快速傅里葉變換課件

第四章快速傅立葉變換

FastFourierTransform

快速傅里葉變換第一節(jié)直接計(jì)算DFT的問(wèn)題及改進(jìn)途徑1、問(wèn)題的提出設(shè)有限長(zhǎng)序列x(n)，非零值長(zhǎng)度為N，若對(duì)x(n)進(jìn)行一次DFT運(yùn)算，共需多大的運(yùn)算工作量？計(jì)算成本?計(jì)算速度?快速傅里葉變換2.DFT的運(yùn)算量回憶DFT和IDFT的變換式：1）x(n)為復(fù)數(shù)，也為復(fù)數(shù)。2）DFT與IDFT的計(jì)算量相當(dāng)。注意：快速傅里葉變換計(jì)算機(jī)運(yùn)算時(shí)（編程實(shí)現(xiàn)）：N次復(fù)乘，N-1次復(fù)加

N個(gè)點(diǎn)以DFT為例：快速傅里葉變換復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)加法一個(gè)X(k)NN–1N個(gè)X(k)(N點(diǎn)DFT)N2N(N–1)實(shí)數(shù)乘法實(shí)數(shù)加法一次復(fù)乘42一次復(fù)加2一個(gè)X(k)4N2N+2(N–1)=2(2N–1)N個(gè)X(k)(N點(diǎn)DFT)4N22N(2N–1)運(yùn)算量(a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(bc+ad)快速傅里葉變換例：計(jì)算一個(gè)N點(diǎn)DFT，共需N2次復(fù)乘。以做一次復(fù)乘1μs計(jì)，若N=4096，所需時(shí)間為例：石油勘探，有24個(gè)通道的記錄，每通道波形記

錄長(zhǎng)度為5秒，若每秒抽樣500點(diǎn)/秒，1）每道總抽樣點(diǎn)數(shù)：500*5=2500點(diǎn)2）24道總抽樣點(diǎn)數(shù)：24*2500=6萬(wàn)點(diǎn)3）DFT復(fù)乘運(yùn)算時(shí)間：N2=(60000)2=36*108次快速傅里葉變換由于計(jì)算量大，且要求相當(dāng)大的內(nèi)存，難以實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)處理，限制了DFT的應(yīng)用。長(zhǎng)期以來(lái)，人們一直在尋求一種能提高DFT運(yùn)算速度的方法。FFT便是Cooley&Tukey

在1965年提出的的快速算法，它可以使運(yùn)算速度提高幾百倍，從而使數(shù)字信號(hào)處理學(xué)科成為一個(gè)新興的應(yīng)用學(xué)科?？焖俑道锶~變換第二節(jié)改善DFT運(yùn)算效率的基本途徑1、利用DFT運(yùn)算的系數(shù)的固有對(duì)稱(chēng)性和周期性，改善DFT的運(yùn)算效率。1）對(duì)稱(chēng)性2）周期性3）可約性快速傅里葉變換快速傅里葉變換2、將長(zhǎng)序列DFT利用對(duì)稱(chēng)性和周期性分解為短序列DFT的思路因?yàn)镈FT的運(yùn)算量與N2成正比的，如果一個(gè)大點(diǎn)數(shù)N的DFT能分解為若干小點(diǎn)數(shù)DFT的組合，則顯然可以達(dá)到減少運(yùn)算工作量的效果?？焖俑道锶~變換N點(diǎn)DFTN/2點(diǎn)DFTN/2點(diǎn)DFTN/4點(diǎn)DFTN/4點(diǎn)DFTN/4點(diǎn)DFTN/4點(diǎn)DFT…….復(fù)乘：快速傅里葉變換

FFT算法的基本思想：利用DFT系數(shù)的特性，合并DFT運(yùn)算中的某些項(xiàng)把長(zhǎng)序列DFT→短序列DFT，從而減少運(yùn)算量。FFT算法分類(lèi):時(shí)間抽選法DIT:Decimation-In-Time頻率抽選法DIF:Decimation-In-Frequency快速傅里葉變換第三節(jié)按時(shí)間抽選的基2-FFT算法1、算法原理

設(shè)輸入序列長(zhǎng)度為N=2M(M為正整數(shù)，將該序列按時(shí)間順序的奇偶分解為越來(lái)越短的子序列，稱(chēng)為基2按時(shí)間抽取的FFT算法。也稱(chēng)為Coolkey-Tukey算法。

其中基2表示：N=2M，M為整數(shù).若不滿(mǎn)足這個(gè)條件，可以人為地加上若干零值（加零補(bǔ)長(zhǎng)）使其達(dá)到N=2M?？焖俑道锶~變換先將x(n)按n的奇偶分為兩組，作變量置換:

當(dāng)n=偶數(shù)時(shí)，令n=2r;

當(dāng)n=奇數(shù)時(shí)，令n=2r+1;分組，變量置換2、算法步驟得到：快速傅里葉變換帶入DFT中快速傅里葉變換所以由于?快速傅里葉變換

X1(k)、X2(k)只有N/2個(gè)點(diǎn)，以N/2為周期；而X

(k)卻有N個(gè)點(diǎn)，以N為周期。要用X1(k)、X2(k)表達(dá)全部的X

(k)值，還必須利用WN系數(shù)的周期特性?？焖俑道锶~變換后半部分前半部分又考慮到的對(duì)稱(chēng)性：有：快速傅里葉變換后半部分前半部分蝶形運(yùn)算流圖符號(hào)說(shuō)明：(1)左邊兩路為輸入(2)右邊兩路為輸出(3)中間以一個(gè)小圓表示加、減運(yùn)算（右上路為相加輸出、右下路為相減輸出)1個(gè)蝶形運(yùn)算需要1次復(fù)乘，2次復(fù)加快速傅里葉變換復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)加法一個(gè)N點(diǎn)DFTN2N(N–1)一個(gè)N/2點(diǎn)DFT(N/2)2N/2(N/2–1)兩個(gè)N/2點(diǎn)DFTN2/2N(N/2–1)一個(gè)蝶形12N/2個(gè)蝶形N/2N總計(jì)N2/2+N/2≈N2/2N(N/2-1)+N≈N2/2運(yùn)算量減少了近一半分解后的運(yùn)算量：快速傅里葉變換先將N=8點(diǎn)的DFT分解成2個(gè)4點(diǎn)DFT：可知：時(shí)域上：x(0),x(2),x(4),x(6)為偶子序列

x(1),x(3),x(5),x(7)為奇子序列頻域上：X(0)~X(3)，由X(k)給出X(4)~X(7)，由X(k+N/2)給出例子：求N=23=8點(diǎn)FFT變換

按N=8→N/2=4，做4點(diǎn)的DFT：快速傅里葉變換N=8點(diǎn)的直接DFT的計(jì)算量為：復(fù)乘：N2次=64次復(fù)加：N(N-1)次=8×7=56次此外，還有4個(gè)蝶形結(jié)，每個(gè)蝶形結(jié)需要1次復(fù)乘，2次復(fù)加。一共是：復(fù)乘4次，復(fù)加8次。得到X1(k)和X2(k)需要：復(fù)乘：(N/2)2+(N/2)2次=32次復(fù)加：N/2(N/2-1)+N/2(N/2-1)=12+12=24次用分解的方法得到X

(k)需要：復(fù)乘：32+4=36次復(fù)加：24+8=32次快速傅里葉變換N點(diǎn)DFT的一次時(shí)域抽取分解圖(N=8)4點(diǎn)DFT4點(diǎn)DFTx(0)x(2)x(4)x(6)x(1)x(3)x(5)x(7)X1(0)X1(1)X1(2)X1(3)X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)快速傅里葉變換因?yàn)?點(diǎn)DFT還是比較麻煩，所以再繼續(xù)分解。若將N/2(4點(diǎn))子序列按奇/偶分解成兩個(gè)N/4點(diǎn)(2點(diǎn))子序列。即對(duì)將x1(r)和x2(r)分解成奇、偶兩個(gè)N/4點(diǎn)(2點(diǎn))點(diǎn)的子序列?？焖俑道锶~變換那么，X1(k)又可表示為快速傅里葉變換X2(k)也可以進(jìn)行相同的分解：注意：通常我們會(huì)把寫(xiě)成?？焖俑道锶~變換N點(diǎn)DFT的第二次時(shí)域抽取分解圖(N=8)2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFTx(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)X3(0)X3(1)X4(0)X4(1)X5(0)X5(1)X6(0)X6(1)X1(0)X1(1)X1(2)X1(3)X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)4點(diǎn)DFT4點(diǎn)DFTx(0)x(2)x(4)x(6)x(1)x(3)x(5)x(7)X1(0)X1(1)X1(2)X1(3)X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)快速傅里葉變換88X3(0)X3(1)x(0)=x3(0)x(4)=x3(1)快速傅里葉變換N點(diǎn)DIT―FFT運(yùn)算流圖(N=8)x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)快速傅里葉變換3、DIT―FFT算法與直接計(jì)算DFT運(yùn)算量的比較1)、N=2M的DFT運(yùn)算可分成M級(jí)，每一級(jí)有N/2個(gè)蝶形，每個(gè)蝶形有一次復(fù)乘兩次復(fù)加。2)、所以M級(jí)共有次復(fù)乘和次復(fù)加。3)、若直接計(jì)算DFT，需N2次復(fù)乘和N(N-1)次復(fù)加。顯然，當(dāng)N較大時(shí)，有：例如，N=210=1024時(shí)快速傅里葉變換FFT算法與直接計(jì)算DFT所需乘法次數(shù)的比較曲線快速傅里葉變換4、DIT―FFT的運(yùn)算規(guī)律及編程思想FFT的每級(jí)（列）計(jì)算都是由N個(gè)復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)（輸入）兩兩構(gòu)成一個(gè)蝶型（共N/2個(gè)蝶形）運(yùn)算而得到另外N個(gè)復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)（輸出）。當(dāng)數(shù)據(jù)輸入到存儲(chǔ)器以后，每一組運(yùn)算的結(jié)果，仍然存放在這同一組存儲(chǔ)器中直到最后輸出。例：將x(0)放在單元A(0)中，將x(4)放在單元A(1)中，W80

放在一個(gè)暫存器中。將x(0)+W80x(4)→送回A(0)單元將x(0)-W80x(4)→送回A(1)單元X3(0)X3(1)x(0)x(4)1）原位運(yùn)算(亦稱(chēng)同址計(jì)算)快速傅里葉變換x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)回顧：N點(diǎn)DIT―FFT運(yùn)算流圖(N=8)快速傅里葉變換如上所述，N點(diǎn)DIT―FFT運(yùn)算流圖中，每級(jí)都有N/2個(gè)蝶形。每個(gè)蝶形都要乘以因子WNP，稱(chēng)其為旋轉(zhuǎn)因子，p稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)因子的指數(shù)。2)旋轉(zhuǎn)因子的變化規(guī)律觀察FFT運(yùn)算流圖發(fā)現(xiàn)，第L級(jí)共有2L-1個(gè)不同的旋轉(zhuǎn)因子。N=23=8時(shí)的各級(jí)旋轉(zhuǎn)因子表示如下：L=1時(shí)，WNp=WN/4J，N/4=21=2L，J=0L=2時(shí)，WNp=WN/2J，N/2=22=2L，J=0，1L=3時(shí)，WNp=WNJ，N=23=2L，J=0，1，2，3快速傅里葉變換對(duì)N=2M的一般情況，第L級(jí)的旋轉(zhuǎn)因子為：快速傅里葉變換設(shè)序列x(n)經(jīng)時(shí)域抽選(倒序)后，存入數(shù)組X中。如果蝶形運(yùn)算的兩個(gè)輸入數(shù)據(jù)相距B個(gè)點(diǎn)(B=2L-1)，應(yīng)用原位計(jì)算，則蝶形運(yùn)算可表示成如下形式：下標(biāo)L表示第L級(jí)運(yùn)算，XL(J)則表示第L級(jí)運(yùn)算后數(shù)組元素X(J)的值?？焖俑道锶~變換3)編程思想及流程圖開(kāi)始送入x(n)和N=2M調(diào)整輸入x(n)的順序for(L=1;L<=M;L++)B=2L-1for(J=0;J<=B-1;J++)p=J·2M-Lfor(k=J;k<=N-1;k=k+2L)輸出結(jié)果結(jié)束快速傅里葉變換4）碼位倒序由N=8蝶形圖看出：原位計(jì)算時(shí)，F(xiàn)FT輸出的X(k)的次序正好是順序排列的，即X(0)…X(7),但輸入x(n)都不能按自然順序存入到存儲(chǔ)單元中，而是按x(0),x(4),x(2),x(6),x(1),x(5),x(3),x(7)的順序存入存儲(chǔ)單元，即為亂序輸入，順序輸出。

這種順序看起來(lái)相當(dāng)雜亂，然而它是有規(guī)律的。即碼位倒讀規(guī)則?？焖俑道锶~變換自然順序n二進(jìn)制碼表示碼位倒讀碼位倒置順序n’以N=8為例：0123456700000101001110010111011100010001011000110101111104261537看出：碼位倒讀后的順序剛好是數(shù)據(jù)送入計(jì)算機(jī)內(nèi)的順序?？焖俑道锶~變換倒序規(guī)律快速傅里葉變換對(duì)于數(shù)N，在其二進(jìn)制最高位加1，等于加N/2。若已知某個(gè)反序號(hào)為J，為求下一個(gè)反序號(hào)，可先判J的最高位：

1)若為0，則把該位變成1（即加N/2）就得到下一個(gè)反序號(hào)，2)若為1，則需判斷次高位：

①若次高位為0，則把最高位變0（相當(dāng)減去N/2）后，再把次高位變1（即加N/4）。②若次高位為1，則需判斷次次高位……分析：快速傅里葉變換倒序排列算法的流程圖正序序列已在數(shù)組A[]中，輸入NLH=N/2,j=LH,N1=N-2j=j-kk=k/2k=LHj<kj=j+kT=A(j)A(i)=A(j)A(j)=Tfor(i=1;i<=N1;i++)i≥jNYYN快速傅里葉變換第四節(jié)按頻率抽選的基2-FFT算法在基2快速算法中，頻域抽取法FFT也是一種常用的快速算法，簡(jiǎn)稱(chēng)DIF―FFT。設(shè)序列x(n)長(zhǎng)度為N=2M，首先將x(n)前后對(duì)半分開(kāi)，得到兩個(gè)子序列，其DFT可表示為如下形式快速傅里葉變換快速傅里葉變換快速傅里葉變換快速傅里葉變換DIF―FFT一次分解運(yùn)算流圖(N=8)4點(diǎn)DFT4點(diǎn)DFTx(0)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7)X(0)X(2)X(4)X(6)X(1)X(3)X(5)X(7)x1(0)x1(1)x1(2)x1(3)x2(0)x2(1)x2(2)x2(3)快速傅里葉變換DIF―FFT二次分解運(yùn)算流圖(N=8)快速傅里葉變換DIF―FFT運(yùn)算流圖(N=8)快速傅里葉變換時(shí)間抽取算法與頻率抽取算法的比較1)頻率抽選法和時(shí)間抽選法總的計(jì)算量是相同的復(fù)乘：復(fù)加：2)頻率抽取法和時(shí)間抽取法一樣，都適用于原位運(yùn)算，即蝶形的輸入和輸出占用同一個(gè)存儲(chǔ)單元。3)均存在碼位倒序問(wèn)題。4)頻率抽選法和時(shí)間抽選法一樣，基本運(yùn)算也是蝶形運(yùn)算。但兩者的蝶形形式略有不同?？焖俑道锶~變換第五節(jié)IDFT的快速算法－IFFT上述FFT算法流圖也可以用于離散傅里葉逆變換(InverseDiscreteFourierTransform，簡(jiǎn)稱(chēng)IDFT)。比較DFT和IDFT的運(yùn)算公式：1)旋轉(zhuǎn)因子：2)系數(shù)：快速傅里葉變換DIT―IFFT運(yùn)算流圖快速傅里葉變換DIT―IFFT運(yùn)算流圖(防止溢出)快速傅里葉變換如果希望直接調(diào)用FFT子程序計(jì)算IFFT，則可用下面的方法：對(duì)上式兩邊同時(shí)取共軛，得：快速傅里葉變換例1、如果通用計(jì)算機(jī)的速度為平均每次復(fù)乘需要5

s，每次復(fù)加需要0.5

s，用它來(lái)計(jì)算512點(diǎn)的DFT[x(n)]，問(wèn)：1）直接計(jì)算需要多少時(shí)間？2）用FFT需要多少時(shí)間？解：1）用DFT進(jìn)行運(yùn)算：復(fù)乘：T1=N2×5×10-6=1.31072秒復(fù)加：T2=N(N-1)×0.5×10-6=0.130816秒總共：T=T1+T2=1.441536秒快速傅里葉變換2）用FFT進(jìn)行運(yùn)算：復(fù)乘：T1’=(N/2)log2N×5×10-6=0.01152秒復(fù)加：T2’=Nlog2N×0.5×10-6=0.00230