蘇科版九年級數(shù)學(xué)下冊2023-2024學(xué)年6.5相似三角形的性質(zhì)（第2課時）課件 同步課件（共20張PPT）

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第6章·圖形的相似

6.5相似三角形的性質(zhì)（2）

第2課時相似三角形中對應(yīng)線段的性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解相似三角形對應(yīng)線段（高、中線、角平分線）的比等于相似比；

2.利用相似三角形對應(yīng)線段的性質(zhì)解決問題．

知識回顧

回顧“相似三角形的面積比等于相似比的平方”這個結(jié)論的探究過程，你有什么發(fā)現(xiàn)？

A

B

C

A′

B′

C′

D

D′

證明：∵△ABC∽△A′B′C′，

∴∠B＝∠B'，

∵AD⊥BC，A'D′⊥B'C'，

∴∠ADB＝∠A′D′B'＝90°.

∴△ABD∽△A'B'D'.

∴==k，

∴===kk=k2

如圖，△ABC∽△A'B'C',△ABC與△A'B'C'的相似比是k，AD、A'D'是對應(yīng)高．

相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比．

類似地，相似三角形對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線等對應(yīng)線段的比是否也等于相似比呢？

思考與探索

A

B

C

A′

B′

C′

E

E′

問題1如圖，△ABC∽△A'B'C',△ABC與△A'B'C'的相似比是k，AD、A'D'是對應(yīng)中線．

=？

證明：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比為k．

∴==k，∠B=∠B′，

∵AD、A'D'是中線，

∴=k，

∴=，

∴△ABE∽△A′B′E′．

∴=k.

思考與探索

A

B

C

A′

B′

C′

F

F′

問題2如圖，△ABC∽△A'B'C',△ABC與△A'B'C'的相似比是k，AF、A'F'是角平分線．

=？

證明：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比為k．

∴∠BAC=∠B′A′C′，∠B=∠B′，

∵AF、A'F'是角平分線，

∴∠BAF=∠BAC,∠B′A′F′=∠B′A′C′，

∴∠BAF=∠B′A′F′，

∴△ABF∽△A′B′F′．

∴=k.

思考與探索

A

B

C

A′

B′

C′

G

G′

問題3如圖，△ABC∽△A'B'C',△ABC與△A'B'C'的相似比是k，點G、G′分別在BC、B′C′上，且=k.

=？

證明：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比為k．

∴=k，∠B=∠B′，

∵=k，

∴=，

∴△ABG∽△A′B′G′，

∴=k.

相似三角形對應(yīng)中線等于相似比；

相似三角形對應(yīng)角平分線等于相似比的平方；

類比與歸納

相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比的平方．

新知鞏固

1.若兩個相似三角形對應(yīng)高的比為1:3，則它們的相似比為______；對應(yīng)中線的比為______；對應(yīng)角平分線的比為______；周長的比為______；面積的比為______．

1:3

1:3

1:3

2.已知兩個相似三角形的一組對應(yīng)高分別是15和5，面積之差為80，則較大三角形的面積為________.

90

1:3

1:9

新知應(yīng)用

例如圖，AF是△ABC的高，點D、E分別在AB、AC上，且DE∥BC，DE交AF于點G．設(shè)DE=6，BC=10，GF=5，求點A到DE、BC的距離．

D

B

C

E

G

F

A

┛

解：由DE∥BC，∠AFB=90°得

∠AGD=90°，即AG⊥DE.

可知AG、AF的長分別為點A到DE、BC的距離.

∵DE∥BC，

∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADG∽△FEB，

∴，即，

計算，得AG=7.5，AF=AG+5=12.5，

即點A到DE、BC的距離分別為7.5、12.5.

新知鞏固

1.如圖，點D、E分別在AC、AB上，且∠ADE=∠B，F(xiàn)、G分別是BC、DE的中點.設(shè)AD=3，AB=5，求的值.

解：∵∠ADE=∠B，∠EAD=∠CAB，

∴△EAD∽△CAB.

∵AG、AF分別是△ADE、△ABC的中線，

∴.

E

B

C

D

G

F

A

新知鞏固

2.如圖，在△ABC和△A'B'C'中，AD、A'D'分別是△ABC、△A'B'C'的角平分線，且AB=2A'B'，AC=2A'C'，∠BAC=∠B'A'C'求:

(1)的值；(2)△ABC與△A'B'C'的面積的比.

A

B

C

A′

B′

C′

D

D′

解：(1)∵AB=2A'B'，AC=2A'C'，

∴2，

∵∠BAC=∠B'A'C'，

∴△BAC∽△B'A'C'，

∵AD、A'D'分別是△ABC、△A'B'C'的角平分線，

∴2.

(2)△ABC與△A'B'C'的面積的比為4.

3.如圖，在△ABC中，AB=AC，正方形DEFG的頂點D、G分別在AB、AC上，EF在BC上.設(shè)AB=5，BC=6，求正方形DEFG的邊長.

新知鞏固

A

B

C

D

G

E

F

M

N

解：設(shè)正方形DEFG的邊長為x，

作△ABC的高AM，AM交DG于點N.

∵AB=AC，BC=6，

∴BM=CM=BC=×6=3，

∵AM⊥BC，

∴∠AMB=90°，

在Rt△AMB中，由勾股定理得AM===4.

∵DG∥BC，

∴△ADG∽△ABC.

∴，

∴，解得x=2.4.

類比歸納

全等三角形與相似三角形性質(zhì)比較：

全等三角形相似三角形

對應(yīng)邊（）對應(yīng)邊的比等于（）

對應(yīng)角（）對應(yīng)角（）

周長（）周長的比等于（）

面積（）面積的比等于（）

對應(yīng)高（）對應(yīng)高的比等于（）

對應(yīng)中線（）對應(yīng)中線的比等于（）

對應(yīng)角平分線（）對應(yīng)角平分線的比等于（）

相等

相等

相等

相等

相等

相等

相等

相等

相似比

相似比

相似比

相似比的平方

相似比

相似比

課堂小結(jié)

相似三角形中

對應(yīng)線段的性質(zhì)

相似三角形對應(yīng)中線等于相似比；

相似三角形對應(yīng)角平分線等于相似比的平方；

相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比的平方．

當(dāng)堂檢測

1.用一放大鏡看一個直角三角形，該三角形的邊長放大到原來的10倍后，下列結(jié)論錯誤的()

A．斜邊上的中線是原來的10倍B．斜邊上的高是原來的10倍

C．周長是原來的10倍D．最小內(nèi)角是原來的10倍

2.順次連接三角形三邊的中點，所得的三角形與原三角形對應(yīng)高的比是()

A．1：4B．1：3C．1：D．1：2

D

D

當(dāng)堂檢測

3.已知△ABC∽△DEF，面積比為9:4，則△ABC與△DEF的對應(yīng)角平分線之比為()A.4:9B.9:4C.2:3D.3:2

D

4.在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，AP、DQ是中線，若AP＝2，則DQ的值為()

A．2B．4C．1D.

C

當(dāng)堂檢測

5.△ABC與△A'B'C'的面積之比是9:25，若BC邊上的高AD＝12cm，則B'C'邊上的高A'D'＝_______.

20cm

6.在△ABC中，AB＝12，AC＝10，BC＝9，AD是BC邊上的高.△ABC按如圖所示的方式折疊，使點A與點D重合，折痕為EF，則△DEF的周長為________.

15.5

B

C

A

D

B

C

A

D(A)

E

F

當(dāng)堂檢測

7.如圖，在△ABC中，AD是高，點E、F分別在AB、AC上，且EF∥BC，

EF交AD于點G，.求：

(1)的值；(2)△AEF與△ABC的面積的比.

E

F

B

C

A

G

D

解：(1)∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠C.

∴△AEF∽△ABC.

∵AG、AD分別是△AEF、△ABC的高，

∴.

(2)∵△AEF∽△ABC，

∴.

當(dāng)堂檢測

8.如圖，在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的頂點P、N分別在AB、AC上，QM在BC上，AD交PN于點E．設(shè)BC=48，AD=16，PQ：PN=5：9，求矩形PQMN的面積.

A

B

C

P

N

Q

E

D

M

解：∵PN∥BC，

∴∠APN=∠B，∠ANP=∠C.

∴△APN∽△ABC.

∵AE、AD分別是△APN、△ABC的高，

∴.

即，解得PQ=10，PN=PQ=18，

∴矩形PQMN的面積=180.

當(dāng)堂檢測

C

A

B

D

E

9.如圖，在四邊形ABCD中，點E在AD上，且EC∥AB，EB∥DC.

(