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實例：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐標原點處有一個火焰，它使金屬板受熱．假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比．在(3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？問題的實質：應沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行．問題的提出1討論函數(shù)

的變化率問題．在一點P沿某一方向一、方向導數(shù)（如圖）2當 沿著 趨于 時，是否存在？345解6解 由方向導數(shù)的計算公式知7故8推廣可得三元函數(shù)方向導數(shù)的定義91011二、梯度1213結論14在幾何上表示一個曲面曲面被平面 所截得所得曲線在xoy面上投影如圖梯度為等高線上的法向量等高線15等高線的畫法播放16等高線的畫法17等高線的畫法18等高線的畫法19等高線的畫法20等高線的畫法21等高線的畫法22等高線的畫法23等高線的畫法24等高線的畫法25例如,26類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向導數(shù)的方向一致，其模為方向導數(shù)的最大值.27梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)28解 由梯度計算公式得故291、方向導數(shù)的概念（注意方向導數(shù)與一般所說偏導數(shù)的區(qū)別）2、梯度的概念（注意梯度是一個向量）3、方向導數(shù)與梯度的關系四、小結30思考題3

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