軟件高等代數(shù)0707試卷及答案

本文格式為Word版，下載可任意編輯——軟件高等代數(shù)0707試卷及答案2023年7月試卷及答案

一、單項選擇題（每題3分，共15分）

1．在以下各項中，是集合X到集合Y的雙射.(A)設X?{1,2,3},Y?{2,4,6,16}，定義?(x)?2x,x?X；(B)設X?{1,2,3,?},Y為有理數(shù)集合，定義?(x)?x2,x?X；(C)設X是Pn?n，Y是數(shù)域P，定義?(A)?A，A?X；

(D)設X是一集合，Y=X，定義?(x)?x,x?X.

2．設{ε1,?,εn}與{η1,?,ηn}為兩組基，且有{η1,?,ηn}={ε1,?,εn}A，已知向

量?在基{ε1,?,εn}下的坐標為X?(x1,?,xn)'，則該向量在基{η1,?,ηn}下坐標為.

(A)A?1X；（B）AX；（C）X；（D）XA

3．設線性變換A在基{ε1,?,εn}下的矩陣為A，向量?在基{ε1,?,εn}下的坐標

為X?(x1,?,xn)'，則A?在基{ε1,?,εn}下的坐標為.(A)A?1X；（B）AX；（C）X；（D）XA

4．設ε1,ε2,ε3是3維歐氏空間的一組標準正交基，向量?和?在這組基下的坐

標分別為X?(x1,x2,x3)'和Y?(y1,y2,y3)'，則(?,?)?.(A)XY'；（B）0；（C）X'Y；（D）不定5．以下各表達中，是正確的.(A)有一致特征多項式的矩陣是相像的；

(B)線性變換A在某一組基下的矩陣成對角形的充分必要條件是A的不同特征

值個數(shù)等于空間的維數(shù)；

(C)數(shù)域P上兩個有限維線性空間同構的充分必要條件是它們有一致的維數(shù)；(D)不同基的度量矩陣是相像的.

二、填空題（每空3分，共15分）

1．Pn?n中全體上三角矩陣作成的數(shù)域P上的線性空間的維數(shù)是.

2．V1和V2是8維線性空間V的兩個子空間，其中V=V1+V2，而且V1和V2的維數(shù)

分別為4和6，那么V1?V2的維數(shù)是.3．數(shù)域P上n維線性空間V的全部線性變換組成的集合L(V)對于線性變換的加

法和數(shù)量乘法構成P上一個線性空間，則該線性空間的維數(shù)是.4．設線性變換A在基{ε1,?,εn}下矩陣為A，且已知由基{ε1,?,εn}到基

{η1,?,ηn}的過渡矩陣為B，則A在基{η1,?,ηn}下矩陣為.5．實數(shù)域R上n維歐氏空間V的一組基{ε1,?,εn}的度量矩陣為A，且已知由基

{ε1,?,εn}到基{η1,?,ηn}的過渡矩陣為B，則基{η1,?,ηn}的度量矩陣為.

三、計算題（每題6分，共18分）

1．在P4中，求由基?1,?2,?3,?4到基?1,?2,?3,?4的過渡矩陣，其中

??1?(4,3,2,1),?2?(3,3,2,1)，???(22,2,1),??(1,1,1,1)4?3

??1?(1,1,0,1),?2?(0,1,0,1).???(1,0,1,1),??(0,1,1,0)4?3??1?(1,2,1,0)2．求子空間L(?1,?2)?L(?1,?2)的基與維數(shù)，其中?，

??(?1,1,1,1)?2??1?(2,?1,0,1).???(1,?1,3,7)?2

3．五個函數(shù)ε1?1,ε2?sinx,ε3?cosx,ε4?sin2x,ε5?cos2x的所有實系數(shù)線性組合構成實數(shù)域上一個五維線性空間.求微分變換D在基εi(i?1,?,5)下的矩陣.

四、（7分）

設ε1,ε2,ε3,ε4是四維線性空間V的一組基，已知線性變換A在這組基下的矩

0?1???12陣為?12??2?2?

21??13?.(1)求A的核與值域；(2)求核的一組基及值域的一組基.?55?1?2??五、判斷題（每題5分，共10分）

1．全體二維實向量集合V按如下定義的加法與數(shù)量乘法：

k(k-1)2a)構成線性空間。(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d+ac),k?(a,b)=(ka,kb+判斷2a(a?1)W?{α?(a,)α?V}是否構成子空間？并給出理由.

2

2．設α?(a1,a2),β?(b1,b2),為二維實空間R2中的任意兩個向量。判斷由

(α，β)?a1b1?a2b2所定義的二元實函數(shù)是否構成內(nèi)積？并給出理由.六、（15分）

用正交線性替換化下面二次型為標準形.

222x1?2x2?2x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3

七、證明題（每題5分，共20分）

1．假使c1α?c2β?c3γ?0，且c1c3?0，證明：L(α,β)?L(β,γ).

2．設A是n維歐氏空間V的一個線性變換，則A是正交變換的充分必要條件是若ε1,ε2,?,εn是標準正交基，那么Aε1，Aε2，?，Aεn也是標準正交基.

3．設η是歐氏空間中一單位向量，定義Aα=α?2(η,α)η，求證：A為線性變換.

4．設V1，V2是n維歐氏空間V的線性子空間，且V1的維數(shù)小于V2的維數(shù).證明：

V2中必有一非零向量正交于V1中一切向量.

答案

一、D，A，B，C，C

二、1、(n+1)n/22、23、n24、B?1AB5、B'AB

三、1、解：

???(1,0,0,0),?2?(0,1,0,0)取基?1，則有

??3?(0,0,1,0),?4?(0,0,0,1)?4??3(?1,?2,?3,?4)?(?1,?2,?3,?4)?2??1?321??1??321??1，(?,?,?,?)?(?,?,?,?)12341234?221?0???1111???321??321?221??111???1010??101?011??110???4??3則(?1,?2,?3,?4)?(?1,?2,?3,?4)?2??1??1??1?0??1?010??0?11?1????101?2?21??1?(?1,?2,?3,?4)?011??2?211??????110?21?1??2?2、解：令交的向量??k1?1?k2?2?l1?1?l2?2則

?k1?k2?2l1?l2?0?2k?k?l?l?0?1212，其通解為k1??t,k2?4t,l1??3t,l2?t(t任意)?k?k?3l?022?1??k2?l1?7l2?0則???t?1?4t?2?t(?5,2,3,4)，故交是一維的，且(?5,2,3,4)是一組基3、解：

Dε1?0,Dε2?cosx,Dε3??sinx,Dε4?2cos2x,Dε5??2sin2x,

?0??0所以有D(ε1,ε2,ε3,ε4,ε5)?(ε1,ε2,ε3,ε4,ε5)?0??0??0000?110000000??00?00??0?2??20?四、解：記A（ε1,ε2,ε3,ε4）=（ε1,ε2,ε3,ε4）A

先求A的核：設??A的核，其在基ε1,ε2,ε3,ε4下坐標為(x1,x2,x3,x4)'，A?在基ε1,ε2,ε3,ε4下坐標為(0,0,0,0)'，于是A(x1,x2,x3,x4)'=(0,0,0,0)'該方程組的通解為

x1??2t1?t2,x2??3/2t1?2t2,x3?t1,x4?t2(t1,t2任意)

于是

??(?2t1?t2)?1?(?3/2t1?2t2)?2?t1?3?t2?4?t1(?2?1?3/2?2??3)?t2(??1?2?2??4)

故?1?(?2?1?3/2?2??3),?2?(??1?2?2??4)是A的核的生成元再求A的值域：AV=L(A?1,A?2,A?3,A?4)

?1?(?2?1?3/2?2??3),?2?(??1?2?2??4)就是核的一組基

由于A的秩為2，且A的前兩列是一個極大線性無關組，所以A?1=?1-?2+?3+2?4和A?2=2?2+2?3-2?4是值域的一組基五、1、解：W非空；設α?(a,則α?β?(a?b,kα?(ka,ka(a?1)b(b?1))?W，β?(b,)?W22a(a?1)b(b?1)(a?b)(a?b?1)??ab)?(a?b,)?W222a(a?1)k(k?1)2ka(ka?1)?a)?(ka,)?W222由于加法與數(shù)量乘法均封閉，則構成子空間.

2、解：

設α?(1,2)，則(α，α)?1?4??3?0所以不構成內(nèi)積六、解：

?1?22???A???2?24?,?E?A?0??1??2?2,?3??7

?24?2?????2??2?????把??2代入到(?E?A)X?0中，得基礎解系為?1??1?,?2??0?

?0??1??????2?(?2,?1)1???1??4?正交化：?1??1,?2??2?(?1,?1)5???5???2??2?1??1??1,??單位化：?1???2?4?5??35??0???5??1?

???????7把代入到(?E?A)X?0中，得基礎解系為3?2?

??2???

??2/52/(35)1/3??1???1??單位化：?3??2?，令T??1/54/(35)2/3?，則X?TY

3?????0?5/(35)?2/3??2???222使得有2y1?2y2?7y3七、1、證明：α,β與β,γ這兩個向量組相互線表，即等價，所以生成空間一致.

?1,當i?j時2、證明：必要性：由正交變換知（Aεi，Aεj）=（εi，εj）=?故

?0，當i?j時Aε1，Aε2，?，Aεn也是標準正交基.充分性：設??(?1,?,?n)X,??(?1,?,?n)Y

A??（Aε1，Aε2，?，Aεn）X，A??（Aε1，Aε2，?，Aεn）Y所以(?,?)?X'Y?（A?，A?），故A是正交變換3、證明：首先，A為變換.

且滿足A(α?β)?α?β?2(η,α?β)η?α?2(η,α)η?β?2(η,β)η?Aα+Aβ

A(kα)?kα?2(η,kα)η?k(α?2(η,α)η)?kAα，因此A為線性變換.4、證明：

V?V1?V1?,設dimV1?s,dimV2?t,t?s,dimV1??n?s,令V3?V2?V1?,n?dim(V2?V1?)?dimV2?dimV1??dimV3?t?n?s?dimV3所以dimV3?t?s?0?V3?{0},取0?α?V3?V2，α與V1中一切向量正交.

??2/52/(35)1/3??1???1??單位化：?3??2?，令T??1/54/(35)2/3?，則X?TY

3?????0?5/(35)?2/3??2???222使得有2y1?2y2?7y3七、1、證明：α,β與β,γ這兩個向量組相互線表，即等價，所以生成空間一致.

?1,當i?j時2、證明：必要性：由正交變換知（Aεi，Aεj）=（εi，εj）=?故

?0，當i?j時Aε1，Aε2，?，Aεn也是標準正交基.充分性：設??(?1,?,?n)X,??(?1,?,?n)Y

A??（Aε1，Aε2，?，Aεn）X，A??（Aε1，Aε2，?，Aεn）Y所以(?,?)?X'Y?（A?，A?），故A是正交變換3、證明：首先，A為