專題04導數(shù)的基本應(yīng)用（講）（解析版）

第一篇熱點、難點突破篇專題04導數(shù)的基本應(yīng)用（講）真題體驗感悟高考1．（2022·全國·高考真題（理））當時，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出．【詳解】因為函數(shù)定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．故選：B.2．（2022·全國·高考真題（文））函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出在區(qū)間上的最小值和最大值.【詳解】，所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，又，，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：D3．（2022·全國·高考真題（理））已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得;構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)可得,即可得解.【詳解】[方法一]：構(gòu)造函數(shù)因為當故，故，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，故，所以，所以，所以，故選A[方法二]：不等式放縮因為當，取得：，故，其中，且當時，，及此時，故，故所以，所以，故選A[方法三]：泰勒展開設(shè)，則，，，計算得，故選A.[方法四]：構(gòu)造函數(shù)因為，因為當，所以,即，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，則,所以，所以,所以，故選：A．[方法五]：【最優(yōu)解】不等式放縮因為，因為當，所以,即，所以；因為當，取得，故，所以．故選：A．【整體點評】方法4：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是常見思路，難點在于構(gòu)造合適的函數(shù)，屬于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式放縮，即可得出大小關(guān)系，屬于最優(yōu)解．4．（2021·全國·高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：根據(jù)導數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；解法二：畫出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.【詳解】在曲線上任取一點，對函數(shù)求導得，所以，曲線在點處的切線方程為，即，由題意可知，點在直線上，可得，令，則.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點，則，當時，，當時，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當時，直線與曲線的圖象有兩個交點.故選：D.解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.故選：D.【點睛】解法一是嚴格的證明求解方法，其中的極限處理在知識范圍內(nèi)需要用到指數(shù)函數(shù)的增長特性進行估計，解法二是根據(jù)基于對指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認識的基礎(chǔ)上，直觀解決問題的有效方法.5．（2022·全國·高考真題（文））已知函數(shù)，曲線在點處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．【答案】(1)3(2)【分析】（1）先由上的切點求出切線方程，設(shè)出上的切點坐標，由斜率求出切點坐標，再由函數(shù)值求出即可；（2）設(shè)出上的切點坐標，分別由和及切點表示出切線方程，由切線重合表示出，構(gòu)造函數(shù)，求導求出函數(shù)值域，即可求得的取值范圍.（1）由題意知，，，，則在點處的切線方程為，即，設(shè)該切線與切于點，，則，解得，則，解得；（2），則在點處的切線方程為，整理得，設(shè)該切線與切于點，，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時，的變化情況如下表：01000則的值域為，故的取值范圍為.總結(jié)規(guī)律預測考向（一）規(guī)律與預測1.高考對本部分的要求一般有三個層次：第一層次主要考查求導公式，求導法則與導數(shù)的幾何意義；第二層次是導數(shù)的簡單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，如研究函數(shù)零點、證明不等式、恒成立問題、求參數(shù)等，包括解決應(yīng)用問題，將導數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式、數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機結(jié)合，設(shè)計綜合題.2.導數(shù)的計算和幾何意義是高考命題的熱點，多以選擇題、填空題形式考查，難度較小.3.應(yīng)用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值多在選擇題、填空題靠后的位置考查，難度中等偏上，屬綜合性問題．4.涉及導數(shù)的幾何意義、單調(diào)性、極（最）值的求參數(shù)取值范圍問題，是常考題型.（二）本專題考向展示考點突破典例分析考向一導數(shù)的幾何意義【核心知識】1.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式原函數(shù)導函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)2．導數(shù)的運算法則（1）[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；（2）[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（3）(g(x)≠0)．3.函數(shù)f(x)在x0處的導數(shù)是曲線f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率，曲線f(x)在點P處的切線的斜率k＝f′(x0)，相應(yīng)的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．警示:求曲線的切線方程時，要注意是在點P處的切線還是過點P的切線，前者點P為切點，后者點P不一定為切點.【典例分析】典例1.（2022·貴州遵義·高三期中（理））若直線與曲線相切，則切點的坐標為_____________．【答案】【分析】設(shè)切點為，求出函數(shù)的導函數(shù)，即可得到方程組，解得即可.【詳解】解：設(shè)切點為，，，又，，解得，∴切點坐標為.故答案為：典例2.（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是_______．【答案】【分析】結(jié)合導數(shù)的幾何意義可得，結(jié)合直線方程及兩點間距離公式可得，，化簡即可得解.【詳解】由題意，，則，所以點和點，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件，消去一個變量后，運算即可得解.典例3.（2019·江蘇·高考真題）在平面直角坐標系中，P是曲線上的一個動點，則點P到直線x+y=0的距離的最小值是_____.【答案】4.【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為切點與直線之間的距離，然后利用導函數(shù)確定切點坐標可得最小距離【詳解】當直線平移到與曲線相切位置時，切點Q即為點P到直線的距離最小.由，得，，即切點，則切點Q到直線的距離為，故答案為．【點睛】本題考查曲線上任意一點到已知直線的最小距離，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).采取導數(shù)法和公式法，利用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.【總結(jié)提升】1.求曲線y＝f(x)的切線方程的三種類型及方法(1)已知切點P(x0，y0)，求y＝f(x)過點P的切線方程：求出切線的斜率f′(x0)，由點斜式寫出方程．(2)已知切線的斜率為k，求y＝f(x)的切線方程：設(shè)切點P(x0，y0)，通過方程k＝f′(x0)解得x0，再由點斜式寫出方程．(3)已知切線上一點(非切點)，求y＝f(x)的切線方程：設(shè)切點P(x0，y0)，利用導數(shù)求得切線斜率f′(x0)，然后由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得x0，再由點斜式或兩點式寫出方程．2．一些距離類最值，可以轉(zhuǎn)化為求一條直線上的點到一條曲線上的點的最小值，此時與已知直線平行的曲線的切線到已知直線的距離即為最小值.考向二利用導數(shù)的幾何意義求參數(shù)【核心知識】主要涉及公切線問題、兩直線位置關(guān)系問題、切點坐標、切線的斜率（切線方程）問題以及與切線相關(guān)的距離問題.【典例分析】典例4.（2022·河南·一模（理））已知曲線在點處的切線與直線垂直，則實數(shù)的值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導數(shù)幾何意義和垂直關(guān)系可得，解方程即可.【詳解】令，則，在點處的切線與垂直，，解得：.故選：A.典例5.（2021·全國·高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：根據(jù)導數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；解法二：畫出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.【詳解】在曲線上任取一點，對函數(shù)求導得，所以，曲線在點處的切線方程為，即，由題意可知，點在直線上，可得，令，則.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點，則，當時，，當時，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當時，直線與曲線的圖象有兩個交點.故選：D.解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.故選：D.典例6.（2022·全國·高考真題）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是___________．【答案】【分析】設(shè)出切點橫坐標，利用導數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個不同的實數(shù)根，求得的取值范圍.【詳解】∵，∴，設(shè)切點為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：【總結(jié)提升】利用導數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法利用切點的坐標、切線的斜率、切線方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組)，進而求出參數(shù)的值或取值范圍．考向三利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【核心知識】導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系1．f′(x)>0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件，如函數(shù)f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，但f′(x)≥0；2．f′(x)≥0是f(x)為增函數(shù)的必要不充分條件，當函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0時，則f(x)為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性．【典例分析】典例7.（2022·全國·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，導數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【詳解】方法一：構(gòu)造法設(shè)，因為，當時，，當時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當時，，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.方法二：比較法解：，，，①，令則，故在上單調(diào)遞減，可得，即，所以；②，令則，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以故【注：此類問題已連年考查】典例8.（2022·廣西北?！ひ荒＃ㄎ模┖瘮?shù)的增區(qū)間為____________.【答案】##【分析】解不等式即得解.【詳解】由題得，可得.故函數(shù)的增區(qū)間為.故答案為：典例9.（2021·全國·高考真題（文））設(shè)函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖象與軸沒有公共點，求a的取值范圍.【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)性.（2）根據(jù)及（1）的單調(diào)性性可得，從而可求a的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，又，因為，故，當時，；當時，；所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）因為且的圖與軸沒有公共點，所以的圖象在軸的上方，由（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得，故即.【點睛】方法點睛：不等式的恒成立問題，往往可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值的符號來討論，也可以參變分離后轉(zhuǎn)化不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，轉(zhuǎn)化中注意等價轉(zhuǎn)化.【規(guī)律方法】1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，只需在函數(shù)的定義域內(nèi)解(證)不等式(或).2.利用導數(shù)比較大小或解不等式，常常要構(gòu)造新函數(shù)，把比較大小或求解不等式的問題轉(zhuǎn)化為利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的問題，再由單調(diào)性比較大小或解不等式．常見構(gòu)造的輔助函數(shù)有：g(x)＝xf(x)，g(x)＝，g(x)＝exf(x)，g(x)＝，g(x)＝f(x)lnx，g(x)＝等．3.溫馨提醒：（1）在利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域．（2）單調(diào)區(qū)間的劃分要注意對導數(shù)等于零的點的確認．（3）所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個，這些區(qū)間之間不能用并集“∪”及“或”連接，只能用“，”“和”字隔開．考向四由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)取值范圍【核心知識】(1)可導函數(shù)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)，實際上就是在該區(qū)間上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到關(guān)于參數(shù)的不等式，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，求參數(shù)的取值范圍；(2)可導函數(shù)在區(qū)間(a，b)上存在單調(diào)區(qū)間，實際上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在該區(qū)間上存在解集，即f′(x)max>0(或f′(x)min<0)在該區(qū)間上有解，從而轉(zhuǎn)化為不等式問題，求參數(shù)的取值范圍.【典例分析】典例10.（2022·上海市進才高三期中）已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】.【分析】求導后得到在上恒成立，參變分離后得到在上恒成立，利用導函數(shù)求出，從而求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】，，故只需在上恒成立，則在上恒成立，其中在上恒成立，故，所以，故答案為：.典例11.（2022·陜西·蒲城縣蒲城高三階段練習（理））已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍是__________.【答案】【分析】結(jié)合函數(shù)的導數(shù)討論單調(diào)性，確定函數(shù)在上既有增區(qū)間又有減區(qū)間即可求解.【詳解】由題可知，，令，因為，所以，則在單調(diào)遞減，所以，若，則恒成立，即恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，不滿足題意;若，則，因為，,所以，所以由零點的唯一性定理可知，在必定存在唯一的零點記為，所以當時，即，時，即，所以在時單調(diào)遞增，時單調(diào)遞減，滿足題意;綜上得，故答案為:.典例12.（2019·北京·高考真題（理））設(shè)函數(shù)f（x）=ex+ae?x（a為常數(shù)）．若f（x）為奇函數(shù)，則a=________；若f（x）是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是___________．【答案】

-1;

.【分析】首先由奇函數(shù)的定義得到關(guān)于的恒等式，據(jù)此可得的值，然后利用導函數(shù)的解析式可得a的取值范圍.【詳解】若函數(shù)為奇函數(shù),則，對任意的恒成立.若函數(shù)是上的增函數(shù),則恒成立,.即實數(shù)的取值范圍是【總結(jié)提升】1.利用單調(diào)性確定參數(shù)的范圍.解答過程中,需利用轉(zhuǎn)化與化歸思想,轉(zhuǎn)化成恒成立問題.應(yīng)用條件(或)，恒成立，解出參數(shù)的取值范圍(一般可用不等式恒成立的理論求解)，應(yīng)注意參數(shù)的取值范圍是不恒等于0的參數(shù)的取值范圍.2.可導函數(shù)在區(qū)間(a，b)上存在單調(diào)區(qū)間，實際上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在該區(qū)間上存在解集，從而轉(zhuǎn)化為不等式問題，求出參數(shù)的取值范圍．再驗證參數(shù)取“＝”時f(x)是否滿足題意．3.若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I上含有參數(shù)時，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而求出參數(shù)的取值范圍．4.函數(shù)在上不單調(diào)，則轉(zhuǎn)化為在上有解.5.特別提醒：（1）弄清參數(shù)對f′(x)符號的影響，分類討論要不重不漏．（2）已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍，要注意導數(shù)等于零的情況．考向五利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值【核心知識】1.導數(shù)與極值、最值(1)函數(shù)f(x)在x0處的導數(shù)f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左正右負”?f(x)在x0處取極大值；函數(shù)f(x)在x0處的導數(shù)f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左負右正”?f(x)在x0處取極小值．(2)函數(shù)f(x)在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在該區(qū)間上的極值與該區(qū)間端點處函數(shù)值中的“最大者”；函數(shù)f(x)在一閉區(qū)間上的最小值是此函數(shù)在該區(qū)間上的極值與該區(qū)間端點處函數(shù)值中的“最小者”．2．求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟(1)求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值．(2)求函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)．(3)將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．【典例分析】典例13.【多選題】（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，則（

）A．在區(qū)間單調(diào)遞減B．在區(qū)間有兩個極值點C．直線是曲線的對稱軸D．直線是曲線的切線【答案】AD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷各選項，即可解出．【詳解】由題意得：，所以，，即，又，所以時，，故．對A，當時，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；對B，當時，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個極值點，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點；對C，當時，，，直線不是對稱軸；對D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點處的切線斜率為，切線方程為：即．故選：AD．典例14.（2019·全國·高考真題（文））已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，記在區(qū)間的最大值為，最小值為，求的取值范圍.【答案】(1)見詳解；(2).【分析】(1)先求的導數(shù)，再根據(jù)的范圍分情況討論函數(shù)單調(diào)性；(2)討論的范圍，利用函數(shù)單調(diào)性進行最大值和最小值的判斷，最終求得的取值范圍.【詳解】(1)對求導得.所以有當時，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.(2)若，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為.而，故所以區(qū)間上最大值為.所以，設(shè)函數(shù)，求導當時從而單調(diào)遞減.而，所以.即的取值范圍是.若，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為而，故所以區(qū)間上最大值為.所以，而，所以.即的取值范圍是.綜上得的取值范圍是.【特別提醒】1.不能忽略函數(shù)的定義域.2.是可導函數(shù)在處取得極值的必要不充分條件.3.函數(shù)的極小值不一定比極大值小.4.若函數(shù)在區(qū)間上有唯一的極值點，則這個極值點也是最值點，此結(jié)論在導數(shù)的實際應(yīng)用中經(jīng)常用到.考向六函數(shù)的極（最）值相關(guān)參數(shù)問題【核心知識】由函數(shù)極值（個數(shù)）求參數(shù)的值或范圍．討論極值點有無(個數(shù))問題，轉(zhuǎn)化為討論f′(x)＝0根的有無(個數(shù))．然后由已知條件列出方程或不等式求出參數(shù)的值或范圍，特別注意：極值點處的導數(shù)為0，而導數(shù)為0的點不一定是極值點，要檢驗極值點兩側(cè)導數(shù)是否異號．【典例分析】典例15.（2021·全國·高考真題（理））設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先考慮函數(shù)的零點情況，注意零點左右附近函數(shù)值是否變號，結(jié)合極大值點的性質(zhì)，對進行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項.【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點，不符合題意，故.有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，為函數(shù)的極大值點，在左右附近都是小于零的.當時，由，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.當時，由時，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.綜上所述，成立.故選：D典例16.（2022·廣東實驗高三階段練習）設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間有極值點，則取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先對函數(shù)求導，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間有極值點，轉(zhuǎn)化為導函數(shù)有零點，再由零點存在定理列出不等式求解即可.【詳解】，為單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間有極值點，即，代入解得，解得取值范圍為，故選：B．典例17.（2022·全國·高考真題（理））已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是____________．【答案】【分析】法一：依題可知，方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，構(gòu)造函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導數(shù)的幾何意義求得過原點的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點的問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點因為，所以方程的兩個根為，即方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當時，，即圖象在上方當時，，即圖象在下方，圖象顯然不符合題意，所以．令，則，設(shè)過原點且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，所以，解得，又，所以，綜上所述，的取值范圍為．[方法二]：【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導=0的兩個根為因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，設(shè)函數(shù)，則，若，則在上單調(diào)遞增，此時若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點，則，不符合題意；若，則在上單調(diào)遞減，此時若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點，且，則需滿足，，即故，所以.【整體點評】法一：利用函數(shù)的零點與兩函數(shù)圖象交點的關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合解出，突出“小題小做”，是該題的最優(yōu)解；法二：通過構(gòu)造新函數(shù)，多次求導判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點的大小關(guān)系得出不等式，解出即可，該法屬于通性通法．典例18.（2022·北京海淀·高三期中）已知函數(shù)．①當時，的極值點個數(shù)為__________；②若恰有兩個極值點，則的取值范圍是__________．【答案】

【分析】①驗證分段處函數(shù)值可知為連續(xù)函數(shù)，由單調(diào)性可確定和是的極值點，由此可得極值點個數(shù)；②驗證分段處函數(shù)值可知為連續(xù)函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)單調(diào)性可確定和必為的兩個極值點，得到；根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值點定義可知在上單調(diào)遞增，即；由此可得的范圍.【詳解】①當時，；，為連續(xù)函數(shù)；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，和是的極值點，即的極值點個數(shù)為；②，為連續(xù)函數(shù)，為單調(diào)函數(shù)，在上無極值點；又在上至多有一個極值點，和必為的兩個極值點，，解得：，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點睛】易錯點睛：本題考查函數(shù)極值點的定義、根據(jù)極值點個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題；本題易錯的點在于根據(jù)極值點個數(shù)求解參數(shù)范圍時，確定和為的兩個極值點后，忽略在極值點左右兩側(cè)函數(shù)單調(diào)性需發(fā)生改變，導致丟失的范圍.【特別提醒】1.已知函數(shù)極值（個數(shù)），確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，注意以下兩點：(1)根據(jù)極值點的導數(shù)為0和極值這兩個