南昌市重點中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

南昌市重點中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知a，b為不相等實數(shù)，記，則M與N的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.不確定2．已知直線與拋物線C：相交于A，B兩點，O為坐標原點，，的斜率分別為，，則（）A. B.C. D.3．用反證法證明命題“a，b∈N，如果ab可以被5整除，那么a，b至少有1個能被5整除．”假設(shè)內(nèi)容是()A.a，b都能被5整除 B.a，b都不能被5整除C.a不能被5整除 D.a，b有1個不能被5整除4．函數(shù)的圖像在點處的切線方程為（）A. B.C. D.5．在正方體中，與直線和都垂直，則直線與的關(guān)系是（）A.異面 B.平行C.垂直不相交 D.垂直且相交6．已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的極大值為，無極小值 B.函數(shù)的極小值為，無極大值C.函數(shù)的極大值為0，無極小值 D.函數(shù)的極小值為0，無極大值7．已知F為橢圓C：=1(a>b>0)右焦點，O為坐標原點，P為橢圓C上一點，若|OP|=|OF|，∠POF=120°，則橢圓C的離心率為（）A. B.C.-1 D.-18．下列結(jié)論中正確的個數(shù)為（）①，；②；③A.0 B.1C.2 D.39．不等式表示的平面區(qū)域是一個（）A.三角形 B.直角三角形C.矩形 D.梯形10．若數(shù)列的前n項和(n∈N*)，則=（）A.20 B.30C.40 D.5011．在正方體中，AC與BD的交點為M.設(shè)則下列向量與相等的向量是（）A. B.C. D.12．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯(約公元前262~公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)k(k>0且k≠1)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知O(0，0)，A(3，0)，動點P(x，y)滿，則動點P軌跡與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相離C.內(nèi)切 D.外切二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線的離心率為__________14．橢圓的焦距為______.15．已知動圓P過定點，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，則動圓P的圓心的軌跡方程為______16．設(shè)雙曲線C:的焦點為，點為上一點，，則為_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某城市一入城交通路段限速60公里/小時，現(xiàn)對某時段通過該交通路段的n輛小汽車車速進行統(tǒng)計，并繪制成頻率分布直方圖（如圖）.若這n輛小汽車中，速度在50~60公里小時之間的車輛有200輛.（1）求n的值；（2）估計這n輛小汽車車速的中位數(shù)；（3）根據(jù)交通法規(guī)定，小車超速在規(guī)定時速10%以內(nèi)（含10%）不罰款，超過時速規(guī)定10%以上，需要罰款.試根據(jù)頻率分布直方圖，以頻率作為概率的估計值，估計某輛小汽車在該時段通過該路段時被罰款的概率.18．（12分）已知圓與軸相切，圓心在直線上，且到直線的距離為（1）求圓的方程；（2）若圓的圓心在第一象限，過點的直線與相交于、兩點，且，求直線的方程19．（12分）等差數(shù)列前n項和為，且（1）求通項公式；（2）記，求數(shù)列的前n項和20．（12分）在柯橋古鎮(zhèn)的開發(fā)中，為保護古橋OA，規(guī)劃在O的正東方向100m的C處向?qū)Π禔B建一座新橋，使新橋BC與河岸AB垂直，并設(shè)立一個以線段OA上一點M為圓心，與直線BC相切的圓形保護區(qū)（如圖所示），且古橋兩端O和A與圓上任意一點的距離都不小于50m，經(jīng)測量，點A位于點O正南方向25m，，建立如圖所示直角坐標系（1）求新橋BC的長度；（2）當(dāng)OM多長時，圓形保護區(qū)的面積最??？21．（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知點、，點M滿足，記點M的軌跡為C（1）求C的方程；（2）若直線l過圓圓心D且與圓交于A，B兩點，點P為C上一個動點，求的最小值22．（10分）如圖，在三棱錐A-BCD中，O為線段BD中點，是邊長為1正三角形，且OA⊥BC，AB=AD（1）證明：平面ABD⊥平面BCD；（2）若|OA|=1，，求平面BCE與平面BCD的夾角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】利用作差法即可比較M與N的大小﹒【詳解】因為，又，所以，即故選：A2、C【解析】設(shè)，，由消得：，又，由韋達定理代入計算即可得答案.【詳解】設(shè)，，由消得：，所以，故.故選：C【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，直線的斜率公式，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查了學(xué)生的運算求解能力.3、B【解析】由于反證法是命題的否定的一個運用，故用反證法證明命題時，可以設(shè)其否定成立進行推證．命題“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1個能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”考點：反證法4、B【解析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算出和的值，可得出所求切線的點斜式方程，化簡即可.詳解】，，，，因此，所求切線的方程為，即.故選：B.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題5、B【解析】以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，根據(jù)向量垂直的坐標表示求出，再利用向量的坐標運算可得，根據(jù)共線定理即可判斷.【詳解】設(shè)正方體的棱長為1.以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則.設(shè)，則，取.，.故選：B【點睛】本題考查了空間向量垂直的坐標表示、空間向量的坐標表示、空間向量共線定理，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)來求得的極值.【詳解】的定義域為，，在遞增；在遞減，所以的極大值為，沒有極小值.故選：A7、D【解析】記橢圓的左焦點為，在中，通過余弦定理得出，，根據(jù)橢圓的定義可得，進而可得結(jié)果.【詳解】記橢圓的左焦點為，在中，可得，在中，可得，故，故，故選：D.8、C【解析】構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷大小，從而得解；【詳解】解：令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即，，故①正確；令，，則，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立，所以，故②正確；令，，當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故③錯誤；故選：C9、D【解析】作出不等式組所表示平面區(qū)域，可得出結(jié)論.【詳解】由可得或，作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖中的陰影部分區(qū)域所示：由圖可知，不等式表示的平面區(qū)域是一個梯形.故選：D.10、B【解析】由前項和公式直接作差可得.【詳解】數(shù)列的前n項和(n∈N*)，所以.故選：B.11、C【解析】根據(jù)空間向量的運算法則，推出的向量表示，可得答案.【詳解】，故選：C.12、A【解析】首先求得點的軌跡，再利用圓心距與半徑的關(guān)系，即可判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】由條件可知，，化簡為：，動點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，圓是以為圓心，為半徑的圓，兩圓圓心間的距離，所以兩圓相交.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】∵雙曲線的方程為∴，∴∴故答案為14、【解析】由求出即可.【詳解】可化為，設(shè)焦距為，則，則焦距故答案為：15、【解析】設(shè)切點為，根據(jù)題意，列出點滿足的關(guān)系式即．則點的軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標準方程求點的軌跡方程【詳解】設(shè)動圓和定圓內(nèi)切于點，動點到定點和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即，點的軌跡是以，為兩焦點，長軸長為10的橢圓，，點的軌跡方程為，故答案：16、14【解析】利用雙曲線的定義求解即可【詳解】由，得，則，因為點為上一點，所以，因為，所以，解得或（舍去），故答案為：14三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合頻率與頻數(shù)的關(guān)系，即可求解（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合中位數(shù)公式，即可求解（3）在這500輛小車中，有40輛超速，再結(jié)合古典概型的概率公式，即可求解【小問1詳解】解：由直方圖可知，速度在公里小時之間的頻率為，所以，解得【小問2詳解】解：設(shè)這輛小汽車車速的中位數(shù)為，則，解得小問3詳解】解：由交通法則可知，小車速度在66公里小時以上需要罰款，由直方圖可知，小車速度在之間有輛，由統(tǒng)計的有關(guān)知識，可以認為車速在公里小時之間的小車有輛，小車速度在之間有輛，故估計某輛小汽車在該時段通過該路段時被罰放的概率為18、（1）或（2）或【解析】（1）設(shè)圓心的坐標為，則該圓的半徑長為，利用點到直線的距離公式可求得的值，即可得出圓的標準方程；（2）利用勾股定理可求得圓心到的距離，分析可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，利用點到直線的距離公式可求得關(guān)于的方程，解出的值，即可得出直線的方程.【小問1詳解】解：設(shè)圓心的坐標為，則該圓的半徑長為，因為圓心到直線的距離為，解得，所以圓心的坐標為或，半徑為，因此，圓的標準方程為或.【小問2詳解】解：若圓的圓心在第一象限，則圓的標準方程為.因為，所以圓心到直線的距離.若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時圓心到直線的距離為，不合乎題意；所以，直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為，即，由題意可得，解得，所以，直線的方程為或，即或.19、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件求，利用等差數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列的通項公式.（2）求得，利用裂項相消法即可求得.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，解得，所以，故數(shù)列的通項公式；【小問2詳解】由（1）得：，所以，所以.20、（1）80m；（2）.【解析】（1）根據(jù)斜率的公式，結(jié)合解方程組法和兩點間距離公式進行求解即可；（2）根據(jù)圓的切線性質(zhì)進行求解即可.【小問1詳解】由題意，可知，，∵∴直線BC方程：①，同理可得：直線AB方程：②由①②可知，∴，從而得故新橋BC得長度為80m【小問2詳解】設(shè)，則，圓心，∵直線BC與圓M相切，∴半徑，又因為，∵∴，所以當(dāng)時，圓M的面積達到最小21、（1）（2）23【解析】（1）根據(jù)雙曲線的定義判斷軌跡，直接寫出軌跡方程即可；（2）設(shè)，利用向量坐標運算計算，再由二次函數(shù)求最值即可.【小問1詳解】由，則軌跡C是以點、為左、右焦點的雙曲線的右支，設(shè)軌跡C的方程為，則，可得，，所以C的方程為；【小問2詳解】設(shè)，則，且，圓心，則因為，則當(dāng)時，取最小值23.22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題意可得OA⊥平面BCD，從而可證明.（2）作OF⊥BD交BC于點F，如圖，以O(shè)為坐標原點，分別以O(shè)F，OD，OA所在直線軸建立空間直角坐標系,利用向量法可求解.【小問1詳解】因為AB=AD，O為BD中點，所以O(shè)A⊥BD因為OA⊥BC，且BD，BC平面BCD，BD∩BC=B，所以O(shè)A⊥平面