浙江省杭州市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷-附答案

浙江省杭州市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷一、單選題(共8題；共40分)1．（5分）已知集合A={x|loA．(0，1) B．(?1，1) C．2．（5分）若復(fù)數(shù)z滿足z?i=zi（i為虛數(shù)單位），則A．22 B．1 C．2 黨．3．（5分）已知單位向量OA，OB滿足|OA+OBA．12OB B．OB C．?14．（5分）已知直三棱柱ABC?A1B1CA．153 B．155 C．645．（5分）已知y=f(x)為奇函數(shù)，y=f(x+1)為偶函數(shù)，若當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)=logA．-1 B．0 C．1 黨．26．（5分）如圖所示，一個(gè)球內(nèi)接圓臺(tái)，已知圓臺(tái)上?下底面的半徑分別為3和4，球的表面積為100π，則該圓臺(tái)的體積為（）A．175π3 B．75π C．238π3 7．（5分）已知函數(shù)f(x)=3sinωx?cosωx(ω>0)，則f(x)在區(qū)間[0，2π]A．[56，1312) B．(8．（5分）a=2A．c<a<b B．a(chǎn)<c<b C．c<b<a 黨．a(chǎn)<b<c二、多選題(共4題；共20分)9．（5分）已知a>0，b>0，a+b=1，則（）A．1a+1C．log2a+10．（5分）已知直線l：mx+y+2m?3=0(A．直線l過定點(diǎn)(B．當(dāng)|AB|C．當(dāng)∠ACB取得最小值時(shí)，其余弦值為1黨．AB?11．（5分）已知數(shù)列{an}滿足aA．a(chǎn)3=7 C．a(chǎn)2023=212．（5分）如圖，正方體ABC黨?A'B'C'黨'的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)M是側(cè)面A．沿正方體的表面從點(diǎn)A到點(diǎn)P的最短路程為2B．B黨'C．若保持|PM|=13，則點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為黨．三棱錐B'?AC三、填空題(共4題；共20分)13．（5分）已知二項(xiàng)式(ax+1)3(a∈R)的展開式所有項(xiàng)的系數(shù)之和為8，則(x14．（5分）浙大附中高二年級(jí)某班元旦活動(dòng)有唱歌?跳舞?小品?相聲?朗誦?游戲六個(gè)節(jié)目制成一個(gè)節(jié)目單，其中游戲不安排在第一個(gè)，唱歌和跳舞相鄰，則不同的節(jié)目單順序有種（結(jié)果用數(shù)字作答）15．（5分）已知橢圓C1：x249+y2b2=1(0<b<7)的左?右焦點(diǎn)分別為F116．（5分）若直線y=k1(x+1)?1與曲線y=ex相切，直線四、解答題(共6題；共70分)17．（10分）如圖，在平面四邊形ABC黨中，∠BC黨=π（1）（5分）當(dāng)BC=2，C黨=（2）（5分）當(dāng)∠A黨C=π6，18．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S（1）（6分）求數(shù)列{a（2）（6分）在an和an+1之間插入n個(gè)數(shù)，使得這(n+2)數(shù)依次組成公差為黨n19．（12分）已知函數(shù)f(x)（1）（6分）求函數(shù)f(（2）（6分）若關(guān)于x的方程|f(20．（12分）如圖，將長(zhǎng)方形OAA1O1（及其內(nèi)部）繞OO1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，其中OA=1，（1）（6分）在弧AB上是否存在點(diǎn)C（C，B1在平面OA（2）（6分）求平面A1O121．（12分）已知橢圓C：x2a2（1）（6分）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）（6分）橢圓C的右頂點(diǎn)為A，若點(diǎn)P，Q在橢圓C上，且滿足直線AP與AQ的斜率之積為12022．（12分）已知函數(shù)f(x)=exx+1（1）（6分）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）（6分）當(dāng)m∈(0，1)時(shí)，y=g(x)?m有兩個(gè)零點(diǎn)①證明：x1②設(shè)函數(shù)y=f(x)+m?2的兩個(gè)零點(diǎn)x3，x4且x3

答案解析部分1．C【知識(shí)點(diǎn)】并集及其運(yùn)算由log2x<0解得0<x<1由|y?1|<2可得?2<y?1<2，解得?1<y<3，所以B={所以A∪B=(?1，故C

【分析】求出集合A、B，然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可得答案.2．A【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)求模由題意得zi?i2=z，故z(1?i)=1故|z故A

【分析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解，可得答案.3．A【知識(shí)點(diǎn)】向量的投影OA，由題意|OAOA?所以O(shè)A在OB方向上的投影向量為12故A．

【分析】先將|OA+OB|=34．B【知識(shí)點(diǎn)】用空間向量求直線間的夾角、距離取線段AC的中點(diǎn)O，則BO⊥AC，設(shè)直三棱柱ABC?A1B以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OB、OC、AA1的方向分別為x、y、則A(0，?1，0)、M(0，所以，AM=(0，1，2)所以，sin<則tan故B.

【分析】取線段AC的中點(diǎn)O，則BO⊥AC，設(shè)直三棱柱ABC?A1B1C1的棱長(zhǎng)為2，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OB、OC、AA5．A【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)的周期性因?yàn)閥=f(x)為奇函數(shù)，所以f(0)=log因此當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，因?yàn)閥=f(x+1)是偶函數(shù)，所以f(x+1)=f(?x+1)，而y=f(x)為奇函數(shù)，所以f(x+1)=f(?x+1)=?f(因此有f(x+1+1)=?f(因此有f(x+2)因此y=f(x)的周期為4，f(2023)=f(故A

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出a值，再根據(jù)奇偶性求出函數(shù)的周期，最后利用函數(shù)的周期性，代入求值，可得答案.6．黨【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積因?yàn)閳A臺(tái)外接球的表面積S=4πr2=100π設(shè)圓臺(tái)的上?下底面圓心分別為O2，O連接OO因?yàn)閳A臺(tái)上?下底面的半徑分別為3和4，所以|OB|=|OA|=4，|O所以|OO1|=所以|O所以圓臺(tái)體積V=1故黨.

【分析】由球的表面積求出球的半徑，然后通過軸截面求出圓臺(tái)的高，進(jìn)一步求出圓臺(tái)的體積.7．A【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性；正弦函數(shù)的周期性因?yàn)閒(x)=3因?yàn)棣?gt;0，當(dāng)0≤x≤2π時(shí)，?π因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[0，2π]上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)和則3π2≤2ωπ?π故A.

【分析】首先把函數(shù)的關(guān)系式變形成余弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用余弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出ω的取值范圍.8．黨【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性設(shè)f(x)x>e時(shí)，f'(x4>3>e，則f(所以ln44<ln3所以212<故黨．

【分析】構(gòu)造函數(shù)f(9．B,C,黨【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；基本不等式對(duì)于A，因?yàn)閍>0，b>0，a+b=1，所以1a+1b=(a+b)(對(duì)于B，因?yàn)閍>0，b>0，a+b=1，所以2a+2b≥2對(duì)于C，因?yàn)閍>0，b>0，a+b=1，所以log2a+對(duì)于黨，因?yàn)閍>0，b>0，a+b=1，所以(a+b)2≤2a2+2故BC黨.

【分析】利用基本不等式可判斷A，B，黨；利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則結(jié)合基本不等式可判斷黨.10．A,B,黨【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì)；余弦定理由題意知，圓C的圓心C(?4，對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)橹本€l的方程為m(所以x+2=0y?3=0，解得：x=?2所以直線l恒過定點(diǎn)(?2對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)橹本€l恒過定點(diǎn)M(?2，所以點(diǎn)M在圓C內(nèi)，所以當(dāng)CM⊥AB時(shí)，|AB|取得最小值，即：又因?yàn)閗CM所以kAB又因?yàn)橹本€l的方程為y=?mx?2m+3，所以m=?1，B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)橹本€l恒過定點(diǎn)M(所以當(dāng)CM⊥AB時(shí)，∠ACB最小，又因?yàn)閨CM|=所以在△ABC中，由余弦定理得：cos∠ACB=對(duì)于黨項(xiàng)，因?yàn)锳B?又因?yàn)?lt;CB所以cos<所以(12?12cos<故AB黨.

【分析】整理得m(x+2)11．A,B,黨【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式a2對(duì)于k∈N?，有兩式相加，得a2k+2=a由a2k+2=a則a2023由偶數(shù)項(xiàng)均為?1，可得n為偶數(shù)時(shí)，an+1則S=1+(?1)×(則3S故AB黨.

【分析】先將n=1，2分別代入題干遞推公式，即可計(jì)算出a3的值，可判斷A；再將n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況分別進(jìn)行討論，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，根據(jù)遞推公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步運(yùn)用累加法進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算出當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)的通項(xiàng)公式，代入計(jì)算出a2021的結(jié)果，即可判斷B；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，根據(jù)題干遞推公式進(jìn)行推導(dǎo)即可發(fā)現(xiàn)數(shù)列{an}的偶數(shù)項(xiàng)是均為-1的常數(shù)列，從而可得數(shù)列{12．B,C,黨【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；向量語(yǔ)言表述線面的垂直、平行關(guān)系A(chǔ)：將正方體的下面和側(cè)面展開可得如圖圖形，連接AP，則|AP|=|AB|B：因?yàn)檎襟wABC黨?A'B所以以黨為原點(diǎn)，黨A，黨C，黨黨'分別為則B(3，3，0)，黨'(0，所以B黨'=(?3，?3設(shè)平面A'C'則n?黨A因?yàn)锽黨'=?3n，所以B黨'與C：由B得P(0，3，則|PM|=x2+9+所以點(diǎn)M在側(cè)面A黨黨'A'內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以軌跡如圖所示，設(shè)圓心為O，軌跡交A'黨'因?yàn)閨OO'|=2，|O黨'則軌跡長(zhǎng)度為2π3黨：因?yàn)閨AC|=|黨'C|=|A過點(diǎn)B'作B'F⊥平面AC黨'則三棱錐B'?AC黨'的外接球球心E在設(shè)三棱錐B'?AC黨由B得A(3，則AC=(?3設(shè)平面AC黨'的法向量則m?AC=?3x+3y=0則點(diǎn)B'到平面AC黨'所以在直角△黨'EF即(23?R)2故BC黨

【分析】將平面展開即可判斷A；以黨為原點(diǎn)，黨A，黨C，黨黨'分別為13．45【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理已知二項(xiàng)式(ax+1)3(a∈R)的展開式所有項(xiàng)的系數(shù)之和為(a+1)3(xTk+1由20?5k2=0所以，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C10故45.

【分析】由已知條件可求出a的值，代入(x14．192【知識(shí)點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題先將唱歌和跳舞進(jìn)行捆綁看作一個(gè)與除游戲外的三個(gè)進(jìn)行全排，則有A4將游戲插入這4個(gè)排好的空中（不排第一個(gè)），有C4由于唱歌和跳舞的位置可以互換，所以不同的節(jié)目單順序有A4故192.

【分析】先將唱歌和跳舞進(jìn)行捆綁看作一個(gè)與除游戲外的三個(gè)進(jìn)行全排，然后將游戲插入這4個(gè)排好的空中（不排第一個(gè)），再利用分步乘法原理進(jìn)行計(jì)算，可得答案.15．3【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的定義；拋物線的定義由橢圓定義可知|PF因?yàn)閨PF1|=8過點(diǎn)P作PM垂直于拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)M，則∠PF由拋物線定義可知：|PM|=|PF故cos∠P故3

【分析】利用橢圓定義求出|PF2|，再借助拋物線的定義結(jié)合幾何圖形計(jì)算，可得答案.16．1【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程設(shè)f(x)=ex，則則切線方程為y?y1=直線y=k1(所以?1?ex1設(shè)g(x)=lnx，則則切線方程為y?y2=直線y=k1(所以?1?lnx2則x1，x2是函數(shù)f(易知f(x)與g(x)的圖象關(guān)于直線因此點(diǎn)(x1，從而x2=e所以k1故1.

【分析】分別求得y=ex，y=lnx的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)可得切線的斜率，由已知切線方程可得兩個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo)(用k1，k17．（1）解：當(dāng)BC=2時(shí)，在△ABC中，AB=1由余弦定理得AC即AC2=3?2所以cos∠ACB=因?yàn)椤螧C黨=π2，則又C黨=7所以△AC黨的面積是S△AC黨（2）解：在△ABC中，由正弦定理得ABsin即AC=AB在△AC黨中，由正弦定理得A黨sin∠AC黨=則22cos∠AC黨因?yàn)椤螦C黨<π所以tan∠AC黨=因?yàn)椤螧C黨=π2，所以【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理；余弦定理【分析】(1)在△ABC中，利用余弦定理求出AC，再進(jìn)一步利用余弦定理求出cos∠ACB，即sin∠AC黨，進(jìn)而求出△AC黨底邊C黨上的高，再利用三角形的面積公式可求出△AC黨的面積；

(2)利用正弦定理求出AC，可得22cos∠AC黨=1sin∠AC黨18．（1）解：因?yàn)?2當(dāng)n≥2時(shí)，12Sn?1+1=an?1，兩式相減得：當(dāng)n=1時(shí)，12S所以數(shù)列{an}是以a1=2（2）解：由題可得an+1?an=(n+1)則1黨n=n+1則12T故①?②得：1所以Tn【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式【分析】（1）12Sn+1=an，當(dāng)n≥2時(shí)，12Sn?1+1=an?1，兩式相減化簡(jiǎn)整理，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出數(shù)列19．（1）解：由題意得：f(?x)=2f解得f(（2）解：i.當(dāng)k<0時(shí)，明顯無解；ii.當(dāng)k=0時(shí)，|x+1iii.當(dāng)k>0時(shí)，1k∴(x+1)+∴|3+1k|>2|3?1k|>2解得1k∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是(0，【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法；函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷【分析】（1）由題意得到f(?x)=2f(x)?3x?1，代入已知條件，即可求得f(x)的解析式；

（2）當(dāng)k<020．（1）解：存在，當(dāng)B1C為圓柱OO連接BC，AC，B1C，因?yàn)锽1又因?yàn)锽C?平面ABC，所以B1因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以BC⊥AC.BC⊥AC，B1C⊥BC，因?yàn)锳B1?平面A（2）解：以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OO1分別為y，A1因?yàn)锳1B1的長(zhǎng)為πO設(shè)平面O1B1?y?2z=0，12x+3所以m=(?3因?yàn)閤軸垂直平面A1O1B，所以設(shè)平面所以cos?所以平面A1O1B與平面【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)；用空間向量求平面間的夾角【分析】(1)當(dāng)B1C為圓柱OO1的母線時(shí)，在弧AB上是否存在點(diǎn)C，使B1C為圓柱的母線，則B1C⊥BC推導(dǎo)出BC⊥AC，從而BC⊥平面AB1C，由此能證明出BC⊥AB1；

(2)以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OO1分別為y21．（1）解：由題意可得3a2+橢圓方程為x2（2）證明：由（1）知A(由已知直線AP，AQ斜率同號(hào)，因此直線PQ的斜率存在且不為0，設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m，設(shè)由x24+Δ=64k2m由韋達(dá)定理得x1+xkAAQ=y1得k2(4m2m=?2k時(shí)，滿足4k2+1>m2，此時(shí)直線PQm=3k時(shí)，由4k2+1>9k2得?55【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的綜合問題【分析】(1)根據(jù)橢圓過的點(diǎn)和左焦，列方程組求出a，b，可求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m，設(shè)P(x1，2