勾股定理及兩點間距離公式C學生版

學科教師輔導講義年級：科目：數(shù)學學時數(shù)：課題勾股定理及兩點距離公式授課日期及時段教學目的理解用面積割補法證明勾股定理的思路和勾股定理的推導辦法；初步掌握勾股定理及其逆定理，能用勾股定理及其逆定理解決基本的有關證明的問題；掌握兩點間距離公式.教學內容【知識梳理】直角三角形中，斜邊不不大于直角邊,勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.兩點的距離公式：如果直角坐標平面內有兩點，，那么、兩點的距離為：【典型例題解說】題型一：【例1】已知在△中，∠=90°.（1）若，則.（2），則.（3），則.（4），則.【例2】直角三角形的兩邊長為3、4,則第三邊長為___________，面積為.【例3】直角三角形的兩邊長為5和12，求第三邊的長及斜邊上的高.【例4】在下列長度的各組線段中,能構成直角三角形的是()A.5,6,7B.32,42,52C.5,11,12D.5,12,13【借題發(fā)揮】A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、等邊三角形2．三角形三邊長分別為a－b、2ab、a＋b（a＞b＞0）,則這個三角形為（）A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.不是直角三角形3．某直角三角形兩直角邊長的比為2：1，斜邊長10cm，則該直角三角形的面積為4.直角三角形中,一條直角邊比斜邊上的中線長1厘米,如果斜邊長是10厘米,則兩直角邊長是.題型二：【例5】已知：△中，.求高的長；求三角形的面積△?！纠?】有一種角為30°的等腰三角形,若腰長為4,則腰上的高是,面積是.【例7】在直角三角形中，已知一條直角邊的長為6，斜邊上的中線長為5，則另一條直角邊的長為【例8】三角形三個角的度數(shù)之比為1：2：3，它的最大邊長等于16cm，則最小邊長是_________cm．【借題發(fā)揮】已知在△中，∠=90，°.（1）若∠=30°，則,.（2）若∠=45°，則,.2．已知等邊△的邊長是6厘米.求高的長；求△的面積△.已知直角三角形的兩邊長分別是和，求它的面積.題型三：【例9】以下圖，字母B所代表的正方形的面積是；【例10】如圖，在一塊用邊長為的正方形的地磚鋪設的廣場上，一只飛來的鴿子落在點處，，鴿子吃完小朋友灑在、處的鳥食，最少需要走多遠？【例11】欲登12米高的建筑物，為安全需要，需使梯子底端離建筑物5米，最少需多長的梯子？【例12】如圖，有一種高是1.5米、半徑是1米的圓柱形油桶，在上地面靠邊的地方有一小孔，從孔中插入一根鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分最短是0.5米，這根鐵棒有多長？【例13】有一種圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于3厘米.在圓柱的下底面點處有一只螞蟻，它想吃到上底面上與點相對的點處的食物，需要爬行的最短路程是多少？（的值取3）【例14】中國古代的數(shù)學家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應用勾股定理，最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數(shù)學家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，你能結合此圖證明勾股定理嗎？（四個直角三角形全等） CC【借題發(fā)揮】飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一種男孩的頭頂正上方4000米處，過了20秒，飛機距離這個男孩頭頂5000米，飛機每小時飛行多少千米？2．如圖，每個小方格都是邊長為1的正方形，（1）求圖中格點四邊形ABCD的面積和周長。（2）求∠ADC的度數(shù)。3．如圖：設甲到島上去探寶，登陸后先往東走8千米，又往北走2千米，碰到障礙后又向西走3千米，再折向北走6千米處往東一拐，僅1千米找到寶藏，問登陸點到探寶點的距離是多少？4．△ABC三邊a,b,c為邊向外作正方形，正三角形，以三邊為直徑作半圓，若S1+S2=S3成立，則是直角三角形嗎？ABABCabcS1S3S2ACabcS2S3BS15．你能用下面的圖形也來驗證一下勾股定理嗎？試一試！6．在我國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載了一種有趣的問題，這個問題的意思是：有一種水池，水面是一種邊長為10尺的正方形，在水池中央有一根新生的蘆葦，它高出水面2尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端正好達成岸邊的水面.這個水池的深度和這個蘆葦?shù)拈L度各為多少？7．求四個水平放置的正方形的面積的和.（即求）題型四：兩點間距離公式【例14】求下列兩點間的距離：（1）和（2）和（3）和（4）和（5）和（6）和【例15】已知三角形三個頂點的坐標，判斷三角形的形狀.（1）、、（2）、、（3）、、（4）、、（5）、、（6）、、【例16】在角坐標平面內，已知、兩點的坐標分別為、，線段的垂直平分線交軸于點，求點的坐標【借題發(fā)揮】在直角坐標平面內，已知△是等邊三角形，且、兩點的坐標分別為、.（1）求點的坐標.（2）如果△內一點到三角形三邊的距離都相等，求點的坐標.【隨堂練習】填空題：1．在直角三角形中，兩條直角邊分別為5,12，則斜邊上的高為.2．若長方形的一條對角線與一邊的差為，另一條邊長，則這個長方形的面積等于平方厘米.3．若3是有關的方程的解，那么覺得邊的等腰三角形的面積為.4．如圖所示，在△中，是邊上的中線，且⊥于，,如果將△繞點旋轉180°，將交點轉到點的位置，那么.5．如圖，△為等邊三角形，邊長為，為中點，⊥，垂足為，∥交于，則△的周長是.選擇題：1．在△中，∠=90°，∠=30°，，則此三角形的周長為（）A.;B.;C.;D..2．已知△的三邊都是整數(shù)，兩條直角邊長度的比是3:4，則斜邊的長可能是（）A.9;B.10;C.12;D.14.3．已知，下列各點中在線段垂直平分線上的點有（）①②③④A.1個;B.2個;C.3個;D.4個.4．三角形三個內角的度數(shù)比為，那么它的三條邊的長度之比為（）A.;B.;C.;D..5．已知直角三角形有一條直角邊長11厘米，另外兩條邊的長度都是自然數(shù)，那么這個三角形的周長為（）A.120厘米;B.132厘米;C.144厘米;D.156厘米.解答題：1．如圖，在△中，，∠=90°，，平分∠交于點，若.求：的長,2．在△中，∠=90°，中線的長為7，中線的長為4.求：的長3．已知和在軸上找一點，使△為直角三角形.4．四邊形中，∠=60°，∠=∠=90°，.（1）求、的長；（2）求四邊形的面積.【課堂總結】【課后作業(yè)】1．如圖所示，在平行四邊形中，⊥于，⊥于，∠=120°，，則平行四邊形的面積為平方厘米.2．在△中，，∠=60°，則的長為.3．如圖所示，在扇形中，，∠=120°，那么陰影部分的面積等于.4．已知弓形的高為，弦長為，則弓形所在圓的半徑為.5．在直角坐標平面內有三個點，則以這三個點為頂點的△是三角形.選擇題：1．下列列各組數(shù)為三邊長的三角形中，不能構成三角形的是（）A.;B.;C.;D..2．在直角三角形中，若斜邊上的中線是奇數(shù)，一條直角邊是偶數(shù)，則另一條直角邊一定是（）A.偶數(shù);B.奇數(shù);C.自然數(shù);D.以上結論都不對.3．在下列命題中，真命題有（）①有一種角等于另外兩個角的差的三角熊是直角三角形；②有一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和的三角形是直角三角形；③三條邊長分別為的三角形是直角三角形；④三個外角的度數(shù)之比為的三角形是直角三角形.A.4個;B.3個;C.2個;D.1個.4．在△中，斜邊上的中線，直角邊，則直角邊的長等于（）A.30;B.32;C.33;D.34.5．若直角三角形三邊、、滿足整式則的形狀為（）A.等腰三角形;B.等邊三角形;C.等腰直角三角形;D.直角三角形.解答題：1．如圖，已知△中，∠=90°，點為的中點，⊥于.求證：.2．如圖，在△中，∠=90°，，以點為圓心，的長為半徑作弧，交斜邊于.求的長.3．如圖，某船向正東航行，在處望見某島在北偏東60°方向，邁進6海里到點，此時又測得島在北偏東30°方向，已知在該島周邊6海里內有暗礁，問若船繼續(xù)向東航行，有無觸礁危險，請闡明理由.4．給出一組式子：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262．…(1)你能發(fā)現(xiàn)上面式子的規(guī)律嗎?請你用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，給出第5個式子；(2)請你證明你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律．5．在直角坐標平面內，已知△是直角三角形，且∠=90°，點在軸上，、兩點的坐標分別是、，求點的坐標.6．在直角坐標系內，已知△是等腰三角形，、兩點的坐標分別為（0,0）、（3,4），點在軸上，求點的坐標.二、綜合提高練習1.如圖甲是第七屆國際數(shù)學教育大會（簡稱ICME～7）的會徽，會徽的主體圖案是由如圖乙的一連串直角三角形演化而成的其中