其它考試線性代數(shù)課件：12第六章實(shí)二次型

線性代數(shù)課件：第六章實(shí)二次型本章將深入探討實(shí)二次型的各種性質(zhì)和應(yīng)用，包括定義、特征值、正負(fù)性判定、標(biāo)準(zhǔn)型、正交對(duì)角化和合同矩陣等內(nèi)容。讓我們開始深入學(xué)習(xí)吧！實(shí)二次型的定義和性質(zhì)定義實(shí)二次型是一個(gè)關(guān)于實(shí)向量的二次多項(xiàng)式。性質(zhì)實(shí)二次型具有對(duì)稱性和二次齊次性。特殊情況平方和函數(shù)是實(shí)二次型的一種特殊情況。實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量特征值實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。特征向量特征向量是實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)應(yīng)特征值的線性無關(guān)解。特征值-特征向量方程特征值-特征向量方程是實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量的定義。正定、負(fù)定、半正定和半負(fù)定實(shí)二次型正定實(shí)二次型對(duì)于任意非零實(shí)向量，都有二次型的值大于零。負(fù)定實(shí)二次型對(duì)于任意非零實(shí)向量，都有二次型的值小于零。半正定實(shí)二次型對(duì)于任意非零實(shí)向量，都有二次型的值大于等于零。半負(fù)定實(shí)二次型對(duì)于任意非零實(shí)向量，都有二次型的值小于等于零。用特征值判定實(shí)二次型的正負(fù)性1正定實(shí)二次型特征值全為正數(shù)時(shí)，實(shí)二次型是正定的。2負(fù)定實(shí)二次型特征值全為負(fù)數(shù)時(shí)，實(shí)二次型是負(fù)定的。3半正定實(shí)二次型特征值全為非負(fù)數(shù)時(shí)，實(shí)二次型是半正定的。實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)型和規(guī)范型標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)型是一種方便進(jìn)行性質(zhì)分析和計(jì)算的簡化形式。規(guī)范型實(shí)二次型的規(guī)范型是實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角陣表示。對(duì)角陣對(duì)角陣有對(duì)稱矩陣的特殊性質(zhì)，是規(guī)范型的實(shí)現(xiàn)形式。實(shí)二次型的正交對(duì)角化1正交對(duì)角化過程通過正交變換，將實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化為對(duì)角陣。2特殊情況實(shí)對(duì)稱矩陣的特征向量可以兩兩正交。3應(yīng)用正交對(duì)角化可以簡化實(shí)二次型的計(jì)算和分析。實(shí)二次型的主軸定理定理實(shí)二次型的主軸是實(shí)二次型的一個(gè)基，通過正交變換可以將實(shí)二次型變換為以主軸為坐標(biāo)軸的形式。特點(diǎn)變換后的實(shí)二次型成為與原實(shí)二次型相似的實(shí)二次型。重要性主軸定理為實(shí)二次型的性質(zhì)分析提供了很多便利。實(shí)二次型的規(guī)范形式和規(guī)范矩陣1規(guī)范形式規(guī)范形式是經(jīng)過正交變換后的實(shí)二次型以規(guī)范矩陣形式表示。2規(guī)范矩陣規(guī)范矩陣是實(shí)二次型規(guī)范形式的矩陣表示。3規(guī)范性質(zhì)規(guī)范矩陣是對(duì)角陣，其對(duì)角線上的元素稱為規(guī)范形式的規(guī)范系數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)正交基下的實(shí)二次型矩陣標(biāo)準(zhǔn)正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基是由實(shí)二次型的特征向量組成的正交基。矩陣表示在標(biāo)準(zhǔn)正交基下，實(shí)二次型的矩陣表示是對(duì)角陣。對(duì)角陣對(duì)角陣具有簡潔的形式，易于計(jì)算和分析。實(shí)二次型的矩陣特征值和矩陣特征向量1矩陣特征值矩陣特征值是實(shí)二次型的特征值，與特征值-特征向量方程關(guān)聯(lián)。2矩陣特征向量矩陣特征向量是實(shí)二次型的特征