數(shù)學(xué)問(wèn)題。并以此數(shù)學(xué)解題思維,來(lái)系統(tǒng)復(fù)習(xí)知識(shí)體系,從而學(xué)會(huì)高效復(fù)習(xí)。該解題思維過(guò)程為:理解題目—擬訂方案—回顧發(fā)散。一、區(qū)域面積和距離的確定解題信息的獲取,主要步驟是弄清題意。思考:這是一個(gè)合理的題目嗎?條件有可能滿足嗎?條件是否足以確定未知量?由此確定:題中可行域固定,故存在最小值。繼續(xù)思考:在可行域固定的情況下,能處理哪些問(wèn)題?可得出:變式1:區(qū)域M的面積為_________;變式2:區(qū)域M內(nèi)任意兩點(diǎn)A,B的最大距離為________;變式3:圓x2+y2=1在區(qū)域M內(nèi)的弧長(zhǎng)為__________;變式4:若區(qū)域M被直線y=kx分成面積相等的兩部分,則k=________.二、鞏固知識(shí)與方法體系解答一個(gè)題目的主要成就在于構(gòu)思一個(gè)解題方案的思路,好的思路常常來(lái)源于過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)和以前獲得的知識(shí)。于是思考:以前見過(guò)這題嗎?知道一道與它有關(guān)的題目嗎?在不斷回顧解題經(jīng)驗(yàn)的嘗試下,可得出線性規(guī)劃的基本知識(shí)體系與方法體系,變式如下:變式5:點(diǎn)p(x,y)在區(qū)域M內(nèi),求z=2x+y的最大值;變式6:點(diǎn)p(x,y)在區(qū)域M內(nèi),求的范圍;變式7:點(diǎn)p(x,y)在區(qū)域M內(nèi),求z=(x+1)2+y2的范圍;變式8:點(diǎn)p(x,y)在區(qū)域M內(nèi),求z=|4x+2y-3|的最大值。結(jié)合了函數(shù)思想、分類討論思想,繼續(xù)鞏固知識(shí)與方法體系:變式9:點(diǎn)p(x,y)在區(qū)域M內(nèi),求z=32x+y的最大值;變式10:點(diǎn)p(x,y)在區(qū)域M內(nèi),求的取值范圍;變式11:點(diǎn)p(x,y)在區(qū)域M內(nèi),求z=4x+2|y|-3的取值范圍;變式12:點(diǎn)p(x,y)在區(qū)域M內(nèi),求z=x-y+|4x+2y-3|的取值范圍。在回顧了過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)后,再回顧以前已獲得的知識(shí)。思考:你知道一條可能有用的定理、公式、知識(shí)點(diǎn)嗎?如果實(shí)在找不到合適的,那便回到定義。通過(guò)目標(biāo)函數(shù)為“距離型函數(shù)”的處理辦法,結(jié)合了“點(diǎn)在可行域內(nèi)的本質(zhì)含義為:點(diǎn)的坐標(biāo)滿足不等式組”的定義,找到了如下處理:解:設(shè)點(diǎn)P到區(qū)域M邊界三條直線距離之和為d,則轉(zhuǎn)化為變式5類型,得到最小值為。三、散思考的后果即便是相當(dāng)優(yōu)秀的學(xué)生,在得到了題目的解答,并將整個(gè)過(guò)程寫下來(lái)以后,就會(huì)合上書,去找別的事做。這樣的做法,遺漏了解題中一個(gè)重要而有益的階段(解題能力能否提高的關(guān)鍵階段)。必須深刻認(rèn)識(shí)到:沒有任何一個(gè)題目是真正完成了的。通過(guò)回顧完整的答案,重新審查結(jié)果以及導(dǎo)致結(jié)果的途徑,學(xué)生能夠鞏固知識(shí),能夠?qū)⑷魏谓忸}方法加以改進(jìn),能夠提高解題能力,至少能深化我們對(duì)答案的理解。在緊張的高三高考復(fù)習(xí)中,解題后的回顧發(fā)散思考顯得尤為重要,它是復(fù)習(xí)能否高效的關(guān)鍵一環(huán)。本題在回顧解題過(guò)程中的易錯(cuò)點(diǎn)、解題通法后,可探究能否一題多解問(wèn)題,得到了一些思路:思路1:在題中可行域?yàn)榈妊苯侨切蔚那闆r下,由幾何意義(直角三角形中兩直角邊之和大于第三邊)直接可得:直角頂點(diǎn)到斜邊的距離即為最小值。思路2:若題中可行域?yàn)橐话闳切?、其他多邊形時(shí),則本題中的方法可作為通法。若變換條件,可得到:變式14:點(diǎn)Q(a+b,a-b)在區(qū)域M內(nèi),則2a+b的最大值為______;若變換結(jié)論或考慮在知識(shí)點(diǎn)交匯處命題,可得到:_______________。變式17:點(diǎn)p(x,y)在M內(nèi),使z=x+ay取最大值時(shí)的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè),則a等于______;變式18:點(diǎn)p(x,y)在M內(nèi),若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(b﹥a﹥0)的最大值為1,則的最小值為_____;變式19:點(diǎn)p(x,y)在M內(nèi),若ax+by≤1恒成立,則b-2a的最小值為______;變式20:點(diǎn)p(x,y)在M內(nèi),Q(2,-2),則的最大值為________;變式21:若N是隨t變化的區(qū)域,由t≤x≤t+所確定,且-1≤t≤,則區(qū)域M和N的公共面積為f(t)=_______.我們絕不能有下列印象:數(shù)學(xué)題相互之間幾乎沒有什么聯(lián)系。當(dāng)我們回顧一個(gè)題目的解答時(shí),我們自然有機(jī)會(huì)來(lái)考察這個(gè)題目與其他事物之間的聯(lián)系。這樣做,我們將會(huì)發(fā)現(xiàn):回顧解題過(guò)程實(shí)在很有意思。四、數(shù)學(xué)分布思維與高考總成圖像這樣思考下來(lái),對(duì)線性規(guī)劃知識(shí)點(diǎn)的理解得到了深化。過(guò)程中一系列的變式,讓更多的時(shí)間放在了對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解上。更重要的是,高考每個(gè)專題復(fù)習(xí)中,按照這種數(shù)學(xué)解題思維,類似的可以由一個(gè)題散發(fā)復(fù)習(xí)整個(gè)知識(shí)體系與方法體系,且完全可以自主進(jìn)行操作高效復(fù)習(xí)