八年級(jí)初二數(shù)學(xué)下學(xué)期勾股定理單元-易錯(cuò)題難題檢測(cè)

八年級(jí)初二數(shù)學(xué)下學(xué)期勾股定理單元易錯(cuò)題難題檢測(cè)一、選擇題1．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，的度數(shù)是（）A．22.5° B．30° C．45° D．60°2．△ABC的三邊分別為，下列條件能推出△ABC是直角三角形的有（）①;②;③∠A＝∠B∠C;④∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3;⑤;⑥A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)3．若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為、a、，且a、b都是正整數(shù)，則三角形其中一邊的長(zhǎng)可能為（）A．22 B．32 C．62 D．824．如圖，△ABC中，AB=10，BC=12，AC=，則△ABC的面積是（）．A．36 B． C．60 D．5．如圖，已知，則數(shù)軸上點(diǎn)所表示的數(shù)為()A． B． C． D．6．勾股定理是“人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一”．我國(guó)對(duì)勾股定理的證明是由漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，他用來(lái)證明勾股定理的圖案被稱為“趙爽弦圖”.2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)選它作為會(huì)徽．下列圖案中是“趙爽弦圖”的是（）A． B． C． D．7．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，現(xiàn)將Rt△ABC沿BD進(jìn)行翻折，使點(diǎn)A剛好落在BC上，則CD的長(zhǎng)為（

）A．10 B．5 C．4 D．38．在下列以線段a、b、c的長(zhǎng)為邊，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．a(chǎn)=3，b=4，c=6 B．a(chǎn)=5，b=6，c=7 C．a(chǎn)=6，b=8，c=9 D．a(chǎn)=7，b=24，c=259．將一根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的裝滿水的無(wú)蓋圓柱形水杯中，設(shè)筷子浸沒(méi)在杯子里面的長(zhǎng)度為hcm，則h的取值范圍是（）A．h≤15cm B．h≥8cm C．8cm≤h≤17cm D．7cm≤h≤16cm10．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的三角形，如圖所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，設(shè)正方形ADOF的邊長(zhǎng)為，則（）A．12 B．16 C．20 D．24二、填空題11．如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別為5dm、3dm和1dm，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物．請(qǐng)你想一想，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)的最短路程是dm．12．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P使得S△PAD＝S矩形ABCD，則點(diǎn)P到點(diǎn)A、D的距離之和PA+PD的最小值為_____．13．在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，則的周長(zhǎng)為_______________．14．如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9，則AB=_____.15．如圖，在銳角中，，，的平分線交于點(diǎn)，，分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______.16．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，BC=AC，D為AB的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，將△BDE沿DE翻折，得到△FDE，EF交AC于點(diǎn)G，則△ECG的周長(zhǎng)是___________．17．如圖,，點(diǎn)分別在上，且，點(diǎn)分別在上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為______．18．如圖，小正方形的邊長(zhǎng)為1，連接小正方形的三個(gè)格點(diǎn)可得△ABC，則AC邊上的高的長(zhǎng)度是_____________．19．如圖，E為等腰直角△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，要使AE＝3，BE＝1，P為AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PB＋PE的最小值為____________．20．已知,在△ABC中,BC=3,∠A=22.5°,將△ABC翻折使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合,折痕與邊AC交于點(diǎn)P,如果AP=4,那么AC的長(zhǎng)為_______三、解答題21．如圖，在△ABC中，AB＝30cm，BC＝35cm，∠B＝60°，有一動(dòng)點(diǎn)M自A向B以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N自B向C以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，若M，N同時(shí)分別從A，B出發(fā)．(1)經(jīng)過(guò)多少秒，△BMN為等邊三角形；(2)經(jīng)過(guò)多少秒，△BMN為直角三角形．22．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點(diǎn)D，E是AB的中點(diǎn)，連接CE交AD于點(diǎn)F，BD=3，求BF的長(zhǎng)．23．如圖，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．（1）如圖①，連接BE、CD，求證：BE＝CD；（2）如圖②，連接BE、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝4，求BD的長(zhǎng)；（3）如圖③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C點(diǎn)恰好落在DE上，試探究CD2、CE2和BC2之間的數(shù)量關(guān)系，并加以說(shuō)明．24．中，，，，分別是邊和上的動(dòng)點(diǎn)，在圖中畫出值最小時(shí)的圖形，并直接寫出的最小值為.25．在中，，CD是AB邊上的高，若.（1）求CD的長(zhǎng).（2）動(dòng)點(diǎn)P在邊AB上從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為1個(gè)單位/秒；動(dòng)點(diǎn)Q在邊AC上從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為v個(gè)單位秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，當(dāng)點(diǎn)Q到點(diǎn)C時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng).①若當(dāng)時(shí)，，求t的值.②若在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中存在某一時(shí)刻，使成立，求v關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量t的取值范圍.26．如圖，點(diǎn)A是射線OE：y＝x（x≥0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為B，過(guò)點(diǎn)B作OA的平行線交∠AOB的平分線于點(diǎn)C．（1）若OA＝5，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，CH⊥OE于點(diǎn)H，求證：CG＝CH．（3）①若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），射線OC與AB交于點(diǎn)D，在射線BC上是否存在一點(diǎn)P使得△ACP與△BDC全等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．②在（3）①的條件下，在平面內(nèi)另有三點(diǎn)P1（，），P2（2，2），P3（2+，2﹣），請(qǐng)你判斷也滿足△ACP與△BDC全等的點(diǎn)是．（寫出你認(rèn)為正確的點(diǎn)）27．問(wèn)題情境：綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，同學(xué)們圍繞“已知三角形三邊的長(zhǎng)度，求三角形的面積”開展活動(dòng)，啟航小組同學(xué)想到借助正方形網(wǎng)格解決問(wèn)題問(wèn)題解決：圖（1）、圖（2）都是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，操作發(fā)現(xiàn)，啟航小組同學(xué)在圖（1）中畫出△ABC，其頂點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，同時(shí)構(gòu)造長(zhǎng)方形CDEF，使它的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，且它的邊EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，ED經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．同學(xué)們借助此圖求出了△ABC的面積．（1）在圖（1）中，△ABC的三邊長(zhǎng)分別是AB＝，BC＝，AC＝．△ABC的面積是．（2）已知△PMN中，PM＝，MN＝2，NP＝．請(qǐng)你根據(jù)啟航小組的思路，在圖（2）中畫出△PMN，并直接寫出△RMN的面積．28．如圖1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD:AD:CD＝2:3:4，（1）試說(shuō)明△ABC是等腰三角形；（2）已知S△ABC＝40cm2，如圖2，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)以每秒2cm的速度沿線段BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1cm速度沿線段AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)都停止.設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），①若△DMN的邊與BC平行，求t的值；②若點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，問(wèn)在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△MDE能否成為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖1圖2備用圖29．（1）如圖1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且點(diǎn)D在BC邊上滑動(dòng)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），連接EC，①則線段BC，DC，EC之間滿足的等量關(guān)系式為；②求證：BD2+CD2＝2AD2；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的長(zhǎng)．30．（知識(shí)背景）據(jù)我國(guó)古代《周髀算經(jīng)》記載，公元前1120年商高對(duì)周公說(shuō)，將一根直尺折成一個(gè)直角，兩端連接得到一個(gè)直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括為“勾三、股四、弦五”．像3、4、5這樣為三邊長(zhǎng)能構(gòu)成直角三角形的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．（應(yīng)用舉例）觀察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò)，并且勾為3時(shí)，股，弦；勾為5時(shí)，股，弦；請(qǐng)仿照上面兩組樣例，用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：（1）如果勾為7，則股24＝弦25＝（2）如果勾用（，且為奇數(shù)）表示時(shí)，請(qǐng)用含有的式子表示股和弦，則股＝，弦＝．（解決問(wèn)題）觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根據(jù)應(yīng)用舉例獲得的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行填空：（3）如果是符合同樣規(guī)律的一組勾股數(shù)，（表示大于1的整數(shù)），則，，這就是古希臘的哲學(xué)家柏拉圖提出的構(gòu)造勾股數(shù)組的公式．（4）請(qǐng)你利用柏拉圖公式，補(bǔ)全下面兩組勾股數(shù)（數(shù)據(jù)從小到大排列）第一組：、24、：第二組：、、37．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、選擇題1．C解析：C【分析】連接AB，求出AB、BM、AM的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理逆定理即可求證為直角三角形，而AM=BM，即為等腰直角三角形，據(jù)此即可求解．【詳解】連接AB∵，，∴∴為等腰直角三角形∴故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，重點(diǎn)是求出三條邊的長(zhǎng)，然后證明為直角三角形．2．D解析：D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形的內(nèi)角和定理，分別對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得到答案.【詳解】解：∵，得，符合勾股定理逆定理，則①正確；∵，得到，符合勾股定理逆定理，則②正確；∵∠A＝∠B∠C，得∠B=∠A+∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=90°，故③正確；∵∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，∠A+∠B+∠C=180°，∴，故④正確；∵，則⑤不能構(gòu)成直角三角形，故⑤錯(cuò)誤；∵，則⑥能構(gòu)成直角三角形，故⑥正確；∴能構(gòu)成直角三角形的有5個(gè)；故選擇：D.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，以及三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用勾股定理的逆定理和三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行判斷三角形是直角三角形.3．B解析：B【解析】由題可知（a-b）2+a2=（a+b）2，解得a=4b，所以直角三角形三邊分別為3b，4b，5b，當(dāng)b=8時(shí)，4b=32，故選B．4．A解析：A【分析】作于點(diǎn)D，設(shè)，得，，結(jié)合題意，經(jīng)解方程計(jì)算得BD，再通過(guò)勾股定理計(jì)算得AD，即可完成求解．【詳解】如圖，作于點(diǎn)D設(shè)，則∴，∴∵AB=10，AC=∴∴∴∴△ABC的面積故選：A．【點(diǎn)睛】本題考察了直角三角形、勾股定理、一元一次方程的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的性質(zhì)，從而完成求解．5．D解析：D【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，即為AC的長(zhǎng)，再根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)的表示解答.【詳解】由勾股定理得，∴∵點(diǎn)A表示的數(shù)是1∴點(diǎn)C表示的數(shù)是故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟記定理并求出AB的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.6．B解析：B【分析】“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．【詳解】“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示：故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的證明，證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小圖形的面積和化簡(jiǎn)整理得到勾股定理．7．B解析：B【分析】根據(jù)“在Rt△ABC中”和“沿BD進(jìn)行翻折”可知，本題考察勾股定理和翻折問(wèn)題，根據(jù)勾股定理和翻折的性質(zhì)，運(yùn)用方程的方法進(jìn)行求解．【詳解】∵∠A=90°，AB=6，AC=8，∴BC==10，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得A′B=AB=6，A′D=AD，∴A′C=10-6=4．設(shè)CD=x，則A′D=8-x，根據(jù)勾股定理可得x2-（8-x）2=42，解得x=5，故CD=5．故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題考察勾股定理和翻折問(wèn)題，根據(jù)勾股定理把求線段的長(zhǎng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．8．D解析：D【解析】A選項(xiàng)：32+42≠62，故不符合勾股定理的逆定理，不能組成直角三角形，故錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：52+62≠72，故不符合勾股定理的逆定理，不能組成直角三角形，故錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：62+82≠92，故不符合勾股定理的逆定理，不能組成直角三角形，故錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：72+242=252，故符合勾股定理的逆定理，能組成直角三角形，故正確．故選D．9．C解析：C【分析】筷子浸沒(méi)在水中的最短距離為水杯高度，最長(zhǎng)距離如下圖，是筷子斜臥于杯中時(shí)，利用勾股定理可求得.【詳解】當(dāng)筷子筆直豎立在杯中時(shí)，筷子浸沒(méi)水中距離最短，為杯高=8cmAD是筷子，AB長(zhǎng)是杯子直徑，BC是杯子高，當(dāng)筷子如下圖斜臥于杯中時(shí)，浸沒(méi)在水中的距離最長(zhǎng)由題意得：AB=15cm，BC=8cm，△ABC是直角三角形∴在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，AC=17cm∴8cm≤h≤17cm故選：C【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是將題干中生活實(shí)例抽象成數(shù)學(xué)模型，然后再利用相關(guān)知識(shí)求解.10．D解析：D【分析】設(shè)正方形ADOF的邊長(zhǎng)為x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立關(guān)于x的方程，整理方程即可．【詳解】解：設(shè)正方形ADOF的邊長(zhǎng)為x，由題意得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，∴BC＝BE＋CE＝BD＋CF＝10，在Rt△ABC中，AC2＋AB2＝BC2，即（6＋x）2＋（x＋4）2＝102，整理得，x2＋10x﹣24＝0，∴x2＋10x＝24，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．【解析】試題分析：將臺(tái)階展開，如圖，即螞蟻爬行的最短線路為考點(diǎn)：平面展開：最短路徑問(wèn)題．12．8【分析】根據(jù)S△PAD＝S矩形ABCD，得出動(dòng)點(diǎn)P在與AD平行且與AD的距離是4的直線l上，作A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)E，連接DE，BE，則DE的長(zhǎng)就是所求的最短距離．然后在直角三角形ADE中，由勾股定理求得DE的值，即可得到PA+PD的最小值．【詳解】設(shè)△PAD中AD邊上的高是h．∵S△PAD＝S矩形ABCD，∴AD?h＝AD?AB，∴h＝AB＝4，∴動(dòng)點(diǎn)P在與AD平行且與AD的距離是4的直線l上，如圖，作A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)E，連接BE，DE，則DE的長(zhǎng)就是所求的最短距離．在Rt△ADE中，∵AD＝8，AE＝4+4＝8，DE＝,即PA+PD的最小值為8．故答案8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，三角形的面積，矩形的性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)．得出動(dòng)點(diǎn)P所在的位置是解題的關(guān)鍵．13．32或42【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分兩種情況：△ABC是鈍角三角形或銳角三角形，分別求出邊BC，即可得到答案【詳解】當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，∵∠D=90°，AC=13，AD=12，∴,∵∠D=90°，AB=15，AD=12，∴,∴BC=BD-CD=9-5=4，∴△ABC的周長(zhǎng)=4+15+13=32；當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，∵∠ADC=90°，AC=13，AD=12，∴，∵∠ADB=90°，AB=15，AD=12，∴，∴BC=BD-CD=9+5=14，∴△ABC的周長(zhǎng)=14+15+13=42；綜上，△ABC的周長(zhǎng)是32或42，故答案為：32或42.【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，能依據(jù)題意正確畫出圖形分類討論是解題的關(guān)鍵.14．21【分析】在AB上截取AE=AD，連接CE，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，先證明△ADC≌△AEC，得出AE=AD=9，CE=CD=BC＝10的長(zhǎng)度，再設(shè)EF=BF=x，在Rt△CFB和Rt△CFA中，由勾股定理求出x，再根據(jù)AB=AE+EF+FB求得AB的長(zhǎng)度．【詳解】如圖所示，在AB上截取AE=AD，連接CE，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠EAC．在△AEC和△ADC中，∴△ADC≌△AEC（SAS），∴AE=AD=9，CE=CD=BC=10，又∵CF⊥AB，∴EF=BF，設(shè)EF=BF=x．∵在Rt△CFB中，∠CFB=90°，∴CF2=CB2-BF2=102-x2，∵在Rt△CFA中，∠CFA=90°，∴CF2=AC2-AF2=172-（9+x）2，即102-x2=172-（9+x）2，∴x=6，∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21，∴AB的長(zhǎng)為21．故答案是：21.【點(diǎn)睛】考查全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理和一元二次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形，再運(yùn)用用方程的思想解決問(wèn)題．15．．【分析】作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)B′，過(guò)點(diǎn)B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，B′N的長(zhǎng)度即為BM+MN的最小值，根據(jù)∠BAC=60°判斷出△ABB′是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)B′，由垂線段最短，過(guò)點(diǎn)B′作B′N⊥AB于N交AD于M，B′N最短，由軸對(duì)稱性質(zhì)，BM=B′M，∴BM+MN=B′M+MN=B′N，由軸對(duì)稱的性質(zhì)，AD垂直平分BB′，∴AB=AB′，∵∠BAC=60°，∴△ABB′是等邊三角形，∵AB=2，∴B′N=2×=，即BM+MN的最小值是．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，等邊三角形的判定與性質(zhì)，確定出點(diǎn)M、N的位置是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．16．【分析】連接CE．根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”、等腰三角形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)推知EG+CG=EG+GF=EF=BE，【詳解】解：（1）如圖，連接CD、CF.∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為AB邊的中點(diǎn)，∴BD=CD=1．BC=,∵由翻折可知BD=DF，∴CD=BD=DF=1，∠DFE=∠B=∠DCA=45°,∴∠DCF=∠DFC，∴∠DCF-∠DCA=∠DFC-∠DFE，即∠GCF=∠GFC，∴GC=GF，∴EG+CG=EG+GF=EF=BE，∴△ECG的周長(zhǎng)=EG+GC+CE=BE+EC=BC=,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)，能將三角形的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)移到已知線段上是解題的關(guān)鍵.．17．10【分析】首先作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M′，作N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值，易得△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，∠N′OM′=90°，繼而可以求得答案．【詳解】作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M′，作N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值．根據(jù)軸對(duì)稱的定義可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，OM′=OM=6，ON′=ON=8，∴△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，∴∠N′OM′=90°．在Rt△M′ON′中，M′N′==10．故答案為10．【點(diǎn)睛】本題考查了最短路徑問(wèn)題，根據(jù)軸對(duì)稱的定義，找到相等的線段，得到直角三角形是解題的關(guān)鍵．18．【詳解】四邊形DEFA是正方形，面積是4；△ABF，△ACD的面積相等，且都是×1×2=1．△BCE的面積是：×1×1=．則△ABC的面積是：4﹣1﹣1﹣=．在直角△ADC中根據(jù)勾股定理得到：AC=．設(shè)AC邊上的高線長(zhǎng)是x．則AC?x=x=，解得：x=．故答案為.19．5【解析】試題分析：作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)最短路徑可知：此時(shí)PB+PE的值最小，接下來(lái)要求出這個(gè)最小值，即求EF的長(zhǎng)即可，因此要先求AF的長(zhǎng)，證明△ADF≌△CDB，可以解決這個(gè)問(wèn)題，從而得出EF=5，則PB+PE的最小值為5．解：如圖，過(guò)B作BD⊥AC，垂足為D，并截取DF=BD，連接EF交AC于P，連接PB、AF，則此時(shí)PB+PE的值最小，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=CB,∠ABC=90°，AD=DC，∴∠BAC=∠C=45°，∵∠ADF=∠CDB，∴△ADF≌△CDB，∴AF=BC,∠FAD=∠C=45°，∵AE=3，BE=1，∴AB=BC=4，∴AF=4，∵∠BAF=∠BAC+∠FAD=45°+45°=90°,∴由勾股定理得：EF===5，∵AC是BF的垂直平分線，∴BP=PF，∴PB+PE=PF+PE=EF=5，故答案為5.點(diǎn)睛：本題主要考查最短路徑問(wèn)題.解題的關(guān)鍵在于要利用軸對(duì)稱知識(shí)，結(jié)合兩點(diǎn)之間線段最短來(lái)求解.20．【分析】過(guò)B作BF⊥CA于F，構(gòu)造直角三角形，分兩種情況討論，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)，即可得到AC的長(zhǎng)．【詳解】分兩種情況：①當(dāng)∠C為銳角時(shí)，如圖所示，過(guò)B作BF⊥AC于F，由折疊可得，折痕PE垂直平分AB，∴AP=BP=4，∴∠BPC=2∠A=45°，∴△BFP是等腰直角三角形，∴BF=DF=，又∵BC=3，∴Rt△BFC中，CF=，∴AC=AP+PF+CF=5+；②當(dāng)∠ACB為鈍角時(shí)，如圖所示，過(guò)B作BF⊥AC于F，同理可得，△BFP是等腰直角三角形，∴BF=FP=，又∵BC=3，∴Rt△BCF中，CF=，∴AC=AF-CF=3+.故答案為：5+或3+．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問(wèn)題以及勾股定理的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是分兩種情況畫出圖形進(jìn)行求解．解題時(shí)注意：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．三、解答題21．(1)出發(fā)10s后，△BMN為等邊三角形；(2)出發(fā)6s或15s后，△BMN為直角三角形．【分析】（1）設(shè)時(shí)間為x，表示出AM=x、BN=2x、BM=30-x，根據(jù)等邊三角形的判定列出方程，解之可得；（2）分兩種情況：①∠BNM=90°時(shí)，即可知∠BMN=30°，依據(jù)BN=BM列方程求解可得；②∠BMN=90°時(shí)，知∠BNM=30°，依據(jù)BM=BN列方程求解可得．【詳解】解(1)設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，△BMN為等邊三角形，則AM＝x，BN＝2x，∴BM＝AB－AM＝30－x，根據(jù)題意得30－x＝2x，解得x＝10，答：經(jīng)過(guò)10秒，△BMN為等邊三角形；(2)經(jīng)過(guò)x秒，△BMN是直角三角形，①當(dāng)∠BNM＝90°時(shí)，∵∠B＝60°，∴∠BMN＝30°，∴BN＝BM，即2x＝(30－x)，解得x＝6；②當(dāng)∠BMN＝90°時(shí)，∵∠B＝60°，∴∠BNM＝30°，∴BM＝BN，即30－x＝×2x，解得x＝15，答：經(jīng)過(guò)6秒或15秒，△BMN是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理，等邊三角形的判定.22．BF的長(zhǎng)為【分析】先連接BF，由E為中點(diǎn)及AC=BC，利用三線合一可得CE⊥AB，進(jìn)而可證△AFE≌△BFE，再利用AD為角平分線以及三角形外角定理，即可得到∠BFD為45°，△BFD為等腰直角三角形，利用勾股定理即可解得BF．【詳解】解：連接BF．∵CA=CB，E為AB中點(diǎn)∴AE=BE，CE⊥AB，∠FEB=∠FEA=90°在Rt△FEB與Rt△FEA中，∴Rt△FEB≌Rt△FEA又∵AD平分∠BAC，在等腰直角三角形ABC中∠CAB=45°∴∠FBE=∠FAE=∠CAB=22.5°在△BFD中，∠BFD=∠FBE+∠FAE=45°又∵BD⊥AD，∠D=90°∴△BFD為等腰直角三角形，BD=FD=3∴【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)及判定、三角形全等的性質(zhì)及判定、三角形外角、角平分線，解題關(guān)鍵在于熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)．23．（1）證明見(jiàn)解析；（2）5；（3）CD2+CE2＝BC2，證明見(jiàn)解析．【分析】（1）先判斷出∠BAE=∠CAD，進(jìn)而得出△ACD≌△ABE，即可得出結(jié)論．（2）先求出∠CDA=∠ADE=30°，進(jìn)而求出∠BED=90°，最后用勾股定理即可得出結(jié)論．（3）方法1、同（2）的方法即可得出結(jié)論；方法2、先判斷出CD2+CE2=2（AP2+CP2），再判斷出CD2+CE2=2AC2．即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD．又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE．（2）如圖2，連結(jié)BE，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴DE＝AD＝3，∠ADE＝∠AED＝60°，∵CD⊥AE，∴∠CDA＝∠ADE＝×60°＝30°，∵由（1）得△ACD≌△ABE，∴BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°，即BE⊥DE，∴BD＝＝＝5．（3）CD2、CE2、BC2之間的數(shù)量關(guān)系為：CD2+CE2＝BC2，理由如下：解法一：如圖3，連結(jié)BE．∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠D＝∠AED＝45°，∵由（1）得△ACD≌△ABE，∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE，在Rt△BEC中，由勾股定理可知：BC2＝BE2+CE2．∴BC2＝CD2+CE2．解法二：如圖4，過(guò)點(diǎn)A作AP⊥DE于點(diǎn)P．∵△ADE為等腰直角三角形，AP⊥DE，∴AP＝EP＝DP．∵CD2＝（CP+PD）2＝（CP+AP）2＝CP2+2CP?AP+AP2，CE2＝（EP﹣CP）2＝（AP﹣CP）2＝AP2﹣2AP?CP+CP2，∴CD2+CE2＝2AP2+2CP2＝2（AP2+CP2），∵在Rt△APC中，由勾股定理可知：AC2＝AP2+CP2，∴CD2+CE2＝2AC2．∵△ABC為等腰直角三角形，由勾股定理可知：∴AB2+AC2＝BC2，即2AC2＝BC2，∴CD2+CE2＝BC2．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是判斷出∠BAE=∠CAD，解（2）（3）的關(guān)鍵是判斷出BE⊥DE，是一道中等難度的中考?？碱}．24．作圖見(jiàn)解析，【分析】作A點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A'，A'A與BC交于點(diǎn)H，再作A'M⊥AB于點(diǎn)M，與BC交于點(diǎn)N，此時(shí)AN+MN最小，連接AN，首先用等積法求出AH的長(zhǎng)，易證△ACH≌△A'NH，可得A'N=AC=4，然后設(shè)NM=x，利用勾股定理建立方程求出NM的長(zhǎng)，A'M的長(zhǎng)即為AN+MN的最小值．【詳解】如圖，作A點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A'，A'A與BC交于點(diǎn)H，再作A'M⊥AB于點(diǎn)M，與BC交于點(diǎn)N，此時(shí)AN+MN最小，最小值為A'M的長(zhǎng)．連接AN，在Rt△ABC中，AC=4，AB=8，∴BC=∵∴AH=∵CA⊥AB，A'M⊥AB，∴CA∥A'M∴∠C=∠A'NH，由對(duì)稱的性質(zhì)可得AH=A'H，∠AHC=∠A'HN=90°，AN=A'N在△ACH和△A'NH中，∵∠C=∠A'NH，∠AHC=∠A'HN，AH=A'H，∴△ACH≌△A'NH（AAS）∴A'N=AC=4=AN，設(shè)NM=x，在Rt△AMN中，AM2=AN2-NM2=在Rt△AA'M中，AA'=2AH=，A'M=A'N+NM=4+x∴AM2=AA'2-A'M2=∴解得此時(shí)的最小值=A'M=A'N+NM=4+=【點(diǎn)睛】本題考查了最短路徑問(wèn)題，正確作出輔助線，利用勾股定理解直角三角形是解題的關(guān)鍵．25．（1）CD=8；（2）t=4；（3）()【分析】（1）作AE⊥BC于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BE=BC，然后利用勾股定理求出AE，再用等面積法可求出CD的長(zhǎng)；（2）①過(guò)B作BF⊥AC于F，易得BF=CD，分別討論Q點(diǎn)在AF和FC之間時(shí)，根據(jù)△BQF≌△CPD，得到PD=QF，建立方程即可求出t的值；（3）同（2）建立等式關(guān)系即可得出關(guān)系式，再根據(jù)Q在FC之間求出t的取值范圍即可.【詳解】解：（1）如圖，作AE⊥BC于E，∵AB=AC，∴BE=BC=在Rt△ABE中，∵△ABC的面積=∴（2）過(guò)B作BQ⊥AC，當(dāng)Q在AF之間時(shí)，如圖所示，∵△ABC的面積=，AB=AC∴BF=CD在Rt△CPD和Rt△BQF中∵CP=BQ，CD=BF，∴Rt△CPD≌Rt△BQF（HL）∴PD=QF在Rt△ACD中，CD=8，AC=AB=10∴同理可得AF=6∴PD=AD=AP=6-t，QF=AF-AQ=6-2t由PD=QF得6-t=6-2t，解得t=0，∵t＞0，∴此種情況不符合題意，舍去；當(dāng)Q點(diǎn)在FC之間時(shí)，如圖所示，此時(shí)PD=6-t，QF=2t-6由PD=QF得6-t=2t-6，解得t=4，綜上得t的值為4.（3）同（2）可知v＞1時(shí)，Q在AF之間不存在CP=BQ，Q在FC之間存在CP=BQ，Q在F點(diǎn)時(shí)，顯然CP≠BQ，∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則AP=t，AQ=vt，∴PD=6-t，QF=vt-6，由PD=QF得6-t=vt-6，整理得，∵Q在FC之間，即AF＜AQ≤AC∴，代入得，解得所以答案為()【點(diǎn)睛】本題考查三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握勾股定理求出等腰三角形的高，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等建立方程是解題的關(guān)鍵.26．（1）（5，0）；（2）見(jiàn)解析；（3）①P（4，2），②滿足△ACP與△BDC全等的點(diǎn)是P1、P2，P3．理由見(jiàn)解析【分析】（1）由題意可以假設(shè)A（a，a）（a＞0），根據(jù)AB2+OB2=OA2，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；（2）由角平分線的性質(zhì)定理證明CH=CF，CG=CF即可解決問(wèn)題；（3）①如圖3中，在BC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)P，使得CP=DB，連接AP．只要證明△ACP≌△CDB（SAS），△ABP是等腰直角三角形即可解決問(wèn)題；②根據(jù)SAS即可判斷滿足△ACP與△BDC全等的點(diǎn)是P1、P2，P3；【詳解】解：（1）∵點(diǎn)A在射線y＝x（x≥0）上，故可以假設(shè)A（a，a）（a＞0），∵AB⊥x軸，∴AB＝OB＝a，即△ABO是等腰直角三角形，∴AB2+OB2＝OA2，∴a2+a2＝（5）2，解得a＝5，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（5，0）．（2）如圖2中，作CF⊥x軸于F．∵OC平分∠AOB，CH⊥OE，∴CH＝CF，∵△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∵BC∥OE，∴∠CBG＝∠AOB＝45°，得到BC平分∠ABF，∵CG⊥BA，CF⊥BF，∴CG＝CF，∴CG＝CH．（3）①如圖3中，在BC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)P，使得CP＝DB，連接AP．由（2）可知AC平分∠DAE，∴∠DAC＝∠DAE＝（180°﹣45°）＝67.5°，由OC平分∠AOB得到∠DOB＝∠AOB＝22.5°，∴∠ADC＝∠ODB＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠ADC＝∠DAC＝67.5°，∴AC＝DC，∠BDC＝∠OBD+∠DOB＝90°+22.5°＝112.5°，∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，∠OCB＝45°﹣22.5°＝22.5°，∠ACP＝180°﹣∠ACD﹣∠OCB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，在△ACP和△CDB中，，∴△ACP≌△CDB（SAS），∴∠CAP＝∠DCB＝22.5°，∴∠BAP＝∠CAP+∠DAC＝22.5°+67.5°＝90°，∴△ABP是等腰直角三角形，∴AP＝AB＝OB＝2，∴P（4，2）．②滿足△ACP與△BDC全等的點(diǎn)是P1、P2，P3．理由：如圖4中，由題意：AP1＝BD，AC＝CD，∠CAP1＝∠CDB，根據(jù)SAS可得△CAP1≌△CDB；AP2＝BD，AC＝CD，∠CAP2＝∠CDB，根據(jù)SAS可得△CAP2≌△CDB；AC＝CD，∠ACP3＝∠BDC，BD＝CP3根據(jù)SAS可得△CAP3≌△DCB；故答案為P1、P2，P3．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．27．（1），，，；（2）圖見(jiàn)解析；7．【分析】（1）利用勾股定理求出AB，BC，AC，理由分割法求出△ABC的面積．（2）模仿（1）中方法，畫出△PMN，利用分割法求解即可．【詳解】解：（1）如圖1中，AB＝＝＝，BC＝＝＝，AC＝＝＝，S△ABC＝S矩形DEFC﹣S△AEB﹣S△AFC﹣S△BDC＝12﹣3﹣﹣2＝，故答案為，，，．（2）△PMN如圖所示．S△PMN＝4×4﹣2﹣3﹣4＝7，故答案為7．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.28．（1）見(jiàn)詳解；（2）①t值為：s或6s；②t值為：4.5或5或．【分析】（1）設(shè)BD=2x，AD=3x，CD=4x，則AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出結(jié)論；（2）由△ABC的面積求出BD、AD、CD、AC；①當(dāng)MN∥BC時(shí)，AM=AN；當(dāng)DN∥BC時(shí)，AD=AN；得出方程，解方程即可；②根據(jù)題意得出當(dāng)點(diǎn)M在DA上，即2＜t≤5時(shí)，△MDE為等腰三角形，有3種可能：如果DE=DM；如果ED=EM；如果MD=ME=2t-4；分別得出方程，解方程即可．【詳解】解：（1）證明：設(shè)BD=2x，AD=3x，CD=4x，則AB=5x，在Rt△ACD中，AC=5x，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：由（1）知，AB=5x，CD=4x，∴S△ABC=×5x×4x=40cm2，而x＞0，∴x=2cm，則BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AB=AC=10cm．由運(yùn)動(dòng)知，AM=10-2t，AN=t，①當(dāng)MN∥BC時(shí)，AM=AN，即10-2t=t，∴；當(dāng)DN∥BC時(shí)，AD=AN，∴6=t，得：t=6；∴若△DMN的邊與BC平行時(shí)，t值為s或6s．②存在，理由：Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)M在BD上，即0≤t＜2時(shí)，△MDE為鈍角三角形，但DM≠DE；Ⅱ、當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)