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文檔簡介

第二章

一元二次函數(shù)、方程和不等式2.2基本不等式【素養(yǎng)目標】1．了解基本不等式的代數(shù)和幾何背景．(數(shù)學抽象)2．理解并掌握基本不等式及其變形．(邏輯推理)3．會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題．(數(shù)學運算)4．會用基本不等式進行代數(shù)式大小的比較及證明不等式．(邏輯推理)5．會用基本不等式求最值問題和解決簡單的實際問題．(數(shù)學運算)

在不等關系與不等式一節(jié)，我們由趙爽弦圖(如下左圖)抽象出了一類重要不等式：

a2+b2≥2ab①

不難發(fā)現(xiàn)，公式①中，a、b∈R,

當且僅當a=b時等號成立.

a2+b2≥2ab(a、b

∈R，當a=b時取等號)

①

a×a+b×ba×b+b×a≥二次式

二次式

自乘的和

互乘的和不小于

如果把兩個數(shù)相乘看成一次合作“圈地”(如圖)，那么公式

①折射出生活的哲理：

自立自強比互相合作更重要！重要不等式aabb特別地：

a2+b2≥2ab(a、b

∈R，當a=b時取等號)

①

重要不等式當b=1時，有a2+1≥2a(a∈R)

（降次功能）

求證：a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a、b、c

∈R)

練一練提示：a2+b2≥2abb2+c2≥2bcc2+a2≥2ca如果,我們用分別代替可得到什么結論?替換后得到:

適用范圍文字敘述“=”成立條件a=ba=b兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍

a,b∈Ra>0,b>0注意：從不同角度認識基本不等式重要不等式與基本不等式的比較上面通過考察的特殊情形獲得了基本不等式.能否直接利用不等式的性質(zhì)推導出基本不等式呢？下面我們來分析一下.

基本不等式的證明代數(shù)法基本不等式

DABCE如圖,AB是圓的直徑，C是AB上任一點，AC=a,CB=b,過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD,BD,則CD=

,半徑為

.

基本不等式的簡單變形

和積基本不等式的功能：和積轉(zhuǎn)化

經(jīng)典例題

一正二定三相等

經(jīng)典例題

經(jīng)典例題

例3

已知籬笆成矩形花壇，邊長分別為a、b，面積為36，求籬笆用料的最小值(求a+b即可)..經(jīng)典例題

當ab為定值時，求和a+b的最小值變式

已知籬笆成矩形花壇，邊長分別為a、b，周長為36，求圍成的面積的

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