2023-2024學(xué)年湖南省衡陽市高一下冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題合集2套（含解析）

2023-2024學(xué)年湖南省衡陽市高一下冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題一、單選題1．設(shè)集合、是全集的兩個子集，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】作出韋恩圖，數(shù)形結(jié)合，即可得出結(jié)論.【詳解】如圖所示，，同時.故選:C.【點睛】本題考查集合關(guān)系及充要條件，注意數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2．已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．10 B．11 C．13 D．21【答案】B【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．【詳解】解：正實數(shù)滿足，則，，即：，當且僅當且，即時取等號，所以的最小值為11.故選：B.【點睛】本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，同時考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力．3．若為不等式的解集，則的解集為A．或 B．C． D．或【答案】D【分析】為為不等式的解集，所以和是方程的兩根，從而解得，進而可得解.【詳解】因為為不等式的解集，所以和是方程的兩根，所以，，所以，，所以不等式即，解得或，故不等式的解集為或，故選D．【點睛】本題考查了一元二次不等式的解法，一元二次不等式與一元二次函數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題.4．已知函數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，容易判斷為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，進而將原不等式轉(zhuǎn)化為，最后根據(jù)單調(diào)性求得答案.【詳解】設(shè)，，則，即為奇函數(shù)，容易判斷在R上單調(diào)遞增（增+增），又可化為，，所以a>1－2a，∴a>．故選：A.5．已知定義域為R的函數(shù)在單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，若，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)為偶函數(shù)分析可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及特殊值分析可得，解可得的取值范圍，即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，又由函數(shù)在，單調(diào)遞增且f(3)，則，解可得：，即不等式的解集為；故選：D．6．已知平行四邊形中，點E，F(xiàn)分別在邊上，連接交于點M，且滿足，則（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，得到，再由E，F(xiàn)，M三點共線求解.【詳解】因為，所以，所以．因為E，F(xiàn)，M三點共線，所以．故選：B7．函數(shù)的圖象（

）A．關(guān)于原點對稱 B．關(guān)于點對稱C．關(guān)于軸對稱 D．關(guān)于直線對稱【答案】B【分析】利用三角恒等變換公式確定函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的性質(zhì)確定對稱中心或?qū)ΨQ軸即可求解.【詳解】,令得，所以函數(shù)的對稱中心為，對于A，不存在使得，所以圖象不關(guān)于原點對稱，A錯誤；對于B，時對稱中心為，B正確；令得，所以函數(shù)的對稱軸為，不存在使得或，所以圖象不關(guān)于軸對稱，不關(guān)于直線對稱，C,D錯誤.故選:B.8．函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分和且兩種情況進行討論，當且時，利用二倍角公式和輔助角公式進行化簡，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得到值域【詳解】當時，，，所以；當且時，，所以，因為且，所以且，所以所以，綜上所述，函數(shù)的值域為故選：B二、多選題9．給出以下四個結(jié)論，其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是；B．函數(shù)（其中，且）的圖象過定點；C．當時，冪函數(shù)的圖象是一條直線；D．若，則的取值范圍是.【答案】ABD【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的定義域判斷各選項．【詳解】A．函數(shù)的定義域為，即，則，∴函數(shù)中的取值范圍，即定義域為，即定義域是，A正確；B．令，則，∴圖象過定點．B正確；C．中，它的圖象是直線上去掉點，不是直線，C錯；D．時，，不合題意，時，，，∴．D正確．故選：ABD．【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)的定義域，掌握指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若的最小正周期是，則B．當時，的對稱中心的坐標為C．當時，D．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則【答案】AD【解析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，采用整體換元法依次討論各選項即可得答案.【詳解】解:對于A選項，當?shù)淖钚≌芷谑?，即：，則，故A選項正確；對于B選項，當時，，所以令，解得：，所以函數(shù)的對稱中心的坐標為，故B選項錯誤；對于C選項，當時，，，，由于在單調(diào)遞增，故，故C選項錯誤；對于D選項，令，解得：所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得：，另一方面，，，所以，即，又因為，所以，故，故D選項正確.故選：AD【點睛】本題考查正切函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于整體換元法的靈活應(yīng)用，考查運算求解能力，是中檔題.其中D選項的解決先需根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性得，再結(jié)合和得，進而得答案.11．已知的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，下列四個命題中正確的命題是

（

）A．若，則一定是等邊三角形B．若，則一定是等腰三角形C．若，則一定是等腰三角形D．若，則一定是銳角三角形【答案】AC【分析】對于A．利用正弦定理證明△ABC是等邊三角形，故A正確；對于B，利用正弦定理化簡得△ABC為等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；對于C，利用正弦定理和三角恒等變換化簡得△ABC是等腰三角形，故C正確；對于D，利用余弦定理化簡得角C為銳角，但△ABC不一定是銳角三角形，故D錯誤．【詳解】對于A．若，則，，即，即△ABC是等邊三角形，故A正確；對于B，若，則由正弦定理得，，則或，即或，則△ABC為等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；對于C，若，則即，則△ABC是等腰三角形，故C正確；對于D，△ABC中，∵，∴，所以角C為銳角，但△ABC不一定是銳角三角形，故D錯誤．故選：AC．12．在給出的下列命題中，正確的是（

）A．已知為的外心，邊長為定值，則為定值．B．中，已知，則且則C．為為所在平面內(nèi)一點，且，則動點的軌跡必通過的重心．D．為的垂心，，則．【答案】ABD【分析】由三角形的外心的性質(zhì)和向量數(shù)量積的性質(zhì)計算，即可判斷A；由向量的運算推得AD為角平分線，利用三角形的面積公式運算，即可判斷B；設(shè)線段BC的中點為D，由向量的中點表示和向量數(shù)量積的性質(zhì)，即可判斷C；由三角形的垂心性質(zhì)和向量的夾角公式計算，即可判斷D.【詳解】A：O為的外心，邊AB、AC長為定值，為定值，故A正確；B：在中，已知，由，可得D在的平分線上，又，可得D、B、C三點共線，即AD為角平分線，由得，得，故B正確；C：如圖，設(shè)線段BC的中點為D，則，因為，即，所以，得，所以且平分BC，所以動點M的軌跡必通過的外心，故C錯誤；D：由H為的垂心，得，有，同理，所以，設(shè)，因為，所以，有，所以，同理可得，所以，故D正確.故選：ABD三、填空題13．設(shè)向量與的夾角為，定義與的“向量積”，是一個向量，它的模等于，若，，則______．【答案】2【分析】分別計算兩個向量的模長及夾角，代入計算即可.【詳解】，，則，則，則,故答案為：214．在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，則______．【答案】【分析】先由正弦定理得，再結(jié)合題中條件得，最后利用余弦定理可求得，結(jié)合可得.【詳解】在中，由正弦定理可得，，又由題知，所以，整理得，，在中，由余弦定理得，，所以，又，所以.故答案為：.15．若向量,,則的最大值為________.【答案】3【詳解】試題分析：根據(jù)題意，由于向量,,則可知=，那么化為單一函數(shù)可知，可知最大值為3，故填寫3.【解析】向量的數(shù)量積點評：解決的關(guān)鍵是對于向量的數(shù)量積的坐標運算以及數(shù)量積的性質(zhì)的運用，屬于基礎(chǔ)題．四、雙空題16．在中，角，，所對的邊分別為，b，c.已知向量，且.D為邊上一點，且.則_______，面積的最大值為________.【答案】

【分析】由計算可得，進而得出，因為，所以，，在和中分別計算和的表達式，然后利用可得，由余弦定理可得，兩式結(jié)合可得，由不等式的知識可得，進而可得，最后利用三角形面積計算公式可得出面積的最大值.【詳解】由可得，，利用余弦二倍角公式和邊化角可得：，即，利用積化和公式可得：，即，又，所以；因為，所以，，在中，，在中，，又，所以有，即，①又，②將②代入①得，，又，所以，即，由，，可得：，所以.所以面積的最大值為.故答案為：；.【點睛】本題主要考查解三角形，考查兩角積化和公式的應(yīng)用，考查三角形面積公式的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，考查邏輯思維能力和計算能力，屬于中檔題.五、解答題17．已知復(fù)數(shù)滿足.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由復(fù)數(shù)的模定義求得，移項可得，再由共軛復(fù)數(shù)定義得結(jié)論；（2）由復(fù)數(shù)的運算法則計算．【詳解】解：（1）∵，∴，∴，∴，∴.（2）由（1）得，.18．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示.(1)求的解析式；(2)設(shè)為銳角，，求的值.【答案】（1）；（2）.【詳解】試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象求出，和的值即可；（2）利用兩角和差的余弦公式和正弦公式進行化簡求解．試題解析：(1)由圖可得,.(2)為鈍角，，.點睛：本題主要考查利用的圖象特征，由函數(shù)的部分圖象求解析式，理解解析式中的意義是正確解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．為振幅，有其控制最大、最小值，控制周期，即，通常通過圖象我們可得和,稱為初象，通常解出，之后，通過特殊點代入可得，用到最多的是最高點或最低點.19．已知函數(shù)是偶函數(shù)（1）求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)沒有零點，求實數(shù)的取值范圍（3）若函數(shù)，的最大值為0，求實數(shù)的值.【答案】（1）；（2）；（3）5.【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)定義得，再根據(jù)對數(shù)性質(zhì)求的值；（2）令，可看作函數(shù)的圖象與直線無交點，再求的值域可得答案；（3）化簡后，再轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，，根據(jù)對稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系討論最值取法，最后根據(jù)最大值為0解實數(shù)的值即可．【詳解】（1）∵是偶函數(shù)，∴，即對任意恒成立，∴，∴．（2）由（1）知，函數(shù)沒有零點，即方程無實數(shù)根．令，則函數(shù)的圖象與直線無交點，∵，又，∴，∴的取值范圍是，的取值范圍是（3）由題意，的最大值為0，令，，，①當，即時，，；②當，即時，，（舍去）．綜上可知，實數(shù)．【點睛】方法點睛：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)零點問題．解題方法是把零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點個數(shù)，由圖象觀察所需條件求得結(jié)論．考查了分析問題、解決問題的能力．20．在平面直角坐標系中，設(shè)向量，，．(1)若，求的值；(2)設(shè)，，且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】(1)利用向量的模長公式.(2)利用向量平行的坐標形式求解.【詳解】（1）因為，，，所以，且.因為，所以，即，所以，即．（2）因為，所以．依題意，．因為，所以．化簡得，，所以．因為，所以．所以，即．21．在中，角的對邊分別為，且.(1)求A的值；(2)若，，當?shù)闹荛L最小時，求的值；(3)若，，且的面積為，求的長度.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由正弦定理化簡得到，利用輔助角公式得到，結(jié)合角A的范圍，求出A；（2）利用余弦定理，基本不等式求出周長最小值及此時的值；（3）由面積公式得到，結(jié)合正弦定理得到，求出，由余弦定理求出答案.【詳解】（1）由及正弦定理，得，因為，且，所以，即，因為，所以；（2）由余弦定理，得，將代入，整理，得，因為，所以的周長為，當且僅當，即時取等號，所以當?shù)闹荛L最小時，；（3）由的面積為，得，所以①，又，所以，，由正弦定理，得，②由①②可得，因為，所以，在中，由余弦定理，得，所以.22．對于函數(shù)，且的定義域為，．（1）求實數(shù)的值，使函數(shù)為奇函數(shù)；（2）在（1）的條件下，令，求使方程，有解的實數(shù)的取值范圍；（3）在（1）的條件下，不等式對于任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）當時，；當時，；【分析】（1）先利用求得，再驗證即可；（2）求得此時函數(shù)，由此得解；（3）令，當時，問題等價為對恒成立即可，當時，問題等價為對恒成立，由此得解．【詳解】（1）由得，，事實上，當時，，此時，故當時，函數(shù)為奇函數(shù)；（2）依題意，，當，時，顯然函數(shù)為增函數(shù)，故，為使方程，有解，則即可；（3）易知，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，原不等式成立即為（3），故只要即可，令，則，，，對恒成立即可，由得，由得，；同理，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，故只要即可，對恒成立即可，可得；綜上可知，當時，；當時，；【點睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運用，考查不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，考查邏輯推理能力及運算能力，屬于中檔題．2023-2024學(xué)年湖南省衡陽市高一下冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，為實數(shù)，（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于的方程的一個根，則（）A.0 B.1 C.2 D.4【正確答案】D【分析】由是關(guān)于的方程的一個根，則是關(guān)于的方程的一個根，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.【詳解】由是關(guān)于的方程的一個根，則是關(guān)于的方程的一個根，則，，即，，則，故選：D.2.如圖所示，四邊形OABC是上底為1，下底為3，底角為的等腰梯形，由斜二測畫法，畫出這個梯形的直觀圖，在直觀圖中的梯形的高為A. B. C. D.【正確答案】A【詳解】試題分析：∵四邊形OABC是上底為1，下底為3，底角為45°的等腰梯形，故ABCD的高為1，面積，故其直觀圖的面積，設(shè)直觀圖的高為h，則，解得：，故選A．考點：平面圖形的直觀圖．3.已知在正四面體中，為的中點，則直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】設(shè)正四面體的棱長為2，取的中點，連接，則，所以是直線與所成的角（或其補角），設(shè)的中點為，則，在中，解三角形即可得答案．【詳解】解：如圖，設(shè)正四面體的棱長為2，取的中點，連接，，是的中點，，是直線與所成的角（或其補角），設(shè)的中點為，則，在中，，，，直線與所成角的余弦值為．故選：C．4.在△ABC中，，則△ABC的形狀一定是（）A直角三角形 B.等腰三角形C等邊三角形 D.等腰直角三角形【正確答案】A【分析】注意到，根據(jù)已知等式，利用向量的數(shù)量積的運算法則和線性運算法則可得到，進而得到結(jié)論.【詳解】∴BA⊥AC,∴△ABC為直角三角形，故選：5.《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐為鱉臑，平面，，三棱錐P-ABC的四個頂點都在球的球面上，則球的表面積為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先分析出三棱錐的外接球是一個長方體的外接球，是其外接球的直徑，求出長方體的外接球的半徑，再由球的表面積公式求解即可.【詳解】將三棱錐放在一個長方體中，如圖所示，則是長方體外接球的直徑，因為是直角三角形，且，所以，所以球的直徑，所以半徑為，球的表面積為.故選：C6.已知向量，，則的最大值為（）A. B.2 C. D.1【正確答案】D【分析】根據(jù)題意可得，分和兩種情況討論，結(jié)合基本不等式即可得出答案.【詳解】解：由向量，，得，當時，，當時，，當且僅當，即時，取等號，綜上的最大值為1.故選：D.7.已知菱形的邊長為，菱形的對角線與交于點，，點是線段上靠近的三等分點，則在上的投影向量的模長為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先根據(jù)數(shù)量積定義和題干條件算出菱形的四個內(nèi)角，然后直接利用投影向量的模長公式計算.【詳解】菱形對角線相互垂直，即，根據(jù)數(shù)量積的定義，，故，即，又為銳角，則，根據(jù)投影向量的模長公式，在上的投影向量的模長為：，依題意，，即，故，于是，即投影向量的模長為.故選：B8.如圖，在棱長為a的正方體中，P，Q分別為，上的動點，則周長的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】的三邊都在三棱錐的三個側(cè)面上，將三棱錐的側(cè)面展開成平面圖形，根據(jù)共線時最短求解.【詳解】連接由圖易得，的三邊都在三棱錐的三個側(cè)面上，將三棱錐的側(cè)面展開成平面圖形，如圖，可得四邊形為直角梯形，當四點共線時，的周長最小，最小值為，故選:B.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)，為的共軛復(fù)數(shù)，若復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限 B.C.的實部為 D.的虛部為【正確答案】ABC【分析】對選項求出，再判斷得解；對選項，求出再判斷得解；對選項復(fù)數(shù)的實部為，判斷得解；對選項,的虛部為,判斷得解.【詳解】對選項由題得所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，在第二象限，所以選項正確；對選項，因為，所以選項正確；對選項復(fù)數(shù)的實部為，所以選項正確；對選項,的虛部為,所以選項錯誤.故選：ABC本題主要考查復(fù)數(shù)的運算和共軛復(fù)數(shù)，考查復(fù)數(shù)的模的計算，考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查復(fù)數(shù)的實部和虛部的概念，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.10.設(shè)向量，，則（）A. B.與的夾角是C. D.與同向的單位向量是【正確答案】BC【分析】對于A，直接求出兩向量的模判斷即可，對于B，利用兩向量的夾角公式計算判斷，對于C，能過計算判斷，對于D，利用判斷【詳解】對于A，因為，，所以，所以，所以A錯誤，對于B，因為，，所以，因為，所以，即與的夾角是，所以B正確，對于C，因為，，所以，所以，所以，所以C正確，對于D，因為，所以與同向的單位向量是，所以D錯誤，故選：BC11.設(shè)平面向量，，在方向上的投影向量為，則（）A. B.C. D.【正確答案】BC【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義和投影向量的定義逐個分析判斷即可.【詳解】設(shè)與的夾角為，對于A，當銳角時，，不一定相等，所以A錯誤，對于B，當為銳角時，，，所以，當為鈍角時，，，所以，當為直角時，，綜上B正確，對于C，，所以C正確，對于D，若，則，所以D錯誤，故選：BC12.已知棱長為2的正方體的中心為，用過點的平面去截正方體，則（）A.所得的截面可以是五邊形 B.所得的截面可以是六邊形C.該截面的面積可以為 D.所得的截面可以是非正方形的菱形【正確答案】BCD【分析】利用正方體的對稱性逐一判斷即可.【詳解】過正方體中心的平面截正方體所得的截面至少與四個交，所以可能是四邊形、五邊形、六邊形，又根據(jù)正方體的對稱性，截面不會是五邊形，但可以是正六邊形和非正方形的菱形（如圖）故A錯誤，BD正確；因為四邊形的面積為，當截面過中心且平行與底面時，截面為矩形（此時也是正方形），且面積為，若這個截面繞著中心旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)到與四邊形重合，此時面積為，所以在轉(zhuǎn)動過程一定存在截面面積為，C正確．故選：BCD．三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.已知向量，滿足，，與的夾角為，，則_______.【正確答案】4【分析】利用向量垂直以及數(shù)量積的運算法則，可得，在結(jié)合題目所給的模，代入即可求得.【詳解】，即，又故414.在正方體ABCD--A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點，點P在BD1上且BP＝BD1.則以下四個說法：①MN∥平面APC；②C1Q∥平面APC；③A，P，M三點共線；④平面MNQ∥平面APC.其中說法正確的是________(填序號)．【正確答案】②③【分析】連接MN，AC，則MN∥AC，連接AM，CN，易得AM，CN交于點P，從而可知MN?平面APC，所以①錯誤；由M，N在平面APC上，由題易知AN∥C1Q，從而可得C1Q∥平面APC，所以②正確；由于前的證明可知A，P，M三點共線是正確的，從而可知③正確；由于MN?平面APC，MN?平面MNQ，從而可判斷④【詳解】①連接MN，AC，則MN∥AC，連接AM，CN，易得AM，CN交于點P，即MN?平面APC，所以MN∥平面APC是錯誤的；②由①知M，N在平面APC上，因為在正方體ABCD--A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點，所以≌，所以，因為∥，所以AN∥C1Q，因為AN?平面APC，所以C1Q∥平面APC是正確的；③由①知A，P，M三點共線是正確的；④由①知MN?平面APC，又MN?平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC是錯誤的．故②③此題考查線面平行、面面平行的判斷，考查空間想象能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題15.異面直線a、b所成角為，直線c與a、b垂直且分別交于A、B，點C、D分別在直線a、b上，若，，，則________．【正確答案】或【分析】過B作BE//AC且過D作DE⊥BE于E，連接BE、CE，要注意E、C在AB的同側(cè)或異側(cè)兩種情況，結(jié)合已知有，再過C作CF⊥BE于F，求出DE、EC的長度，在Rt△DEC中應(yīng)用勾股定理求.【詳解】由題意，過B作BE//AC且過D作DE⊥BE于E，連接BE、CE，如下示意圖，∴由題設(shè)知：面ABEC為直角梯形且，過C作CF⊥BE于F，則CF=AB=2，，可得DE=，BE=，∴如圖1，易得EF=，則EC=，在Rt△DEC中，CD=.如圖2，易得EF=，則EC=，在Rt△DEC中，CD=.故或16.如圖，在平面四邊形中，．若點為邊上的動點，則的最小值為_________．【正確答案】【分析】設(shè)，根據(jù)條件找出，，且與的夾角為，與的夾角為，從而根據(jù)向量的加法法則和減法的定義寫出，然后表示為關(guān)于的二次函數(shù)，通過求二次函數(shù)的最小值即可解決問題.【詳解】延長交于點，因為，所以，，在中，，，所以，在中，，，所以，所以，不妨設(shè)，則，且與的夾角為，與的夾角為，則，所以時，取最小值.故答案為.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．17.已知平面向量，滿足，，.（1）求；（2）若向量與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）.【分析】(1)由給定條件求出，再根據(jù)向量模計算公式即可得解；(2)根據(jù)向量夾角為銳角借助數(shù)量積列出不等關(guān)系即可作答.【詳解】（1）依題意，，得，，所以；（2）由向量與的夾角為銳角，可得，即有，解得，而當向量與同向時，可知，綜上所述的取值范圍為.18.銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足：．（1）求A；（2）求面積取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角，利用兩角和差關(guān)系得，即，結(jié)合角度范圍即可得角A；（2）根據(jù)正弦定理及三角形面積公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的正切函數(shù)，根據(jù)銳角得角的范圍，即可求得面積取值范圍．【小問1詳解】解：因為，由正弦定理得：，因為，所以，化簡得，所以，因為，所以，【小問2詳解】解：由正弦定理，得又，因為銳角，所以解得，則所以.19.已知圓錐SO的底面半徑，高．（1）求圓錐SO的母線長；（2）圓錐SO的內(nèi)接圓柱的高為h，當h為何值時，內(nèi)接圓柱的軸截面面積最大，并求出最大值．【正確答案】（1）13（2）；最大值為30【小問1詳解】∵圓錐SO的底面半徑，高，∴圓錐SO的母線長；【小問2詳解】作出圓錐、圓柱的軸截面如圖所示，其中，，．設(shè)圓柱底面半徑為r，則，即．設(shè)圓柱的軸截面面積為．∴當時，有最大值為30．20.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，的面積，BC邊上的中線長為3．（1）求a；（2）求外接圓面積的最小值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)已知，利用三角形的面積公式向量的線性運算以及模長公式，再利用余弦定理求解.（2）根據(jù)第（1）問的結(jié)論，利用基本不等式、正弦定理以及進行計算求解.【小問1詳解】因為的面積，所以，因為，所以，所以，因為BC邊上的中線長為3，不妨設(shè)BC邊中點為D，所以，兩邊平方有：，即，所以，由余弦定理有：，即，解得.【小問2詳解】由（1）有：，所以，