高等應(yīng)用數(shù)學(xué) 課件 初東麗 第4章 常微分方程

4.1微分方程的概念目錄微分方程的發(fā)展簡(jiǎn)史微分方程的概念【知識(shí)目標(biāo)】

理解概念：微分方程、一階線性微分方程、二階常系數(shù)線性微分方程；

掌握題型：可分離變量的微分方程、一階線性微分方程、二階常系數(shù)線性齊次微分方程、簡(jiǎn)單二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的求解?！灸芰δ繕?biāo)】

通過(guò)學(xué)習(xí)常微分方程，掌握幾種常微分方程的求解過(guò)程，培養(yǎng)計(jì)算能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。教學(xué)目標(biāo)4.1.1微分方程的發(fā)展簡(jiǎn)史微分方程差不多是和微積分同時(shí)產(chǎn)生的，也像微積分一樣，常微分方程最早出現(xiàn)在數(shù)學(xué)家彼此的通訊中，英國(guó)數(shù)學(xué)家奈普爾（Napier）創(chuàng)立對(duì)數(shù)的時(shí)候，就討論過(guò)微分方程的近似解；英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓在創(chuàng)立微積分的同時(shí)，對(duì)簡(jiǎn)單的微分方程用級(jí)數(shù)來(lái)求解；牛頓和萊布尼茨指出微分和積分運(yùn)算的互逆性時(shí)，事實(shí)上就解決了最簡(jiǎn)單的微分方程的求解問(wèn)題；伯努利在1690年就用微積分來(lái)求常微分方程的分析解，應(yīng)是先驅(qū)者了。牛頓在研究天體力學(xué)和機(jī)械力學(xué)的時(shí)候，利用了微分方程這個(gè)工具，從理論上得到了行星運(yùn)行規(guī)律，法國(guó)天文學(xué)家勒維烈和英國(guó)天文學(xué)家亞當(dāng)斯使用微分方程各自計(jì)算出那時(shí)尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置，這些神奇的結(jié)論和精確的預(yù)言使數(shù)學(xué)家們更加深信微分方程在認(rèn)識(shí)自然改造自然方面無(wú)比巨大的力量。如y

xy2

0,y

2y

y=3x2

1，xdy

ydx

0等都是微分方程。說(shuō)明：微分方程中可以不顯含自變量和未知函數(shù)，但必須顯含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分．定義4.1

表示未知函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)或微分之間的關(guān)系的方程稱(chēng)為微分方程．4.1.2微分方程的概念定義4.2（1）未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程稱(chēng)為常微分方程；未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程，叫做偏微分方程.（本章我們只研究常微分方程）（2）微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱(chēng)為微分方程的階；二階及二階以上的微分方程稱(chēng)為高階微分方程。4.1.2微分方程的概念微分方程的解中含有任意常數(shù)，且獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解稱(chēng)為微分方程的通解或一般解。定義4.3如果某個(gè)函數(shù)代入微分方程，能使該方程成為恒等式，則稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為該微分方程的解。4.1.2微分方程的概念由于通解中含有任意常數(shù)，它還不完全確定，要完全確定地反映客觀事物的規(guī)律，必須根據(jù)具體問(wèn)題給定的條件，在通解中確定任意常數(shù)的值，得到微分方程不含任意常數(shù)的解，這種不含任意常數(shù)的解稱(chēng)為微分方程的特解。

4.1.2微分方程的概念

4.1.2微分方程的概念練習(xí)與作業(yè)練習(xí)與作業(yè)感謝觀看4.2

一階微分方程目錄可分離變量的一階微分方程一階線性微分方程齊次型微分方程微分方程的應(yīng)用【知識(shí)目標(biāo)】

理解概念：可分離變量的一階微分方程、齊次型微分方程、一階線性微分方程；

掌握題型：可分離變量的一階微分方程、齊次型微分方程、一階線性微分方程的求解方法、微分方程的應(yīng)用?！灸芰δ繕?biāo)】

通過(guò)求解可分離變量的一階微分方程、齊次型微分方程、一階線性微分方程，提高數(shù)學(xué)計(jì)算能力，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)風(fēng)和靈活的思維方式。教學(xué)目標(biāo)4.2.1可分離變量的一階微分方程

4.2.1可分離變量的一階微分方程

4.2.1可分離變量的一階微分方程

4.2.1可分離變量的一階微分方程

4.2.1可分離變量的一階微分方程4.2.2齊次型微分方程

4.2.2齊次型微分方程4.2.3一階線性微分方程

4.2.3一階線性微分方程4.2.3一階線性微分方程4.2.3一階線性微分方程4.2.3一階線性微分方程

4.2.3一階線性微分方程求解一階線性非齊次微分方程時(shí)，也可直接利用通解公式（4.7），但它不容易被記住，所以如果記不住公式（4.7），就可通過(guò)常數(shù)變易法來(lái)求解.

建立微分方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首先要把語(yǔ)言敘述的事物間的關(guān)系，通過(guò)建立坐標(biāo)系、選擇自變量和因變量、明確該問(wèn)題中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義、應(yīng)用有關(guān)學(xué)科的基本知識(shí)，轉(zhuǎn)化為含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的等量關(guān)系，即微分方程．如果實(shí)際問(wèn)題中，還有一些特定的條件或具有初始狀態(tài)，這是確定特解的定解條件，這在建立微分方程時(shí)是不可缺少的一步，下面通過(guò)例題加以說(shuō)明．4.2.4微分方程的應(yīng)用

4.2.4微分方程的應(yīng)用

4.2.4微分方程的應(yīng)用練習(xí)練習(xí)與作業(yè)練習(xí)練習(xí)與作業(yè)感謝觀看*4.3二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)目錄二階常系數(shù)線性微分方程二階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)二階線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)【知識(shí)目標(biāo)】

理解概念：二階線性齊次微分方程，二階線性非齊次微分方程的解的結(jié)構(gòu)；

掌握題型：二階微分方程的解的驗(yàn)證.【能力目標(biāo)】

通過(guò)學(xué)習(xí)二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)邏輯思維能力和數(shù)學(xué)計(jì)算能力.教學(xué)目標(biāo)4.3.1二階常系數(shù)線性微分方程4.3.2二階線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)4.3.2二階線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)4.3.2二階線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)4.3.3二階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)練習(xí)與作業(yè)感謝觀看4.4二階常系數(shù)線性微分方程目錄二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的通解【知識(shí)目標(biāo)】

理解概念：二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解與特解，二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的通解與特解；

掌握題型：掌握二階常系數(shù)線性齊次與非齊次微分方程的通解和特解的求解技巧和求解方法?！灸芰δ繕?biāo)】

通過(guò)求解二階常系數(shù)線性齊次與非齊次微分方程，培養(yǎng)邏輯思維能力和數(shù)學(xué)計(jì)算能力。教學(xué)目標(biāo)4.4.1二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解4.4.1二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解

4.4.1二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解

4.4.1二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解4.4.2二階常系數(shù)線性非齊次