高中數(shù)學人教A版（2023）必修2 第六章 平面向量基本定理及其坐標表示（一）章節(jié)綜合練習題（答案+解析）

第第頁高中數(shù)學人教A版（2023）必修2第六章平面向量基本定理及其坐標表示（一）章節(jié)綜合練習題（答案+解析）中小學教育資源及組卷應用平臺

平面向量基本定理及其坐標表示

一、選擇題

1．（2023高三上·廣州月考）在中，為的重心，滿足，則（）

A．B．C．0D．-1

2．（2023高一下·黔西期末）如圖，在中，2BD=CD，E為AC中點，AD和BE相交于點F，那么AF：DF=（）.

A．2B．C．3D．4

3．（2022高一下·如皋月考）若向量，，則（）

A．B．C．D．

4．（2022高二上·九龍期末）在空間直角坐標系中，若，，則點B的坐標為（）

A．（3，1，﹣2）B．（-3，1，2）

C．（-3，1，-2）D．（3，-1，2）

5．（2023高一下·湖州期中）已知點，則向量（）

A．B．C．D．

6．給出下面幾種說法：

①相等向量的坐標相同；②若向量滿足，則③若，，，是不共線的四點，則“”是“四邊形為平行四邊形”的充要條件；④的充要條件是且.其中正確說法的個數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

7．已知向量滿足，則（）

A．B．C．3D．4

8．（2023高三上·深圳月考）已知平面直角坐標系內三個頂點的坐標分別為，，，則（）

A．B．C．D．

9．（2023高一下·海南期末）已知向量，，且，則（）

A．3B．5C．D．25

10．（2023高一下·海南期末）如圖所示，正方形的邊長為2，點，，分別是邊，，的中點，點是線段上的動點，則的最小值為（）

A．B．3C．D．48

11．（2023高一下·荔灣期末）已知向量，，若與垂直，則等于（）

A．1B．0C．D．

12．（2023高一下·馬鞍山期末）下列各組向量中，可以作為基底的是（）

A．，B．，

C．，D．，

13．（2023高一下·紹興月考）已知向量，，則（）

A．B．C．D．

14．（2023高一下·炎陵期末）已知與共線，且向量與向量垂直，則（）

A．B．C．D．

15．（2023高二下·湛江期末）已知，，且，則（）

A．，B．，C．，D．，

16．（2023·北京卷）已知向量滿足，則（）

A．B．C．0D．1

17．（2023高一下·杭州期中）已知是邊長為正三角形，為線段上一點（包含端點），則的取值范圍為（）

A．B．C．D．

18．（2023高三上·光明期中）已知向量．若不超過5，則k的取值范圍是（）

A．B．C．D．

19．（2023高一下·吉林期中）已知為單位向量，，向量的夾角為，則在上的投影向量是（）

A．B．C．D．

20．（2023高一下·安徽月考）已知向量，，若，則在上的投影向量的坐標為（）

A．B．C．D．（

21．已知非零向量，滿足，則在方向上的投影向量為（）

A．B．C．D．

22．（2023高二上·吉林開學考）已知單位向量滿足，則與夾角的大小為（）

A．B．C．D．

23．（2023高一下·河南月考）不共線的平面向量，滿足，，則平面向量，的夾角為（）

A．B．C．D．

24．（2023高一下·嘉興期末）如圖，在中，，分別在上，且，點為的中點，則下列各值中最小的為（）

A．B．C．D．

25．（2023高一下·紹興期末）均為單位向量，且它們的夾角為45°，設，滿足，則的最小值為（）

A．B．C．D．

26．（2023高一下·余姚期末）已知平面向量，滿足，且，若，則（）

A．B．C．D．

27．已知平面向量，的夾角為，且，，則（）

A．B．C．D．

28．（2023·）已知向量，，若是在上的投影向量，則（）

A．B．C．D．

29．（2023高一下·保山期末）如圖所示，在矩形中，，點為的中點，且，則等于（）

A．B．C．D．

30．（2023高二下·安徽月考）正多邊形具有對稱美的特點，很多建筑設計都圍繞著這一特點展開.已知某公園的平面設計圖如圖所示，是邊長為2的等邊三角形，四邊形，，都是正方形，則（）

A．B．C．D．

答案解析部分

1．【答案】A

【解析】【解答】解：因為為的重心，則

又因為在中，，

所以，

則，可得.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)重心的性質可知，根據(jù)平面向量的線性運算結合平面向量基本定理運算求解.

2．【答案】C

【解析】【解答】解：因為△ABC中，2BD=CD，E為AC的中點，AD和BE相交于點F，

設：，

，

所以，解得：，

所以，

所以，即，

所以，

所以AF：DF=3，

故選C.

【分析】利用平面向量基本定理的推論求解。

3．【答案】C

【解析】【解答】由向量，，則。

故答案為：C

【分析】利用已知條件結合向量的坐標運算得出向量的坐標。

4．【答案】C

【解析】【解答】設，，

，

所以，，，解得：，，，

即。

故答案為：C

【分析】利用已知條件結合向量的坐標表示和中點坐標公式得出點B的坐標。

5．【答案】A

【解析】【解答】

，

，

。

故答案為：A

【分析】利用已知條件結合向量的坐標表示，得出向量

的坐標。

6．【答案】B

【解析】【解答】對于①，因為向量可以平移，所以相等向量的坐標相同，所以①正確；

對于②，若向量滿足，因為方向向量不確定，所以不一定正確，故②錯誤；

對于③，，，，是不共線的四點，若“”，由平行四邊形判定定理“一組對邊平行且相等，則四邊形為平行四邊形”可知“四邊形為平行四邊形”；若“四邊形為平行四邊形”，由平行四邊形性質可知“對邊平行且相等”，所以“”，即“”是“四邊形為平行四邊形”的充要條件，故③正確；

對于④，若，則且；若且，則或，故④錯誤.

綜上可知，正確的為①③

故選：B

【分析】根據(jù)平面向量定義及共線的條件，充分必要條件的判斷，可判斷四個選項.

7．【答案】A

【解析】【解答】解：由題意得，.

故答案為：A.

【分析】先求出，再根據(jù)向量模長公式求.

8．【答案】B

【解析】【解答】解：平面直角坐標系內三個頂點的坐標分別為為，，，

故答案為：B.

【分析】利用向量坐標運算法則直接求解即可.

9．【答案】B

【解析】【解答】已知，，

由于則，解得，

所以，，可得.

故答案為：B.

【分析】首先根據(jù)向量垂直坐標表示求出的坐標，進一步求出，利用向量模的坐標表示可得結果.

10．【答案】A

【解析】【解答】如圖建立平面直角坐標系，則，

設，，則，

所以，

所以，即，

所以，，

所以，

又因為，所以當時，取得最小值為.

故答案為：A.

【分析】建立平面直角坐標系，設，，即可得到，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示得到，再結合二次函數(shù)的性質計算可得.

11．【答案】C

【解析】【解答】由題意可知：，

因為與垂直，則，解得.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)復數(shù)的坐標運算可得，再利用向量垂直的坐標表示求解.

12．【答案】D

【解析】【解答】A、不能做基底，選項錯誤；

B、，共線不能做基底，選項錯誤；

C、，，不共線的非零向量，可以做基底；

D、，共線不能做基底，選項錯誤.

故選：C.

【分析】根據(jù)非零不共線的向量才能做基底，依次判斷即可.

13．【答案】D

【解析】【解答】解：A.∵，1

∴，，故A錯誤；

B.∵，∴，故B錯誤；

C.∵，

∴與不平行，故C錯誤；

D.∵，∴，故D正確．

故選：D．

【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的坐標運算判斷AB選項；利用共線向量的坐標表示判斷C選項；利用垂直關系的坐標表示判斷D選項．

14．【答案】B

【解析】【解答】解：由與共線，可得①，再由向量與向量垂直，可得②，由①②可得，故.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)向量共線和向量垂直的坐標表示求出，即可求得的值.

15．【答案】B

【解析】【解答】解：因為，，所以，，又因為，故存在實數(shù)，使得，所以解得.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)向量坐標運算先求，以及，再根據(jù)，故存在實數(shù)，滿足，列方程組求解即可.

16．【答案】B

【解析】【解答】，

，，

，，

.

故答案為：B

【分析】利用向量的坐標運算分別求出向量，再根據(jù)向量模長公式進而求解.

17．【答案】A

【解析】【解答】如圖建立平面直角坐標系，則，

設，可得，

所以，

當是，取到最大值4；當是，取到最小值；

所以的取值范圍為.

故答案為：A.

【分析】建系，根據(jù)向量的坐標運算可得，結合二次函數(shù)分析求解.

18．【答案】A

【解析】【解答】因為，所以，，即，解得.

故答案為：A

【分析】根據(jù)題意，求得，結合題意和向量的模長公式，列出不等式，即可求解.

19．【答案】B

【解析】【解答】在上的投影為，在上的投影向量為.

故答案為：B

【分析】先求在上的投影，再求在上的投影向量.

20．【答案】C

【解析】【解答】解：，

，

解得，

，，

方向的單位向量，在上的投影為，

在上的投影向量為.

故選：C

【分析】先求出方向的單位向量，和在上的投影，再求在上的投影向量為.

21．【答案】B

【解析】【解答】解：因為，則，即，

所以在方向上的投影向量為.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)向量的線性運算的幾何意義可得，進而結合投影向量的定義運算求解.

22．【答案】D

【解析】【解答】解：由題意可知：，

因為，解得，

則，

且，所以.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)題意結合數(shù)量積的運算可得，代入夾角公式運算求解即可.

23．【答案】D

【解析】【解答】解：因為，則，可得，

又因為，則，

所以，

因為，所以.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)題意結合向量垂直可得，再結合平面向量的夾角公式運算求解.

24．【答案】D

【解析】【解答】由題意可得：，

，

，

對A：；

對B：

因為，則，可得，

即；

對C：

因為，則，可得，

即；

對D：，

因為，則，可得，

即；

綜上所述：最小的.

故答案為：D.

【分析】以為基底向量表示，根據(jù)題意結合數(shù)量積的運算律分析判斷.

25．【答案】C

【解析】【解答】解：以所在直線為x軸，垂直于所在直線為y軸建立平面直角坐標系，

則，，

∵，

∴在平面中所對應的點在以為圓心，為半徑的圓上運動，

滿足，

又∵，

∴在平面中所對應的點滿足：，

∴在平面中所對應的點的運動軌跡為直線x-y-1=0，

∴當A、B、O三點共線時，取得最小值，

最小值為：.

故選：C.

【分析】首先以所在直線為x軸，垂直于所在直線為y軸建立平面直角坐標系，根據(jù)已知條件先求出A、B對應的運動軌跡，可知當A、B、O三點共線時，取得最小值，求解即可.

26．【答案】C

【解析】【解答】根據(jù)題意，，即15a2-7a·b-2b2=0，

又，且，故，即，解得，

故選：C.

【分析】本題主要考查平面向量的數(shù)量積，根據(jù)題意得出方程15a2-7a·b-2b2=0，即可求解.

27．【答案】B

【解析】

【解答】解：因為所以.

所以

故答案為：B.

【分析】首先由的坐標求出它的模，再由已知向量夾角，數(shù)量積公式求出和的數(shù)量積，最后代入向量模的公式即可求解。

28．【答案】C

【解析】【解答】解：由題意可得，

可知在上的投影向量，所以.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)向量的坐標運算可得，再結合投影向量的定義運算求解.

29．【答案】B

【解析】【解答】解：以A為原點，分別以AB，AD所在的直線為x軸，y軸，建立如圖所示的直角坐標系：

設，則A(0，0)，C(4，m)，D(0，m)，E(2，0)，

故，，

由可得，解得，

故

即

故答案為：B.

【分析】以A為原點，分別以AB，AD所在的直線為x軸，y軸