閉環(huán)實(shí)負(fù)零點(diǎn)對二階系統(tǒng)的影響

閉環(huán)實(shí)負(fù)零點(diǎn)對二階系統(tǒng)的影響作者jiangteng班級09電本2班學(xué)號4090208230摘要：本文采用拉普拉斯變換的方法，首先研究了二階系統(tǒng)在單位階躍輸入下的響應(yīng)，并對二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)及其動態(tài)性能指標(biāo)進(jìn)行了詳細(xì)的討論。然后重點(diǎn)研究了閉環(huán)零點(diǎn)對二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)及其在單位階躍響應(yīng)的動態(tài)性能指標(biāo)的影響，并得出了相應(yīng)的結(jié)論。關(guān)鍵字：閉環(huán)零點(diǎn)二階系統(tǒng)欠阻尼0引言由二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。二階系統(tǒng)形式簡單而且應(yīng)用廣泛，同時，高階系統(tǒng)的研究也往往通過選取主導(dǎo)極點(diǎn)將系統(tǒng)簡單化為二階系統(tǒng)。二階系統(tǒng)有兩種結(jié)構(gòu)形式，一種是無零點(diǎn)二階系統(tǒng)，一種是有零點(diǎn)二階系統(tǒng)。對二階系統(tǒng)的研究，主要是研究單位階躍響應(yīng)和動態(tài)性能指標(biāo)。在阻尼比^-0時，系統(tǒng)不能正常工作，而在^-1時，系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)進(jìn)行的又太慢。所以，對二階系統(tǒng)來說，欠阻尼情況下(0<&<1)時是最有實(shí)際意義的。下面將討論這種情況下兩種結(jié)構(gòu)形式的二階系統(tǒng)。1.典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程1.1二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式開環(huán)傳遞函數(shù)：WK(s)=&M-)n閉環(huán)循環(huán)傳遞函數(shù)：W,(s)=2+2言+.2nn二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)形式的結(jié)構(gòu)圖如下圖1-1所示：圖1-1二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)形式的結(jié)構(gòu)圖1.2二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)及其動態(tài)響應(yīng)假設(shè)初始條件為零，當(dāng)輸入量為單位階躍函數(shù)時，X(s)=-rs

輸出量的拉氏變換為X(s)=系統(tǒng)的特征方程為s2+2&①s+①2—0由上式可解除特征方程式的根:這些根與阻尼比&有關(guān)。這里只討論欠阻尼的情況。當(dāng)0&<1時，特征方程式的根為)-p1—j(1-g2①-p1—)n+j\1—g2①n由于0〈&<1，故-p1及-p2為一對共軛復(fù)根，如圖1-2所示。圖1-20&<1時根的分布將式①分解為部分分式，并求出各待定系數(shù):X(s)-4+ 1+氣css2+2&①s+①2查拉氏變換表得輸出量為x《)=1—,1 -e-豌sin(①+6)t>0式中：①-]_&2① 阻尼振蕩角頻率，或振蕩角頻率;d阻尼角。典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如下圖:圖1-3圖1-3單位階躍響應(yīng)1.3二階系統(tǒng)動態(tài)性能指標(biāo)1.3.1上升時間tr在動態(tài)過程中，系統(tǒng)的輸出第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時間稱為上升時間t,。根據(jù)這一定義，在②中，令t=t時，x=1，得；sin(①+0)=0>0，GY2但是，在>0，GY2滿足式③只能使sin（氣t,+S）=0。由此得①t+0=兀兀一0兀一0tr由上式可以看出&和w^對上升時間的影響。當(dāng)w^一定時，阻尼比&越大，則上升時間'r越長；當(dāng)&一定時，w越大，則上升時間'r越短。1.3.2最大超調(diào)量0%最大超調(diào)量發(fā)生在第一個周期中t=七時刻。根據(jù)求極值的方法，由式⑵，可求出dx(t)

dt

sin(①t+0)X.1一&2cos(①t+0) &1-￡2tan(①t+0)=~-——因此①t+因此①t+0=n兀+arctant1--2=n兀+0st=n兀因?yàn)樵趎=1時出現(xiàn)最大超調(diào)量，所以有%。=兀。峰值時間為TOC\o"1-5"\h\z兀 兀t= =—, —m% v1--2%\o"CurrentDocument"d ' n五， ? 一?--兀 代入式②，整理得到最大值為1—-2%' n--兀e■-1--2x=1— -sin(兀+0)cmt1一-2因?yàn)樗砸驗(yàn)樗詓in(兀+0)=—sin0=-、：1--2一-冗x-1+e”1--2根據(jù)超調(diào)量的定義X—X—X(8)x100%在單位階躍輸入下，穩(wěn)態(tài)值xcm(8)=1，因此得最大超調(diào)量為—5%=e1--2x100%1.3.3調(diào)節(jié)時間ts調(diào)節(jié)時間t是x(t)與穩(wěn)態(tài)值X(8)之間的偏差量達(dá)到允許范圍(一般取穩(wěn)態(tài)sc c

值的土2%?±5%)而不再超出的穩(wěn)態(tài)過程時間。在動態(tài)過程中的偏差量為*sin(\.1—&2ot+6)Z2 n當(dāng)^x=0.05或0.02時得:匏;sin(J1—&2ot+6)=0.05(或0.02)由上式可以看出，在0?\時刻范圍內(nèi)，滿足上述條件的t^值有多個，其中最大的值就是調(diào)節(jié)時間t^。由于正弦函數(shù)的存在，t^值與阻尼比&間的函數(shù)關(guān)系是不連續(xù)的。為簡單起見，可以采用近似的計(jì)算方法，忽略正弦函數(shù)的影響，認(rèn)為指數(shù)項(xiàng)衰減到0.05或0.02時，過渡過程即進(jìn)行完畢。這樣得到°箜=0.05SY2由此求得調(diào)節(jié)時間為TOC\o"1-5"\h\zt(5%)=二[3—1ln(1—&2)]w二，0<g<0.9 ⑻sgo2 go1 1 . 4 …一一一t(2%)=g—[4—^ln(1—g2)]w-—，0<g<0.9 ⑼n n2具有閉環(huán)負(fù)實(shí)零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的動態(tài)性能的影響w2Tw2Ts+1)1,-(s2+2ws+W2)心s1,-(s2+2ws+W2)B Xr(s)s2+2;ws+w2式中：T——時間常數(shù).1 .令1=Z，則上式可寫為如下標(biāo)準(zhǔn)形式:TXc(s) w2(s+z) — n Xr(s)z(s2+￡ws+w2)式⑩所示系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為具有零點(diǎn)-Z的二階系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)圖如下所示w2(s+z) n z(s2+2ws+w2)圖2-1具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)結(jié)

構(gòu)圖

將式⑩進(jìn)行分解，得“2Xr(s)

Xc1(S) n ，0<5<1S2+2wS+w2S―Xc(s)=Xc1+—Xc1(s)z2.2具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)1設(shè)Xr(s)=1，取初始條件為零，則Xc1(s)和Xc(s)的拉氏反變換為S,、 W2X(t)=/M——n ]c1 s(s2+2ws+W2)x(t)=/-1[sXc1(s)]+/-1[Xc1(s)]=x(t)+—"c1")

cz c1 zdt求出式(11)中兩項(xiàng)，然后相加即得輸出量。由式⑵得xG)=1- ] e-匏tsin(\,1-g2①t+0)于是得頊、(')^egG^ti[gwsin(J1-g2①t+0)-V'1-g2①cos(,1-g2①t+0)]zdt,1-g2zn n n n將上兩式代入式(11)得z一w?, ,c、V；1Y2x(t)=1一(12) 1_nsin(/1Y2wt+0)+——i wcosG/1-%2wt+0)x(t)=1一(12)式中，l為極點(diǎn)與零點(diǎn)間的距離，可由系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)在復(fù)平面上的位置確定。由圖2-2知wv；1Y2 .=co曄 _i =sin^l=|z—P]I=寸(zYw)2+(wJ1Y2)wv；1Y2 .=co曄 _i =sin^故式子(12)可以寫成:故式子(12)可以寫成:(13)式子中:I_:z2—2zgw+w2z\z2令,=』，由圖可知r代表閉環(huán)傳遞函數(shù)的復(fù)數(shù)極點(diǎn)的實(shí)部與零點(diǎn)實(shí)部之z比，則上式中的-可以簡寫為zl1 —=—12—2rg2+r2z&因此式子2可以寫為：2—2rg2+r2 :—-— - …、x(t)=1— : ——e-gwjjsm(《1—g2wt+6+^) t>0 (13)由此計(jì)算得到了典型的具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的公式。2.3具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)根據(jù)上升時間'r，峰值時間)，最大超調(diào)量6%，調(diào)節(jié)時間七的定義，由

式3分別求得二階系統(tǒng)具有閉環(huán)實(shí)零極點(diǎn)時的欠阻尼單位階躍響應(yīng)的各項(xiàng)指標(biāo)。2.3.1上升時間trn-6—a1—g2wn由上式可以看出上升時間七受到wn，g,a,6的影響，當(dāng)wn，g，6一定的時候，上升時間tr只與中有關(guān)，而3的大小由z的大小決定，z增大中減小。所以可得如下結(jié)論：閉環(huán)零點(diǎn)的增加，使上升時間tr減小。當(dāng)z增大時，即零點(diǎn)越來越遠(yuǎn)離虛軸，a減小，所以tr增大。零點(diǎn)越靠近虛軸，對上升時間tr影響越大；當(dāng)零點(diǎn)距離虛軸很遠(yuǎn)時，零點(diǎn)的影響可以忽略，這時系統(tǒng)可以用典型二階系統(tǒng)來代替。2.3.2峰值時間tmT^Wn同理可得：閉環(huán)零點(diǎn)的增加，使峰值時間tm減小。當(dāng)z增大時，即零點(diǎn)越來越遠(yuǎn)離虛軸，3減小，所以tm增大。零點(diǎn)越靠近虛軸，對峰值時間tm影響越大;當(dāng)零點(diǎn)距離虛軸很遠(yuǎn)時，零點(diǎn)的影響可以忽略，這時系統(tǒng)可以用典型二階系統(tǒng)來代替。2.3.3最大超調(diào)量0%-一1 -0%=_.^2(1-2r)+r2?e?iY2x100%由上式可以看出最大超調(diào)量0%受到r，&，3，0的影響，當(dāng)|&，0一定的時候，最大超調(diào)量0%與r，3有關(guān)。r值反映了復(fù)數(shù)平面上零點(diǎn)與復(fù)數(shù)極點(diǎn)的相對位置。而3的大小由z的大小決定，z增大3減小，r減小。所以可得如下結(jié)論：閉環(huán)零點(diǎn)的增加，使最大超調(diào)量0%增大，振蕩性增強(qiáng)。如果z值越小，即零點(diǎn)越靠近虛軸，則r值越大，振蕩性越強(qiáng)。反之，z值越大，則r值越小，振蕩性相對減弱。當(dāng)零點(diǎn)距離虛軸很遠(yuǎn)時，零點(diǎn)的影響可以忽略，這時系統(tǒng)可以用典型二階系統(tǒng)來代替。2.3.4調(diào)節(jié)時間tst=(4+ln-)-^ (△二土2%)s z&①nt=(3+ln-)-L (△=土5%)n由上式可以看出，零點(diǎn)的加入使調(diào)節(jié)時間\可能增大，可能減小，也可能不變。如果z值越小，即零點(diǎn)越靠近虛軸，調(diào)節(jié)時間\增大。當(dāng)零點(diǎn)距離虛軸很遠(yuǎn)時，零點(diǎn)的影響可以忽略，這時系統(tǒng)可以用典型二階系統(tǒng)來代替。為了定量說明附加零點(diǎn)對二階系統(tǒng)性能的影響，引入?yún)?shù)a。用參數(shù)a表示附加零點(diǎn)與二階系統(tǒng)復(fù)數(shù)極點(diǎn)實(shí)部之比，即1a=—r挪n并在同一&值下繪出不同a值時七(t)和ot的關(guān)系曲線，圖2-3為&=0.25的情況。圖2-3具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線綜上所述，可以得出如下結(jié)論：當(dāng)其他條件不變時，附加一個閉環(huán)負(fù)實(shí)零點(diǎn)，將使二階系統(tǒng)的超調(diào)量增大，上升時間和峰值時間減小。、附加零點(diǎn)越靠近虛軸，上述影響越明顯。當(dāng)零點(diǎn)距離虛軸很遠(yuǎn)時，零點(diǎn)的影響可以忽略，這時系統(tǒng)可以用典型二階系統(tǒng)來代替。3結(jié)束語本文圍繞著閉環(huán)負(fù)實(shí)零點(diǎn)對二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、各種性能指標(biāo)的影響，進(jìn)行了深入的討論分析。其理論計(jì)算公式全面準(zhǔn)確。對于學(xué)習(xí)研究二階系統(tǒng)有較