蘇科版九年級數(shù)學(xué)下冊2023-2024學(xué)年6.5相似三角形的性質(zhì)(第2課時)課件 同步課件(共20張PPT)_第1頁
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文檔簡介

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第6章·圖形的相似

6.5相似三角形的性質(zhì)(2)

第2課時相似三角形中對應(yīng)線段的性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解相似三角形對應(yīng)線段(高、中線、角平分線)的比等于相似比;

2.利用相似三角形對應(yīng)線段的性質(zhì)解決問題.

知識回顧

回顧“相似三角形的面積比等于相似比的平方”這個結(jié)論的探究過程,你有什么發(fā)現(xiàn)?

A

B

C

A′

B′

C′

D

D′

證明:∵△ABC∽△A′B′C′,

∴∠B=∠B',

∵AD⊥BC,A'D′⊥B'C',

∴∠ADB=∠A′D′B'=90°.

∴△ABD∽△A'B'D'.

∴==k,

∴===kk=k2

如圖,△ABC∽△A'B'C',△ABC與△A'B'C'的相似比是k,AD、A'D'是對應(yīng)高.

相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比.

類似地,相似三角形對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線等對應(yīng)線段的比是否也等于相似比呢?

思考與探索

A

B

C

A′

B′

C′

E

E′

問題1如圖,△ABC∽△A'B'C',△ABC與△A'B'C'的相似比是k,AD、A'D'是對應(yīng)中線.

=?

證明:∵△ABC∽△A′B′C′,相似比為k.

∴==k,∠B=∠B′,

∵AD、A'D'是中線,

∴=k,

∴=,

∴△ABE∽△A′B′E′.

∴=k.

思考與探索

A

B

C

A′

B′

C′

F

F′

問題2如圖,△ABC∽△A'B'C',△ABC與△A'B'C'的相似比是k,AF、A'F'是角平分線.

=?

證明:∵△ABC∽△A′B′C′,相似比為k.

∴∠BAC=∠B′A′C′,∠B=∠B′,

∵AF、A'F'是角平分線,

∴∠BAF=∠BAC,∠B′A′F′=∠B′A′C′,

∴∠BAF=∠B′A′F′,

∴△ABF∽△A′B′F′.

∴=k.

思考與探索

A

B

C

A′

B′

C′

G

G′

問題3如圖,△ABC∽△A'B'C',△ABC與△A'B'C'的相似比是k,點G、G′分別在BC、B′C′上,且=k.

=?

證明:∵△ABC∽△A′B′C′,相似比為k.

∴=k,∠B=∠B′,

∵=k,

∴=,

∴△ABG∽△A′B′G′,

∴=k.

相似三角形對應(yīng)中線等于相似比;

相似三角形對應(yīng)角平分線等于相似比的平方;

類比與歸納

相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比的平方.

新知鞏固

1.若兩個相似三角形對應(yīng)高的比為1:3,則它們的相似比為______;對應(yīng)中線的比為______;對應(yīng)角平分線的比為______;周長的比為______;面積的比為______.

1:3

1:3

1:3

2.已知兩個相似三角形的一組對應(yīng)高分別是15和5,面積之差為80,則較大三角形的面積為________.

90

1:3

1:9

新知應(yīng)用

例如圖,AF是△ABC的高,點D、E分別在AB、AC上,且DE∥BC,DE交AF于點G.設(shè)DE=6,BC=10,GF=5,求點A到DE、BC的距離.

D

B

C

E

G

F

A

解:由DE∥BC,∠AFB=90°得

∠AGD=90°,即AG⊥DE.

可知AG、AF的長分別為點A到DE、BC的距離.

∵DE∥BC,

∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∴△ADG∽△FEB,

∴,即,

計算,得AG=7.5,AF=AG+5=12.5,

即點A到DE、BC的距離分別為7.5、12.5.

新知鞏固

1.如圖,點D、E分別在AC、AB上,且∠ADE=∠B,F(xiàn)、G分別是BC、DE的中點.設(shè)AD=3,AB=5,求的值.

解:∵∠ADE=∠B,∠EAD=∠CAB,

∴△EAD∽△CAB.

∵AG、AF分別是△ADE、△ABC的中線,

∴.

E

B

C

D

G

F

A

新知鞏固

2.如圖,在△ABC和△A'B'C'中,AD、A'D'分別是△ABC、△A'B'C'的角平分線,且AB=2A'B',AC=2A'C',∠BAC=∠B'A'C'求:

(1)的值;(2)△ABC與△A'B'C'的面積的比.

A

B

C

A′

B′

C′

D

D′

解:(1)∵AB=2A'B',AC=2A'C',

∴2,

∵∠BAC=∠B'A'C',

∴△BAC∽△B'A'C',

∵AD、A'D'分別是△ABC、△A'B'C'的角平分線,

∴2.

(2)△ABC與△A'B'C'的面積的比為4.

3.如圖,在△ABC中,AB=AC,正方形DEFG的頂點D、G分別在AB、AC上,EF在BC上.設(shè)AB=5,BC=6,求正方形DEFG的邊長.

新知鞏固

A

B

C

D

G

E

F

M

N

解:設(shè)正方形DEFG的邊長為x,

作△ABC的高AM,AM交DG于點N.

∵AB=AC,BC=6,

∴BM=CM=BC=×6=3,

∵AM⊥BC,

∴∠AMB=90°,

在Rt△AMB中,由勾股定理得AM===4.

∵DG∥BC,

∴△ADG∽△ABC.

∴,

∴,解得x=2.4.

類比歸納

全等三角形與相似三角形性質(zhì)比較:

全等三角形相似三角形

對應(yīng)邊()對應(yīng)邊的比等于()

對應(yīng)角()對應(yīng)角()

周長()周長的比等于()

面積()面積的比等于()

對應(yīng)高()對應(yīng)高的比等于()

對應(yīng)中線()對應(yīng)中線的比等于()

對應(yīng)角平分線()對應(yīng)角平分線的比等于()

相等

相等

相等

相等

相等

相等

相等

相等

相似比

相似比

相似比

相似比的平方

相似比

相似比

課堂小結(jié)

相似三角形中

對應(yīng)線段的性質(zhì)

相似三角形對應(yīng)中線等于相似比;

相似三角形對應(yīng)角平分線等于相似比的平方;

相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比的平方.

當(dāng)堂檢測

1.用一放大鏡看一個直角三角形,該三角形的邊長放大到原來的10倍后,下列結(jié)論錯誤的()

A.斜邊上的中線是原來的10倍B.斜邊上的高是原來的10倍

C.周長是原來的10倍D.最小內(nèi)角是原來的10倍

2.順次連接三角形三邊的中點,所得的三角形與原三角形對應(yīng)高的比是()

A.1:4B.1:3C.1:D.1:2

D

D

當(dāng)堂檢測

3.已知△ABC∽△DEF,面積比為9:4,則△ABC與△DEF的對應(yīng)角平分線之比為()A.4:9B.9:4C.2:3D.3:2

D

4.在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,AP、DQ是中線,若AP=2,則DQ的值為()

A.2B.4C.1D.

C

當(dāng)堂檢測

5.△ABC與△A'B'C'的面積之比是9:25,若BC邊上的高AD=12cm,則B'C'邊上的高A'D'=_______.

20cm

6.在△ABC中,AB=12,AC=10,BC=9,AD是BC邊上的高.△ABC按如圖所示的方式折疊,使點A與點D重合,折痕為EF,則△DEF的周長為________.

15.5

B

C

A

D

B

C

A

D(A)

E

F

當(dāng)堂檢測

7.如圖,在△ABC中,AD是高,點E、F分別在AB、AC上,且EF∥BC,

EF交AD于點G,.求:

(1)的值;(2)△AEF與△ABC的面積的比.

E

F

B

C

A

G

D

解:(1)∵EF∥BC,

∴∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠C.

∴△AEF∽△ABC.

∵AG、AD分別是△AEF、△ABC的高,

∴.

(2)∵△AEF∽△ABC,

∴.

當(dāng)堂檢測

8.如圖,在△ABC中,AD是高,矩形PQMN的頂點P、N分別在AB、AC上,QM在BC上,AD交PN于點E.設(shè)BC=48,AD=16,PQ:PN=5:9,求矩形PQMN的面積.

A

B

C

P

N

Q

E

D

M

解:∵PN∥BC,

∴∠APN=∠B,∠ANP=∠C.

∴△APN∽△ABC.

∵AE、AD分別是△APN、△ABC的高,

∴.

即,解得PQ=10,PN=PQ=18,

∴矩形PQMN的面積=180.

當(dāng)堂檢測

C

A

B

D

E

9.如圖,在四邊形ABCD中,點E在AD上,且EC∥AB,EB∥DC.

(

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